2016年高考数学选择题的解法技巧(绝密)

第1讲选择题的解法技巧第二篇

掌握技巧，快速解答客观题

内容索引题型概述方法一直接法方法二特例法方法三排除法方法四数形结合法方法五构造法方法六估算法选择题突破练题型概述

选择题考查根底知识、根本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称．解选择题只要结果，不看过程，更能充分表达学生灵活应用知识的能力．解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，防止小题大做．方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法那么和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．A.[－3,0) B.{－3，－2，－1}C.{－3，－2，－1,1} D.{－3，－2，－1,0}故集合P＝{x|x<0或x＝1，x∈Z}.x2＋2x－3>0，故x<－3或x>1，故集合Q＝{x|x<－3或x>1}，故∁RQ＝{x|－3≤x≤1}，故P∩(∁RQ)＝{－3，－2，－1,1}.答案CC

思维升华涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错．跟踪演练1(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第m项满足6<am<9，那么m等于()A.9 B.8 C.7 D.6解析因为a1＝S1＝－8<6，所以m≥2，所以am＝Sm－Sm－1＝m2－9m－(m－1)2＋9(m－1)＝2m－10，又m∈N*，所以m＝9.A(2)(2015·四川)执行如下图的程序框图，输出S的值为()解析每次循环的结果依次为：k＝2，k＝3，k＝4，k＝5＞4，答案D方法二特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．A.[－1,2]

B.[－1,0]

C.[1,2]

D.[0,2]易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正确.答案D(2)等比数列{an}满足an>0，n＝1,2,3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A.n(2n－1) B.(n＋1)2 C.n2 D.(n－1)2解析因为a5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5·a1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，那么log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.结合选项可知只有C符合要求.C

思维升华特例法具有简化运算和推理的成效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，假设在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，那么应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.跟踪演练2(1)f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，那么f(1)＋g(1)等于()A.－3 B.－1 C.1 D.3解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.C解析如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，答案A方法三排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案.例3(1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图.以下结论不正确的选项是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，应选D.答案D∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.应选D.答案D

思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否认，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.所以g(x)为奇函数，所以排除B，D两项，答案A(2)(2015·北京)设{an}是等差数列，以下结论中正确的选项是()A.假设a1＋a2＞0，那么a2＋a3＞0B.假设a1＋a3＜0，那么a1＋a2＜0D.假设a1＜0，那么(a2－a1)(a2－a3)＞0解析设等差数列{an}的公差为d，假设a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，应选项A错；假设a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，应选项B错；假设0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，假设a1<0，那么(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，应选项D错.答案C方法四数形结合法在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对标准图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法.解析由x<g(x)得x<x2－2，∴x<－1或x>2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞).答案D

思维升华数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否那么会因为错误的图形、图象得到错误的结论.A.2 B.4

C.6

D.8又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，所以所有零点之和为6.答案C方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法.例5函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，那么有()A.e2016f(－2016)<f(0)，f(2016)>e2016f(0)B.e2016f(－2016)<f(0)，f(2016)<e2016f(0)C.e2016f(－2016)>f(0)，f(2016)>e2016f(0)D.e2016f(－2016)>f(0)，f(2016)<e2016f(0)因为∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，并且ex>0，所以g′(x)<0，所以g(－2016)>g(0)，g(2016)<g(0)，也就是e2016f(－2016)>f(0)，f(2016)<e2016f(0).答案D

思维升华构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的局部进行研究或者构造新的情景进行研究.跟踪演练5(1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，那么使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1，＋∞)解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.那么g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，在(－∞，0)上，当x＜－1时，综上，得使f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.答案A(2)假设四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出以下五个命题：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.其中正确命题的个数是(

)A.2 B.3

C.4 D.5解析构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x，y，z.对于①，需要满足x＝y＝z，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，那么四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②正确，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立.故正确命题有②④⑤.答案C由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.方法六估算法例6(1)x1是方程x＋lgx＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，那么x1＋x2等于()A.6 B.3 C.2 D.1解析因为x1是方程x＋lgx＝3的根，所以2<x1<3，x2是方程x＋10x＝3的根，所以0<x2<1，所以2<x1＋x2<4.B解析该多面体的体积比较难求，可连接BE、CE，问题转化为四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，所以只能选D.答案D

思维升华估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.跟踪演练6(1)设a＝log23，，，那么()A.b<a<c B.c<a<bC.c<b<a D.a<c<b解析因为2>a＝log23>1，

>2，

<1，所以c<a<b.B(2)(2015·课标全国Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，那么y＝f(x)的图象大致为()在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，综上，选B.答案B知识方法总结

快速破解选择题(一)直接法(二)特例法(三)排除法(四)数形结合法(五)构造法(六)估算法1.集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x||x|＜1}，那么A∩(∁UB)等于()A.(1,2) B.(1,2] C.[1,2) D.[1,2]选择题突破练解析由，A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，∁UB＝{x|x≥1或x≤－1}，所以，A∩(∁UB)＝[1,2)，选C.C123456789101112131415162.给定函数①y＝

，②y＝

，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(

)A.①②

B.②③

C.③④

D.①④12345678910111213141516函数y＝，y＝|x－1|在区间(0,1)上均是减函数，应选B.B3.(2015·湖南)执行如下图的程序框图，如果输入n＝3，那么输出的S等于()12345678910111213141516答案B123456789101112131415164.(2015·浙江)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(

)A.f(sin2x)＝sinx

B.f(sin2x)＝x2＋xC.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1|f(sin2x1)＝f(sin2x2)＝f(0)，而sinx1≠sinx2，∴A不对；B同上；12345678910111213141516而|x1＋1|≠|x2＋1|，∴C不对，应选D.答案D123456789101112131415165.f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，假设f(lgx)<0，那么x的取值范围是()A.(0,1) B.(1,10)C.(1，＋∞) D.(10，＋∞)解析由题意得f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，∴f(lgx)<0可化为f(lgx)<f(0)，∴lgx<0，∴0<x<1.12345678910111213141516A6.如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两局部，那么其体积之比为()解析将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，那么有应选B.B123456789101112131415167.函数f(x)＝x|x－2|(x∈R)，假设存在正实数k，使得方程f(x)＝k在区间(0，＋∞)上有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，那么x1＋x2＋x3的取值范围是()12345678910111213141516解析方程f(x)＝k在区间(0，＋∞)上有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数f(x)＝x|x－2|(x∈R)的图象与直线y＝k有三个不同的交点.作出函数f(x)＝x|x－2|(x∈R)的图象及直线y＝k，可知x1，x2，x3中的最大值大于2，另两根之和为2，所以x1＋x2＋x3>4.应选D.答案D123456789101112131415168.函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为(

)解析函数y＝xcosx＋sinx为奇函数，排除B，取x＝π，排除A，应选D.D123456789101112131415169.等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a1＜0，且S2015＝0，那么当Sn取得最小值时，n的取值为()A.1009 B.1008C.1007或1008 D.1008或1009解析等差数列中，Sn的表达式为n的二次函数，且常数项为0，故函数Sn的图象过原点，又a1＜0，且存在n＝2015使得Sn＝0，12345678910111213141516于是当n＝1007或n＝1008时，Sn取得最小值，选C.答案C1234567891011121314151610.x与y之间的几组数据如下表：12345678910111213141516x123456y021334解析画出过点(1,0)和(2,2)的直线l1，画出散点图，大致画出回归直线(如下图)，12345678910111213141516答案

CA.a＞b＞c

B.b＞a＞cC.c＞a＞b

D.b＞c＞aA1234567891011121314151612.假设圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恰好有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，那么r的取值范围是()A.[4,6] B.[4,6) C.(4,6] D.(4,6)解析考查选项可知，此题选择的关键是r能否等于4或6，故可逐一检验，由于圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离为5，那么r＝4或6时均不符合题意，应选D.D1234567891011121314151613.m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出以下命题：①假设α⊥β，m∥α，那么m⊥β；②假设m⊥α，n⊥β，且m⊥n，那么α⊥β；③假设m⊥β，m∥α，α⊥β；④假设m∥α，n∥β，且m∥n，那么α∥β.其中正确命题的序号是()A.①④ B.②④ C.②③ D.①③12345678910111213141516解析当α⊥β，m∥α时，有m⊥β，m∥β，m⊂β等多种可能情况，所以①不正确；当m∥α，n∥β，且m∥n时，α∥β或α，β相交，所以④不正确，应选C.答案C1234567891011121314151614.点P是抛物线x2＝4y上的一个动点，那么点P到点M(2,0)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为()解析∵抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，作图如下，12345678910111213141516∵抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，设点P到该抛物线准线的距离为d，由抛物线的定义可知，d＝|PF|，∴|PM|＋d＝|PM|＋|PF|≥|FM|(当且仅当F、P、M三点共线时(P在F，M中间)时取等号)，∴点P到点M(2,0)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，12345