《现代控制理论》课件第7章

本章主要内容最优控制的一般概念线性二次型最优控制问题基于Matlab求解线性二次型最优控制问题7.1最优控制的一般概念7.1.1最优控制问题最优控制是一门工程背景很强的学科分支，其研究问题都是从具体工程实践中归纳和提炼出来的。例如美国的阿波罗登月计划实现了人类历史的首次载人登月飞行，任务要求登月舱在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面的速度为零，并在登月过程中选择登月舱发动机推力的最优控制律，使燃料消耗最小。由于登月舱发动机的最大推力是有限的，因而这是一个控制有闭集约束的最小燃耗控制问题。7.1最优控制的一般概念最优控制一般包含以下四个问题：(1)系统的数学模型(2)边界条件和目标集(4)性能指标(3)边界条件7.1最优控制的一般概念7.1.2最优控制的性能指标最优控制就是使系统的某种性能指标达到最佳，也就是说，利用控制作用可使系统选择一条达到目标的最佳途径(即最优轨线)。至于哪一条轨线为最优，对于不同的系统可能有不同的要求。例如，在机床加工问题中可以要求加工成本最低为最优；在导弹飞行控制中可以要求燃料消耗最小为最优；在截击问题中可以选择时间最短为最优等。因此最优是以选定的性能指标达到最优为依据的。7.1最优控制的一般概念常用的性能指标：(1)最短时间问题(2)最小燃料消耗问题(4)线性调节器问题(3)最小能量问题(5)线性伺服器问题5.1李雅普诺夫关于稳定性的定义注2：对于非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。有以下三个平衡状态：例2

非线性系统：注3：由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到

坐标原点处。注4：稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。7.1最优控制的一般概念7.1.3二次型性能指标的最优控制给定一个

n阶线性控制对象，其状态方程：寻找最优控制，使得性能指标：达到最小值。7.1最优控制的一般概念常见的二次性性能指标最优控制分两类，即线性调节器和线性伺服器，它们已在实际中得到了广泛的应用。由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其线性的控制规律及其反馈控制作用可以做到与系统状态的变化比例。1线性调节器问题；2线性伺服器问题；终端时间有限的最优控制；终端时间无限的最优控制；7.1最优控制的一般概念7.1.4最优控制的研究方法当系统数学模型、约束条件及性能指标确定后，求解最优控制问题的主要方法有以下几种：解析法梯度型法数值计算法7.2线性二次型最优控制问题考虑系统：二次型性能指标基于二次型性能指标的最佳控制系统和最佳调节器系统的设计归结为确定矩阵

的各元素。采用二次型最佳控制方法的一个优点是除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。设线性控制律7.2线性二次型最优控制问题7.2.1基于李雅普诺夫第二法的最优控制系统从经典意义而言，首先设计出控制系统，再判断系统的稳定性；最优控制与此不同的是先用公式表示出稳定性条件，再在这些约束条件下设计系统。如果能用李雅普诺夫第二法作为最佳控制器设计的基础，就能保证正常工作，也就是说，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。因此，设计出的系统具有固有的稳定特性的结构(注意，如果系统是不可控的，不能采用二次型最佳控制)。7.2线性二次型最优控制问题考虑系统：系统矩阵A的特征根都具有负实部，即在原点是渐近稳定的。利用李氏第二法求解，假设：假设矩阵A包括一个可调函数，要求性能指标达到极小。7.2.2参数最优的李雅普诺夫第二法解法则：7.2线性二次型最优控制问题例：如图所示系统，确定阻尼比，使得系

统在单位阶跃作用下，性能指标为极小。解：假设系统初始是静止的。考虑误差信号：定义状态变量：状态方程7.2线性二次型最优控制问题性能指标为：7.2线性二次型最优控制问题性能指标为：7.3基于Matlab求解线性二次型最优控制问题Matlab指令：可求解连续时间的二次型调节器问题，并可求解黎卡提方程。该命令可计算最优控制器增益K,并计算性能指标在约束方程条件下达到极小的反馈控制律7.3基于Matlab求解线性二次型最优控制问题二次型最佳控制问题的MATLAB解法：

(1)给定任意初始条件

，最佳控制问题就是找到一个容许的控制向量，使

状态转移到所期望的状态空间区域上，使性能指标达到极小。为了使

最佳控制向量

存在，系统必须是状态完全可控的；(2)根据定义，使所选的性能指标达到极小(或者根据情况达到极大)的系统是最佳的。在多数实际应用中，虽然对于控制器在“最佳性”方面不会再提出任何要求，但是在涉及定性方面，还应特别指出，这就是基于二次型性能指标的设计，应能构成稳定的控制系统；7.3基于Matlab求解线性二次型最优控制问题(3)基于二次型性能指标的最佳控制规律，具有如下特性，即它是状态变量的线性函数。这意味着，必须反馈所有的状态变量。这要求所有的状态变量都能用于反馈。如果不是所有的状态变量都能用于反馈，则需要使用状态观测器来估计不可测量的状态变量，并利用这些估计产生最佳控制信号；

(4)当按照时域法设计最佳控制系统时，还需要研究频率响应特性，以补偿噪声的影响。系统的频率响应特性必须具备这种特性，即在预料元件会产生噪声和谐振的频率范围内，系统应有较大的衰减效应(为了补偿噪声的影响，在某些情况下，必须改最佳方案而接受次最佳性能或修改性能指标)；7.3基于Matlab求解线性二次型最优控制问题(5)如果在方程

给定的性能指标