2022-2023学年山东省临沂市郯城实验中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省临沂市郑城实验中学九年级第一学期期末

数学试卷

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

c®。£

2.用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（）

3.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

8C

AHB.C./D./

4.如图，4,B两点在双曲线y=旦上，分别经过A,8两点向轴作垂线段，己知阴影小矩

形的面积为1,则空白两小矩形面积的和S+S2=（)

5.如图，小球从4口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则

小球最终从E口落出的概率为（）

A.逗B.&C.运D.近

1313266

7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE,若/£=70°且AD_LBC于点凡

A.80°B.85°C.90°D.95°

8.如图，A、B、C为OO上的三个点,/AO8=60。，则NC的度数为()

A.15°B.30°C.45°D.60°

9.将二次函数y=N的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的

表达式是（）

A.y=(x+2)2+3B.y=(x+2)2-3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

10.二次函数y=2（x+1）2+3的顶点坐标是)

A.1,-3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(1,3)

11.关于x的方程区2-4x+4=0有实数根，Z的取值范围是（)

A.k<l且ZWOB.k<\C.k^l且&W0D.kWl

12.已知：抛物线尸分2+bx+c（qW0）的对称轴为直线x=l,与工轴的一个交点坐标为（-

h0）,其部分图象如图所示，下列结论:

①abc>0；

@b2-4ac>0；

@a-b+c=0；

④方程or2+bx+c=0(aWO)的两个根是xi=-1,JQ=3；

⑤8〃+cV0.

其中正确的结论有（）

C.2个D.1个

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.计算：sin30°+tan450-2cos60°=.

14.如图，ZVIBC中，点O,E分别在AB,AC边上，DE//BC,若AO=2,DB=3,DE=

15.如图，圆锥的底面半径为2,母线长为4,则它的侧面积为

16.如图，将矩形纸片A8CZ)(AD>OC)的一角沿着过点。的直线折叠，使点A落在BC

边上，落点为E,折痕交AB边于点立若AB=4,BC=5,则"=.

三.解答题(共6小题，满分68分)

17.(I)用适当的方法解下列方程:

(1)4(x-1)2=9；

(2)2x2-3x-1—0.

(H)如图，在一块长13〃?，宽7〃?的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两

条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是72加，则

道路的宽应设计为多少m?

18.如图，反比例函数y=&(kWO)的图象经过点-2,4)和点A(«,-2).

(I)求该反比例函数的解析式和a的值.

(II)若点C(x,y)也在反比例函数y=K(卜声。)的图象上，当2Vxe8时，求函数y

的取值范围.

19.如图，小明在甲楼顶部观测乙楼，甲，乙两楼水平距离为120m，小明观测乙楼顶部的

仰角为60°,底部的俯角为30°,求乙楼的高度(结果取整数).(参考数据：百七

1.73)

20.如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，。是延长线上一点，NBCD=NA,CA

=CD.

(1)求证：cn是。。的切线；

(2)若8。=2,求图中阴影部分面积.

21.某劳动保护商店出售冬季劳动保护套装，进货价为30元/套.经市场销售发现：售价为

40元/套时，每周可以售出100套，若每套涨价2元，就会少售出4套.供货厂家规定市

场售价不得低于40元/套，且商店每周销售数量不得少于70套.

（1）确定商店每周销售这种套装所得的利润w（元）与售价x（元/套）之间的函数关系

式；

（2）当售价x（元/套）定为多少时，商店每周销售这种套装所得的利润w（元）最大？

最大利润是多少？

22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸-■1。+云+£:与直线丫卷乂+1交于A，B两点，

点A在x轴上，点B的横坐标为2.

（1）点A坐标为，点B坐标为.

（2）求此抛物线所对应的函数解析式.

（3）点P是抛物线上一点，点P与点B不重合，设点P的横坐标为，小过点尸作尸C〃

y轴，交直线A8于点C,设PC的长为近

①若点P在直线A8的上方，求6关于机的函数解析式；

②若点P在x轴的上方，当〃随机的增大而增大时，直接写出机的取值范围.

参考答案

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

C@"A

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

8、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

。、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分

重合.

2.用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（）

B.

C.------------D.

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.

解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形.

故选：C.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与aABC相似的是（）

BC

BcD

A.Lj/I---

【分析】利用△ABC中，NAC8=135°,AC=&,BC=2,然后根据两组对应边的比

相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可.

解：在△ABC中，ZACB=135°,AC=&,BC=2,

在8、C、。选项中的三角形都没有135°,而在A选项中，三角形的钝角为135°,它

的两边分别为1和料，

因为名=近，所以A选项中的三角形与aABC相似.

V21

故选：A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定.注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两

个三角形相似.

4.如图，A,B两点在双曲线>=旦上，分别经过A,8两点向轴作垂线段，已知阴影小矩

形的面积为1,则空白两小矩形面积的和S1+S2=（)

【分析】根据反比例函数系数左的几何意义可求出SI=S2=2,进而求出答案.

解：：A,8两点在双曲线），=/■上，

.,.51+1=$2+1=3,

：.SI=S2=2,

.".5I+S2=4,

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的儿何意义是

正确解答的关键.

5.如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则

小球最终从E口落出的概率为（）

【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点8、C、

。处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、，也都是等可能情况，然后根据

概率的意义列式即可得解.

解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，

小球最终落出的点共有E、F、G、，四个，

所以，最终从点E落出的概率为J.

4

故选：B.

【点评】本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及

可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

6.如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin/BAC=()

A.唔B.唔C.唔D*

【分析】如图，取格点T,连接BT交AC于H,则8HLAC,设BH=a,则A”=5a,利

用勾股定理求出AB,可得结论.

解：如图，取格点7,连接BT交4c于H,则8H_L4C,设则A”=5〃,

在中，AVBH2+AH2=Va2+(5a)2=^26«-

故选：C.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形

解决问题，属于中考常考题型.

7.如图，将AABC绕点A逆时针旋转65°得到△4OE,若/E=70°且AO_L8C于点凡

则NBAC=()

A.80°B.85°C.90°D.95°

【分析】由旋转的性质可得NBA£>=65°,NE=NACB=70。，由直角三角形的性质可

得/D4c=20°,即可求解.

解：：将AABC绕点A逆时针旋转65°得△AQE,

：.ZBAD=65°,NE=NACB=70°,

'JADLBC,

N£)AC=20°,

AZBAC^ZBAD+ZDAC=S5°.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键.

8.如图，A、B、C为0。上的三个点，408=60°,则NC的度数为()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】直接利用圆周角定理求解.

解：和/C都对金，

AZC=—ZAOB=—X60°=30°.

22

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

9.将二次函数y=/的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的

表达式是()

A.y=(x+2)2+3B.尸(x+2)2-3C.>>=(%-2)2+3D.尸(%-2)2-3

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答.

解：二次函数)，=/的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的

表达式是：y=(x-2)2-3.

故选：D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此

题的关键.

10.二次函数y=2(x+1)2+3的顶点坐标是()

A.(-1,-3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(1,3)

【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标.

解：•••二次函数为y=2(x+1)2+3,

，顶点坐标为：(-1,3),

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质-顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点式.

11.关于x的方程丘2-以+4=0有实数根，k的取值范围是()

A.上<1且右£0B.k<\C.々W1且公£0D.

【分析】分两种情况讨论：当々=0时，当上#0时，即可求解.

解：当％=0时，-4x+4=0,

解得：X—1；

当&W0时-，

；关于x的方程丘2-叙+4=0有实数根，

(-4)2-4X4&20,

解得:K1且20；

综上所述，k的取值范围是

故选：D.

【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程以2+法+C=0

(a#0),当A=〃-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=82-4ac=0时，

方程有两个相等的实数根：当A=b2-4“c<0时;方程没有实数根是解题的关键.

⑵已知：抛物线y=ar2+6x+c(4W0)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为(-

1,0),其部分图象如图所示，下列结论：

①4儿>0;

②按-4«c>0；

③a-匕+c=0：

④方程，*+版+，=0（aWO）的两个根是xi=-1,*2=3；

⑤8a+c<0.

其中正确的结论有（）

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标即可判断mb,c的值，即

可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断②；把（-1,0）代入、=狈2+反+。

中，进行计算即可判断③；根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断

④；根据抛物线的对称轴可得b=-2m再根据当x=-2时，y<0,进行计算即可判断

⑤.

解：•.•抛物线开口方向向下，

.,.a<0,

抛物线的对称轴在y轴的右侧，

.".a,b异号,

：.b>0,

•.•抛物线与y轴的交点在正半轴，

：.c>0,

.".abc<0,

故①不正确：

•.•抛物线与x轴有两个交点，

.•.拄-4ac>0,

故②正确；

把（-1,0）代入y=ar2+bx+c中得：

a-b+c=O,

故③正确；

V抛物线的对称轴为直线X=1,

...点（-1,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（3,0）,

，方程012+笈+C=0（aWO）的两个根是xi=-l,及=3,

故④正确；

V抛物线的对称轴为直线x=-£=1,

2a

'.h—-2a,

当x=-2时，y<0,即4。-2Z?+c<0,

.,.4a+4a+c<0,

8a+c<0,

故⑤正确；

所以，上列结论中正确的有4个，

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交

点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键.

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.计算：sin300+tan45°-2cos60°=—.

一2一

【分析】根据特殊角的三角函数值得到原式=今1-2X《，然后进行有理数的混合运算.

22

解：原式=小1-2X《

22

=—+1-1

2

=1

方

故答案为：

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键.

14.如图，/XABC中，点。，E分别在48,AC边上，DE//BC,若A£>=2,OB=3,DE=

1,则BC的长是2.5.

【分析】首先由。石〃5C可证得进而可根据相似三角形得到的比例线

段求得8c的长.

解：■:DE/IBC,

：.AADE^AABC,

DE：BC=AD：AB,

9

\AD=2fDB=3,

：.AB=AD+BD=5t

Al：BC=2：5,

ABC=2.5,

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比

较典型，难度适中.

15.如图，圆锥的底面半径为2,母线长为4,则它的侧面积为8n.

【分析】圆锥的侧面积=底面周长X母线长+2,把相应数值代入即可求解.

解：圆锥的侧面积=2TTX2X4+2=8TT,

故答案为：8Tt.

【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，解题的关键是熟记圆链的侧面积的计算公式.

16.如图，将矩形纸片ABC。(A£»£)C)的一角沿着过点力的直线折叠，使点A落在BC

边上，落点为E,折痕交AB边于点立若AB=4,BC=5,则

【分析】根据四边形ABCO是矩形，得AB=C£>=4,A£>=BC=5,NA=/B=NC=90°,

而沿着过点。的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E,有。E=AD=5,AF=EF,

在中，EC=3,可得BE=BC-EC=2,设则AF=EF=4-x,在Rt

△BEF中可得22+N=(4-x)2,即可解得答案.

解：•••四边形48CD是矩形，

：.AB=CD=4,AD=BC=5,ZA=ZB=ZC=90°,

:沿着过点。的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E,

：.DE=AD=5,AF=EF,

在RtAQEC中，EC={DE2-CD2=3,

：.BE=BC-EC=2,

设Bb=x,则AF=EF=4-x,

在RtZXBEF中，8£?+8产=£/，

.,.22+/=(4-x)2,

解得

：.BF=—,

2

故答案为：

【点评】本题考查矩形中的折叠为题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定

理列方程解决问题.

三.解答题(共6小题，满分68分)

17.(I)用适当的方法解下列方程：

(1)4(x-1)2=9；

(2)Zr2-3x-1=0.

(II)如图，在一块长13〃?，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两

条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是72m2,则

道路的宽应设计为多少〃?？

【分析】(I)(1)利用配方方解一元二次方程，即可求出方程的解；

(2)利用公式法解一元二次方程，即可求出方程的解；

(II)设道路的宽应设计为mz,则栽种花草的部分可合成长为(13-x)m,宽为(7-x)

机的矩形，根据栽种花草的面积是72加2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符

合题意的值即可得出结论.

解：(I)⑴V4(%-1)2=9,

Q

(%-1)2=—,

4

..3

•・X-1—土

2

/.X-1=-3或X-1,

22

...XI...-----1-,X2=—5.

22

(2)V2x2-3x-1=0,

.•.々=2,b=-3,c=-1,

:.△=h2-4ac=(-3)2-4X2X(-1)=17,

.r_3±T17

4_

•»X]--------------,X2--------------.

44

(ID设道路的宽应设计为x，"，则栽种花草的部分可合成长为(13-x)m,宽为(7-x)

m的矩形，

依题意得：(13-x)(7-x)=72,

整理得：x2-20x+19=0,

解得：x.=l,X2=19(不符合题意，舍去).

答：道路的宽应设计为1%.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、直接开平方法解一元二次方程以及公式法解

一元二次方程，解题的关键是：（I）熟练掌握一元二次方程的各种解法；（II）找准

等量关系，正确列出一元二次方程.

18.如图，反比例函数y上（k声0）的图象经过点「2,4）和点A（a,-2）.

X

（I）求该反比例函数的解析式和。的值.

（II）若点C（x,y）也在反比例函数y=&（k声0）的图象上，当2VxV8时，求函数y

x

的取值范围.

【分析】（I）待定系数法求反比例函数解析式，把点A的坐标代入解析式即可求出①

（II）分别求出尤=2和x=8时对应的y值，再利用反比例函数的增减性即可求解.

解：（I）将点（-2,4）代入y=K（ZWO）,得：

x

k=-2X4=-8,

...反比例函数解析式为：y=-

X

把点A（〃，-2）代入y=-3得-—=-2,

xa

.•.a=4,A（4,-2）；

（II）点C（x,y）也在反比例函数y支（k卉0）的图象上，

x

，当x=2时，y=-4；当x=8时，y=-l,

■:k=-8<0,

・••当x>0时，y随工值增大而增大，

・••当2VxV8时，

-4<y<-1.

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例

函数图形上点的坐标特征，由待定系数法求出反比例函数解析式是解决问题的关键.

19.如图，小明在甲楼顶部观测乙楼，甲，乙两楼水平距离为120m,小明观测乙楼顶部的

仰角为60。，底部的俯角为30。，求乙楼的高度（结果取整数）.（参考数据：七

1.73）

【分析】过4作于。，由锐角三角函数定义分别求出8。、CD的长，即可解决

问题.

解：过A作AOLBC于£>,

则NAZ)B=N4OC=90°,

由题意得：AD^\20m,NBAD=60：ZDAC=30°,

在RtZ\AB£)中，tanNBAQ="^"=tan60°—\[3,

AD

在Rt^ACO中，tan/ZMC=^=tan30°=近，

AD3

：.CD=^-AD=^-X120=40-73(机)，

33

ABC=BD+CD=120-73+40V3=16073^277(m),

答：乙楼的高度约为277%.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角定义和锐

角三角函数定义是解题的关键.

20.如图，AB是。。的直径，C是。0上一点，。是AB延长线上一点，NBCD=NA,CA

=CD.

（1）求证：是。。的切线；

（2）若BD=2,求图中阴影部分面积.

【分析】（I）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出/OCD

=90°即可；

（2）求出三角形08的面积和扇形8OC的面积即可.

【解答】（1）证明：连接OC,

是。。的直径，

AZACB=90°,

"：AO=OC,

：.ZA=ZACO,

又♦：NBCD=ZA,

：.NOCD=NOCB+NBCD

=ZOCB+ZACO

=ZACB

=90°,

:.OCLCD,

・・,oc是OO半径，

・・・CO是。。的切线；

(2)连接OC,

设NO=x,

•:CA=CD,

I.ZA=ZD=x,

u：ZBCD=ZA,

:・/BCD=/D=x,

:・CB=BD,ZOCB=ZBCD+ZD=x+x=2x.

9

：OC=OB1

：.ZOBC=ZOCB=2x.

由(1)可得co是。。的切线，OC是OO半径，

：.ZOCD=90°,

ZOCD=ZOBC+ZBCD=2x+x=3x,

：.3x=90°,

即x=30°

/.ZOBC=ZOCB=2x=60°,

AZCOB=180°-ZOCB-ZOBC=180°-60°-60°=60°,

：.ZCOB=ZOBCf

：.OB=BC=BD=2.

：.OC=OB=2fOD=OB+BD=2+2=4.

在RL^OCO中，CD2：。。？-OC2,

CD=VOD2-OC2=742-22=2V3，

.门n兀R26071X222兀

"$扇形COB===，

3603603

SA0CD=^CCD=^X2X273=273.

.r2兀

••S阴影=SAOCD-S扇形OCB=2V3飞

【点评】本题考查切线的判断和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积

的计算方法，圆周角定理以及切线的判断是正确解答的关键.

21.某劳动保护商店出售冬季劳动保护套装，进货价为30元/套.经市场销售发现：售价为

40元/套时，每周可以售出100套，若每套涨价2元，就会少售出4套.供货厂家规定市

场售价不得低于40元/套，且商店每周销售数量不得少于70套.

（I）确定商店每周销售这种套装所得的利润w（元）与售价x（元/套）之间的函数关系

式；

（2）当售价x（元/套）定为多少时，商店每周销售这种套装所得的利润•（元）最大？

最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意，可以得到商场每周销售冬季劳动保护套装所得的利润w（元）

与售价x（元/套）之间的函数关系式；

（2）根据供货厂家规定市场售价不得低于40元/套，且商店每周销售数量不得少于70

套，可以得到无的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到w的最大值，从而可

以解答本题.

解：（1）由题意可得，（x-30）[100—=-2X2+240X-5400）

即商店每周销售这种套装所得的利润卬（元）与售价x（元/套）之间的函数关系式是w

=-Zr2+240x-5400；

（2）•.•供货厂家规定市场售价不得低于40元/套，且商场每周销售数量不得少于70套,

'x>40

…100-X4>70）

解得，404W55,

；w=-2N+240X-5400=-2(x-60)2+1800

.•.当x=60时，w取得最大值，

：40WxW55,

.•.当x=55时，利润w最大值为:-2(x-60)2+1800=-2(55-60)2+1800=1750(元),

答：当售