高中数学映射教案-高中数学

2.1映射

教学目标

1.了解映射的概念，象与原象的概念，和•一映射的概念.

(1)明确映射是特殊的对应即由集合，集合和对应法则/■三者构成的一个整体，知道

映射的特殊之处在于必须是多对•和•对一的对应；

(2)能准确使用数学符号表示映射，把握映射与一一映射的区别；

(3)会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法.

2.在概念形成过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力.

3.通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力.

教学建议

教材分析

(1)知识结构

映射是一种特殊的对应，一一映射又是•种特殊的映射，而且函数也是特殊的映射，它

们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：

由此我们可从集合的包含关系中帮助我们把握相关概念间的区别与联系.

(2)重点，难点分析

本节的教学重点和难点是映射和一映射概念的形成与认识.

①映射的概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来.教学中应特

别强调对应集合三中的唯一这点要求的理解；

映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包

括集合A和集合B及对应法则f,由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和

多对多.其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，

而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对••和多对一的对应

就能体现出“任一对唯一”.

②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，决定了它在学习中是比较困难的.

教法建议

(1)在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然

后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种情况，让学生认真观察，

比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征,

让学生的认识从感性认识到理性认识.

(2)在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，

在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让

学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：

这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系.除此之外，映射的一般表示

方法为袅TB,从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数

是三件事构成的整体是非常有帮助的.

(3)对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，

教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后

教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一

些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括.最后再让学生举例，并逐步

增加要求向映射靠拢，引出一--映射概念.

(4)关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原象的方法是解方

程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认

识.

(5)在教学方法上可以采用启发，讨论的形式，让学生在实例中去观察，比较，启发学

生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深

化的作用.

教学设计方案

2.1映射

教学目标(1)了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念.

(2)在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力.

(3)通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力.

教学重点难点：：映射概念的形成与认识.

教学用具：实物投影仪

教学方法：启发讨论式

教学过程：

一、引入

在初中，我们已经初步探讨了函数的定义并研究了几类简单的常见函数.在高中，将利

用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义.那么映射是什么呢?这就是我们今天

要详细的概念.

二、新课

在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射

是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系.这要先从我们熟悉的对应说起（用投影仪

打出一些对应关系，共6个）

B

巴

向

一6

1

M

僖

书

证

图四

我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢？

提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素？

让学生仔细观察后由学生回答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论.最

后得出（1）,（2）,（5）,（6）是符合条件的（用投影仪将这几个集中在一起）

提问2：能用自己的语言描述一下这儿个对应的共性吗？

经过师生共同推敲，将映射的定义引出.（主体内容由学生完成，教师做必要的补充）

（板书）

一,映射

i.定义:一般地，设两个集合，如果按照某种对应法则广，对于集合二中的任何

一个元素，在集合三中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合2及二到

三的对应法则）叫做集合二到集合三的映射，记作了：'TB.

定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映

射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之处在于元素与元素之间的对应必须作到“任一

对唯一”，同时指出具有对应关系的元素即三中元素2对应三中元素士，则孑叫？的象,

二叫上的原象.

（板书）

2.象与原象

可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象.

提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子,看对映射是否真正认识了.

（开始时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等）

由学生自己评判.之后教师再给出几个（主要是补充学生举例类型的不足）

6•卜申｝…一”…B

（2）二6

（3）除以3的余数.

（4）上-｛高一1班同学｝,三■｛入学是数学考试成绩｝,『对自己的考试成绩.

在学生作出判断之后，引导学生发现映射的性质（教师适当提出研究方向由学生说，再由

老师概括）

（板书）3.对概念的认识

⑴_f：AT8与/：ST.是不同的，即三与三上有序的.

（2）象的集合是集合B的子集.

（3）集合A,以是数集，也可以是点集或其它集合.

在刚才研究的基础上，教师再提出（2）和（4）有什么共性，能否把它描述出来，如果学生

不能找出共性，教师可再给出几个例子，（用投影仪打出）

如:

AB

⑴

（2）/.｛数轴上的点｝，了实数与数轴上相应的点对应.

（3）==｛中国，日本，韩国｝,3=｛北京，东京，汉城｝,产相应国家的首都.

引导学生在元素之间的对应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不

同的元素对集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象.

那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射.

（板书）4.一一映射

（1）定义:设A,B是两个集合，是集合A到集合B的映射，如果在这个映

射下对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那

么这个映射叫做A到B上的——映射.

给出定义后，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确''一

一”的含义.然后再安排一个例题.

例1下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一个映射，判断这些映射是不是A

到B上的---映射.

a3456

b23456

图四

其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明-一一映射的特点

（板书）（2）特点:两个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的（元素个数相

同）；集合B与象集C是相等的集合.

对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射--映射，除此之外对于映射还要求能

求出指定元素的象与原象.

（板书）5.求象与原象.

例2⑴从R到肥的映射/则R中的-1在K♦中的象是—：A♦中

的4在R中的原象是.

⑵在给定的映射「（W）T（x+z.»-r）r,则点。为在丁下的象是

,点a为在』下的原象是.

⑶广4T8是集合A到集合B的映射，4-8・旦/:XT—-2x7,则八

中元素1+JE的象是_,B中象。的原象是_B中象-6的原象是_

由学生先回答第（1）小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找

到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用

代入法，求原象用解方程或解方程组.

注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与

映射的定义也是相吻合的.但如果是---映射，则方程一定有唯一解.

三、小结

1.映射是特殊的对应

2.一-映射是特殊的映射.

3.掌握求象与原象的方法.

四、作业：略

五、板书设计

一映射举例例2

1.定义4.一一映|寸

2.象与原莪（1）定义

举例例I小结

②特点

3.对概念的认识5.求费与原象作业

扩展资料

逆映射

在本节中我们介绍了映射与一一映射的概念，并将以此为基础学习函数的概念.对于一

一映射还可以进一步做一点研究.

如图：

图⑴图(2)

容易看出，图中(1)表示的映射是在J,作用下，后到三上的一一映射，图(2)所示的映

射是在W的作用下集合三到集合史上的一一映射，在映射的作用下的象与原

象，分别是在映射唐：ST■的作用下的原象与象，由此引出一个新概念称为逆映射.

定义:设是集合二到集合三上的一一映射，如果对于=中每一个元素上，

使上在上中的原象」和它对应，这样得到的映射称为映射7：8的逆映射，记作

尸：6T4

由定义不难看出只有一一映射才有逆映射，若4T8是一一映射,则/T:BT4

也是一一映射，刚才图中(1)(2),就是/:AT6的逆映射

对于逆映射，它对于我们后面所学的反函数概念的理解有很大的帮助，也可以帮助我们

认清反函数与原来函数之间的关系.

探究活动

(1)上={整数},-5={偶数},,试问二与工中的元素个数哪个多？为什么？如果我

们建立一个由二到三的映射对应法则J乘以2,那么这个映射是一一映射吗？

答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射.

(2)设A-(°阈，8-ON},问最多可以建立多少种集合K到集合3的不同映射?

若将集合三改为8*{123}呢?结论是什么？如果将集合三改为4・值》/},结论怎样？

若集合上改为X三改为B―{123},结论怎样？

从以上问题中，你能归纳出什么结论吗?依此结论，若集合A中含有*»个元素，集合B

中含有3f个元素，那么最多可以建立多少种集合工到集合工的不同映射？

答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射了：6有内.

个.

习题精选

⑴设集合4-{加，*"6),从三至的对应法则/不是

映射的是().

x-»V<

2"f%

:*一》产

(2)已知映射/：A—6,其中集合/3»-2TJ2M},且对任意A,

在S中和它对应的元素是H,则集合三中元素的个数最少是.

(3)设集合M・(申"41),*=g"41).下列四个图象中，表示从M到

”的映射的是().

(C)(D)

（4）已知从三到三的映射/：（2）T（x+，・O,则凹身的原象是

"J

（5）已知从二到二的映射是xT2x*l,从二到L的映射是2，其中

禺瓦,则从工至IJ广的映射是.

⑹已知集合♦■03女曲・3.7*./4玄},

且“逢€初*£4>>€6,/:«:-»尸-3*+1是由三到三的---映射，求的值.

答案：⑴上；⑵4；⑶三；⑷03或（3；⑸*T*2.（6）

a-2gk-5

典型例题

_例1下列集合三到集合三的对应中，判断哪些是上到5的映射？判断哪些是应到

J的一一映射？

⑴/对应法则『xT4,“8

（2）A-«*,fl-A*,Jr,xe4,

⑶<・H（r"，9（r}&・向。4"1）对应法则丁取正弦

⑷4”{0.1],对应法则J除以2得的余数.

⑸/・{-4.T.l.4）,-1.1.2）对应法则了

jrTwIxf.NW,jw8

（6）-4■（平面内边长不同的等边三角的6■（平面内半径不同的W,对应

法则,作等边三角形的内切圆.

分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，

要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全.

解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合二中有些元素(正整数)没有原象.

(2)是映射，是---映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数

都存在倒数.

(3)是映射，是一一映射，因为集合上中的角的正弦值各不相同，且集合三中每一个值

都可以是集合上中角的正弦值.

(4)是映射，不是一一映射，因为集合三中不同元素对应集合三中相同的元素.

(5)不是映射，因为集合三中的元素(如4)对应集合三中两个元素(2和-2).

(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆

都可以是一个等边三角形的内切圆.边长不同，圆的半径也不同.

说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合-三，集合三

及对应法则F有哪些具体要求，包括对法则『是数学符号语言给出时的理解.

例2给出下列关于从集合上到集合三的映射的论述，其中正确的有.

(1)三中任何一个元素在-二中必有原

象；

(2)正中不同元素在三中的象也不同；

(3)上中任何一个元素在-=中的象是唯一的;

(4)事中任何一个元素在口中可以有不同的象；

(5)±中某一元素在三中的原象可能不止一个；

(6)集合二与二一定是数集；

⑺记号/：4-3与丁：8T4的含义是一样的.

分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借

助具体的例子来帮助.

解：(1)不对(2)不对(3)对(4)不对(5)对(6)不对(7)不对

说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准

确.

,2x-l

例3⑴A=N,B-R,2x+l,XGA,在」的作用

n

F,13的原象是多少？14的象是多少？

(2)设集合A-｛偶数｝,映射AT8把集合A中的元素金映射到集合B中

的元素。’-。，则在映射-7下，象20的原象是多少？

⑶/:4T6是从二到三的映射，其中/

,则/中元素近的象是多少？三中元素他的原象是多少?

分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法.

_2__x_-__l■It11

解：（1）由2x4-113,解得工.6,故13的原象是6；

2x14-12727

_______________■■_____

又2x14*129,故14的象是29.

(2)由解得。-5或。-7,又。WW,故4-5即20的原象是5.

Jj+1-2

⑶点的象是(血+口，由W解得x=i,故Q23的原象是I.

说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程

组.在本题中第(2)小题和第(3)小题在求象时，对二和工的制约条件都是两条，应解方程组,

且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解，有唯一解，无数解).其中第(3)小题集合三中

的元素应是二元数(有序数对)，计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时必须先

认清集合的特征.

2.2函数

教学目标

1.理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域.

(1)了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射.能理解函数是由定义

域，值域，对应法则三要素构成的整体.

(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法.了解每种方法

的优点.

(3)能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域.

2.通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高.

(1)对函数记号有正确的理解，准确把握其含义，了解(二为常数)与

/(X)的区别与联系；

(2)在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性.

3.通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习.

教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

奇禺性--*对效晶数

|一一映.射,--A反函数卜

(2)重点难点分析

本小巧的重点是在映射的基础上理解函数的概念.，主要包括对函数的定义，表示法，

三要素的作用的理解与认识.教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用.

①由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的函数,

对函数并不陌生，所以在高中重新定义函数时，重要的是让学生认识到它的优越性，它从根

本上揭示了函数的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函

数与函数解析式区分开来.对这•点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助.

②在本节中首次引入了抽象的函数符号学生往往只接受具体的函数解析式，而

不能接受所以应让学生从符号的含义认识开始，在符号中，工在法则/卜对应

/(*),不是『与工的乘积，符号本身就是三要素的体现.由于1所代表的对应法则不一

定能用解析式表示，故函数表示的方法除了解析法以外，还有列表法和图象法.此外,(乃本

身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量.如

它应表示以工为自变量的二次函数，而如果写成尸讶，则我们

就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当；为变量时，它就不代表二次函数.

2.教法建议

(1)高中对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸.深化首先体现在函数的定义

更具一般性.故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，教师

再给出如：是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的

观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要.

(2)对函数是三要素构成的整体的认识，一方面可以通过对符号/口)的了解与使用来

强化，另一方面也可通过判断两个函数是否相同来配合.在这类题目中，可以进一步体现出

三要素整体的作用.

(3)关于对分段函数的认识，首先它的出现是一种需要，可以给出一些实际的例子来说

明这一点，对自变量不同取值，用不同的解析式表示同一个函数关系，所以是一个函数而不

是几个函数，其次还可以举•些数学的例子如这样的函数，若利用绝对值的定义它就

(XM2。

r<0这就是一个分段函数，从这个题中也可以看出分段函数是•个

函数.

教学设计方案

2.2函数

教学目标：

1.理解函数的概念，了解函数三要素.

2.通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高.

3.通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学

学习.

教学重点难点：重点是在映射的基础上理解函数的概念;

难点是对函数抽象符号的认识与使用.

教学用具：投影仪

教学方法：自学研究与启发讨论式.

教学过程：

一、复习与引入

今天我们研究的内容是函数的概念.函数并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所

知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？

（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）

2

1y=x+lj--+33=一

学生举出如x等，待学生说完定义后教师打出投影片，给

出定义之后教师也举一个例子，问学生.

提问1.尸・3是函数吗？

（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认

为是函数，理由是可以可做）

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天

研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善

与深化.

二、新课

现在请同学们打开书翻到第50页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题.（约2-3

分钟或开始提问）

提问2.新的函数的定义是什么？能否用最简单的语言来概括一下.

学生的回答往往是把书上的定义念.一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形

式发现定义的本质.

（板书）2.2函数

一、函数的概念

1.定义：如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函

数，记作y其中原象集合A称为定义域，象集C（CU为称为值域.

问题3：映射与函数有何关系？（函数一定是映射吗?映射一定是函数吗?）

引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A,B必是非空的数集.

2.本质：函数是非空数集到非空数集的映射.（板书）

然后让学生试回答刚才关于3是不是函数的问题，要求从映射的角度解释.

此时学生可以清楚的看到止&8.{31/：XT/4”反满足映射观点

下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然.

教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释-2"3是个函数？

从映射角度看可以是4.氏8----2x*Xxe4.^e6•其中定义

域是三，值域是

从刚才的分析可以看出，映射观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质.这

也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要.所以我们着重从映射角度再来认识函数.

3.函数的三要素及其作用（板书）

函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域.值域和对应法则.当

我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它.

例1以下关系式表示函数吗?为什么？

.（..f2r口—_____

（1）；⑵+

吐Q

解：（1）由/㈤有意义得I1-7,解得JTW0.由于定义域是空集，故它不能

表示函数.

（2-xi.O

（2）由有意义得1*-22°,解得K・2.定义域为{2},值域为{0}.

由以上两题可以看出三要素的作用

（1）判断一个函数关系是否存在.（板书）

例2下列各函数中，哪一个函数与A-力-1是同一个函数.

_4*'-I

⑴'-2x+l；（2）Z-2X-L（X>0）；⑶卅・a-1；（4）

解：先认清它是/■A（定义域）到£（值域）的映射，其中

再看⑴定义域为*W&且2,是不同的；（2）定义域为X>0,是不同的;

2r-tx—

2

1一2/x<—

L2,法则是不同的;

而（3）定义域是三，值域是三，法则是乘2减1,与尸.筋-1完全相同.

求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要

素的又一作用.

（2）判断两个函数是否相同.（板书）

下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究

函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号JQ）说起.

4.对函数符号的理解（板书）

首先让学生知道了■/（©与/（k）的含义是一样的，它们都表示：'是工的函数，其中

工是自变量，是函数值，连接的纽带是法则-『，所以这个符号本身也说明函数是三要

素构成的整体.下面我们举例说明.

例3已知函数/（M）.3x-2,试求/⑶/⑷（板书）

分析：首先让学生认清的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行

计算.

含义1：当自变量工取3时，对应的函数值即/⑶；

含义2：定义域中原象3的象，根据求象的方法知了6-3x3-217.而了⑷

应表示原象金的象，即/⑷一勿一2

计算之后,要求学生了解与/5）的区别，,■）是常量，而力是变量，/■）

只是/G）中一个特殊值

最后指出在刚才的题目中,口）是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数

/（*）不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进

一步研究.

三、小结

i.函数的定义

2.对函数三要素的认识

3.对函数符号的认识

四、作业：略

五、板书设计

2.2函数例1.例3.

函数的概念

1.定义

2.本质例2.小结:

3.函数三要素的认识及作用

4.对函数符号的理解

扩展资料

关于复合函数

高中数学对函数的研究主要类型有常见函数（七类），由上述常见函数构成的复合函数，

由常见函数做四则运算而得到的函数及实际生产生活中产生的函数.其中重点是前两类.常

见函数在课本中都将系统研究，而复合函数在课本中没有给出定义，所以在这里我们对复合

函数做点介绍.

一般来说，如果了是3的函数，而3又是土的函数，即那么

关于工的函数尸・加（*）1叫做/和M的复合函数.，其中，叫做中间变量.

在复合函数中，自变量是工，，是中间变量，因变量是；，：.是通过中

1

间变量与自变量工间接建立起函数关系的.如*/+2x就可以看作反比例函数＞u

2

与二次函数”*2*复合而成，如果给出函数尸■-%»-1，x,它们就可以复合

-3'--1----1

成一个以工为自变量F为因变量的函数关系即JX.在刚才形成这个

复合函数的函数关系的过程实际上就是一个换兀的过程，而且处理复合函数的很多问题都需

要用换元法去处理.有了复合函数的概念，下列问题我们就都可以解决了.

1.已知函数/（劝-*'+3Z求

2.已知函数/⑸的定义域为氏2］，求/◎*一0的定义域.

3.已知函数,QX-D・3X+2,求/&）.

扩展资料

函数史话

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则『，对于集合A中任何一个元素，在集合B

中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射\记作当

集合A,B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射了：4T6就

叫定义域A到值域B上的函数.

笛卡儿引入变量后，随之而来的便是函数的概念.他指出y和工是变量（“未知量和未

定的量”）的时候，也注意到y依赖于而变工.这正是函数思想的萌芽.但是他没有使用“函

数”这个词.

“函数”这个词用作数学的术语，最早是莱布尼茨，但其含义和现在不同，他指的是关

于曲线上某点的一些线段的长（如横坐标、纵坐标、弦、切线、法线等）.

1718年，瑞士数学家约翰•贝努利给出函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这

个词.他写道“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量.”

“函数”这个概念随着数学的不断发展而变化.历史上每个阶段，都有它相应的定义.

18世纪，欧拉曾经前后给出函数的三种定义：

1.将函数定义为“解析表示式”他写道：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个

变量和一些常量以任何方式组成的.”

2.将函数定义为“由曲线确定的关系”：“在个平面上徒手画出来的曲线所表示的y

与工之间的关系."

3.将函数定义为“变量之间的依赖变化”.他说：“如果某些变量，以这样一种方式依

赖于另•些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则前面的变量称

为后面变量的函数.”

用现代的眼光去看，这三种定义都有一定的局限性.第1种、第3种两种定义容易理解,

所以现在仍然被一些通俗的读物所采用，缺点在于过分狭窄，因为许多函数是没有解析表达

式的，也有些函数并不随自变量工的变化而变化.第2个定义意义不够明确且局限于表达方

式.不管怎样，欧拉定义对后世的影响很大.

1837年，德国数学家秋里赫勒进一步给出函数的定义：”对于在某区间上的每一个确定

的工值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做丁的函数.”这已经相当接近现在许多教

科书所采用的定义.

19世纪70年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系.这是

目前般教科书所用的“集合对应”定义.

采用“集合对应”定义以后，摆脱了“变量”一词.

“变量”一词的意义至今尚不清楚.“自变量”这个提法本身也是有缺点的，因为变量

必定依赖于时间而变，也就是它必定是时■间的函数，不可能脱离时间而“自变量”.对于函

数采用了“集合对应”定义以后，摆脱了“变量”与“自变量”等名词，定义函数无需再依

赖于时间了.而变量这个词.许多学者主张废弃不用，有人主张将“自变量”“因变量”改

为“第一值”“第二值”.

我国“函数”一词，是《代微积拾级》中首先使用的，这本书把函数定义为：“凡此变

数中含彼变数，则此为彼之函数.”这里“函”是包含的意思.这定义大致相当于欧拉的解

析表达式定义，在一个式子中“包含”着变量工，那么这个式子就是工的函数.

函数这个概念已成为数学中最重要的儿个概念之一，而变量这个词却逐渐被新的词所代

替.

（2）函数值域的两种基本求解方法

由函数值域的定义，函数值的集合叫做函数的值域，因此函数的值域可由定义域直接推

1

算.例如：尸,44的值域为｛小灯，'中,因为一+1为大于等于1的—

切实数，所以°，+产,即函数的值域为｛即

另一•方面我们可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数尸看做是关

于自变量七的方程，?在值域中任取一个值外，儿对应的自变量三一定为方程

外./（*■）在定义域中的一个解，即方程."/（工）在定义域内有解；另一方面若产取某值

方程尤・/（好在定义域内有解工:，则.一定为工:对应的函数值.从方程的角度，

_1

函数的值域即为使关于工的方程A./（外在定义域内有解的堇的取值范围，如,*变形

得丹・1,方程在定义域｛中内有解的条件为k°,“0即为函数的值域.

基于上述对函数值域概念的理解，求函数值域问题可通过直接推算和方程讨论两种方法

解决.

2x+l

y-------

例1求函数x-3的值域.

分析：此题是关于工的•次分式函数，这种题目可通过求关于工的方程在定义域内有解

的条件来求得值域，也可以经过变形（分离常量），观察得出结果.

解法1：把函数看成是工的方程，变形得（/一切..+l（工.3）,进一步整理得

（y-2）x.》+l

x-2f0

,力+1.产”2

方程在定义域｛中'Rdf内有解的条件即为:（尸2

｛巾wR如

所求的值域为

解法2：将原函数变形为x-3*-3

vx^3

—fO

...X-3

例八反具12｝

..”2,即函数值域为

例2求函数,』+1的值域.

解：易得函数的定义域为R.

由函数解析式：3-D--9+n

当时，方程3-D/・P+D.在定义域R内无解.

.•"1

当时，有尸-1

-00

•••72Q,所以当且仅当时工有实数解.

-廿七0"-1"<1

了-1

综上所述，函数的值域是

..、4x-a

例3对于定义域为实数集R的函数7*1（4为常数），回答下列下列问题:

若”尸■

(1)

(2)当：取由（1）所确定的值时，求7・/口）的值域.

/Q-1匕/

解:(1)由“2得1*12,a-3.

4x-3

(2)当。・3时，所给函数变为V+1定义域为R

由解析式得：^-4«*（y+3）-0

3

cX--wR.门

当时，4...A-U属于函数的值域.

当时，若方程有实数解，则

A76-3一出20

解得：.

.4*-3

故函数了2+1的值域为3一4-41卜

直接推算的方法要注意对函数式的化简，方程讨论的方法要在定义域内进行.

探究活动

函数在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与函数有关的问题

如在我们身边就有不少分段函数的实例，下面就是一个生活中的分段函数.

夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关.某人到一个水果店去

买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元.6斤以上9斤以下，每斤0.5元，9斤

以上，每斤0.6元.此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，

可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承

认了错误，照实收了钱.

同学们，你知道顾客是怎样店主坑人了呢?其实这样的数学问题在我们身边有很多，只要你注

意观察，积累，并学以至用，就能成为一个聪明人，因为数学可以使人聪明起来.

答案：

若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元,若西瓜重9斤以上,则最少也要5.4元,不可能出现

5.1元这样的价钱,所以店主坑人了.

习题精选

（1）在下列四组函数中，与&口）表示同一函数的是（）.

⑷/㈤■舒

由出”叫向

(£)Hl-JTX<-1

(Q/W-x+txe-x*lxeZ

(0)/W-凡"(扃’

⑵设"・自一2«*4,函数，⑸的定义域为M,值域

为*，则/GO的图象可以是（）.

⑷

（3）给定映射广（”）T（石•**/,在映射/下象8的原象是（"），则函数

/（X）--+痴-3的顶点坐标是.

（4）求卜列函数的定义域

Cx-D*1

①,J-£+x+2.②|2»♦1|♦|x-1；

K+2

/（X）Jx-5M»6

⑸已知1/（x*勿M<6,则----------

（6）求下列函数的值域：

①y・-/+*+2；

②y3-2£*€卜29］；

③，T-2*TXW（-L2］；

x-10*26

{8生-2Sx<«

⑺己知函数/⑸满足/W+/W-*&）,且/②.PJSF,那么

等于（）.

⑷p*q⑷3k%

（S2p+*

(8)已知函数/W-+.+A的定义域为｛加'”42).则a.b的值分别为

7

⑼已知八町wqi*q,且2,则实数痴的值为—

(io)半径为二的圆内接等腰梯形如②，它的下底是。直径，上底CD的端点

在圆周上，写出这个梯形周长F和腰长工之间的函数式，并求它的定义域.

答案：

(1)B:(2)B；⑶b'M)；

(4)①(-tl)u(u)(2)三③(5)2；

(6)①(、彳］②卜时③卜4可④卜…)；(7)B；(8)

-2.-3--/(*)-*2«

2；(9)8；(io)R,”€&列

典型例题

例1判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由.

(Dx-x-l,xeZl与y・*-Lxw"；

(2)V-J*'-4与y-Jx-2-Jx+2

>"I*—u-I*—

(3)X与V.

⑷与

2x*20

{-2xx<0

分析：判断两个函数是否相同，应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较，而求定

义域时应让原始的解析式有意义，而不能进行任何非等价变换，对应法则的判断需判断它的

本质是否相同而不是从表面形式上下结论.

解：(1)不同，因为它们定义域不同.

(2)不同，前者的定义域是*22或X4-2,后者的定义域是工22.

(3)相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1.

(4)不同，定义域是相同的，但对应法则不同.

(2xx>0

⑷相同，将"配利用绝对值定义去掉绝对值结果就是1一女,<0

说明：此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对

应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同，同时提醒学生，认识函

数对应法则必须认清它的本质，而不是从表面上做判断.

例2已知集合P・k"”・2?+3E-2《X《3}

那么集合「no中所含元素个数为().

C4)0⑶1©o或1(孙或2

分析：此题是以集合语言表述的问题，解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解，

然后结合函数概念在运动变化过程中进行研究，求解时，可以先从形的角度，再从数的角度

提同认识.

解：从函数观点看，两个集合的交集中所包含的元素的个数，从数的角度即在

中，令看有几个相应的：.与之对应；从形的角度即

/-2/+3/23］的图象与直线”■。有儿个公共点，由于二是不确定的，

于是当二三卜23］时，有-个交点，当“卜23］时，则没有交点，所以应选©.

说明：此题目的在于进一步认识函数概念本质，纠正只注意对应法则而忽视定义域作用

的毛病，而且还应从数和形两角度认识问题，解决问题.

例3求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式.