郑州市2023年高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为l（）（）cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附：V2»1.414,V3»1.732,5/5»2.236）

A.22个B.24个C.26个D.28个

2.已知函数/（幻=1一。一1）",若2"=10828=。,则（）

A.f(a)<f(b)<f(c)B.Jib)<f(c)<fla)

C.fia)<f[c)<fib)D.<f(b)<f(a)

3.函数y=2Wsin2x的图象可能是

1*227r

4.已知点居为双曲线。：0—2_=1（。＞0）的右焦点，直线卜=履与双曲线交于A,5两点，若NAF,B=—,则

a43

△人工8的面积为（）

A.2及B.2GC.4夜D.4G

5.已知ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=a)\BD=2DC,AE=EC9则A3BE=(

1

A.1C.一D.——

22

uuuuuu

6.平行四边形ABC。中，已知AB=4,AD=3,点E、户分别满足A£=2E。，DF=FC，且=—6,

则向量A。在AB上的投影为（)

33

A.2B.-2C.一D.——

22

------+-------=

7.已知i是虚数单位，则，1+i(

133131

+-+-i---/

A.*27C.2222

8.半正多面体Ge/niregNwsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学

的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正

多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）

81620

B.4D.—

3T3

9.sin800cos50+cos140sin10-()

B百1

A.D.-

2222

10.已知抛物线C：V=8x的焦点为产，43是抛物线上两个不同的点，若|A/q+|8E|=8,则线段AB的中点到

N轴的距离为（）

3

A.5B.3D.2

2

11.在AABC中，。为AC的中点，E为AB上靠近点8的三等分点，且BO,CE相交于点P,则AP=（）

2111

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

3224

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2333

12.M、N是曲线y=7rsinx与曲线y=;rco§x的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）

A.nB.TTC.5/37TD.27r

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数〃力=5皿（28+高一（在区间［0,句上恰有4个不同的零点，则正数0的取值范围是.

14.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1，。2,过直线OQ的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则

该圆柱的表面积为.

15.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为

16.已知复数z="是纯虚数，则实数〃=,.

1-z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=|x—2㈤2x+4|.

（1）解不等式/（x）*-3x+4；

2020202()

(2)若函数f(x)的最小值为根+〃=。(根>0,〃>0),求—一—+的最小值.

'7/J1+1008n+1008

x-2t

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1,2（/为参数），以原点。为极点，x轴的正半

y=2(

轴为极轴建立极坐标系，直线/极坐标方程为「cos。-（=0.若直线/交曲线C于A,8两点，求线段AB的长.

19.（12分）已知矩形纸片ABC。中，AB=6,49=12,将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点8落

在矩形的边AO上，记该点为E,且折痕MN的两端点M,N分别在边上.设NMN8=，,"N=/,AEMN的

面积为S.

（1）将/表示成。的函数，并确定。的取值范围；

（2）求/的最小值及此时sin。的值；

（3）问当0为何值时，AfiVW的面积S取得最小值？并求出这个最小值.

-1QI

20.（12分）已知矩阵加=b4（”的eR）不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量“二1，求a,b的值.

,x=3COS（D

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为《.（中为参数），在以O为极点，x轴的正

y=sin（p

半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2,-）,半径为1的圆.

2

（1）求曲线Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设M为曲线G上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围.

22.（10分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，123456789

广告收入y（千万元）22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对/和）'作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对f和J作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

小概率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为1()%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为572cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5V2(n-l))cm,

得到不等式10+5右(〃-1)4100,计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为5及cm,每装两个球称为“一层”，这样装〃层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5夜(n-1))cm,

若想要盖上盖子，则需要满足1()+50(〃-1)4100,解得〃W1+9&R3.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

2.C

【解析】

利用导数求得了(x)在(a,+8)上递增，结合y=c'与y=2',y=log2X,y=x图象，判断出4c的大小关系，由此

比较出/(a),/(。)J©的大小关系.

【详解】

因为/4x)=(x-a)ex,所以/(x)在3内)上单调递增；

V

在同一坐标系中作y=。与y=2,y=log2x,y=x图象，

a

2=log2b=c,可得a<c<A,故/(=</©<f®.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于

中档题.

3.D

【解析】

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在弓,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令/(%)=2凶sin2x>

因为xeRJ(-x)=2Tsin2(-x)=-2®sin2x=-f(x),所以f(x)=2处sin2x为奇函数，排除选项A,B；

TT

因为时，f(x)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(D由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

4.D

【解析】

设双曲线C的左焦点为耳，连接人片,8百，由对称性可知四边形A耳86是平行四边形，

设|*|=你|=小得4c2=1+片—2^cosg,求出色的值，即得解.

【详解】

设双曲线C的左焦点为人，连接Af；,8£,

由对称性可知四边形AF&A是平行四边形，

一一7T

所以SAFlF2=SAF?B，^.F{AF2=—.

设防=小陷If,则4c2人+心2榜8s畀2+仁归

又一目=2。.故公弓=4b2=16,

所以sAF低弓sin(=46.

故选：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

5.C

【解析】

以84,3C为基底，将AO,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

22

BD=2DC,BD=gBC,AD=BD-BA=gBC-BA,

•1一1.

AE=EC,BE=-BC+-BA,

22

ADBE^(^BC-BA)(-BC+-BA)

322

12112

=-BC——BCBA——BA

362

=1,——1x2cx30x—1=一1.

622

故选:C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

6.C

【解析】

ADAB

将用向量和表示，代入=可求出，再利用投影公式|“"可得答案.

ADA8A£hA6=6州

【详解】

解：AF-BE^(AD+DFy(BA+AE^

2112

=ADAB+AD-AD——AB-AB+-AB--AD

3223

=-A£)AB+-x32--x42=6,

332

得4»AB=6，

ADAB63

则向量AD在AB上的投影为卜@=1=耳・

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将AF,BE用向量AO和A8表示是关键，是基础题.

7.D

【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果

【详解】

1+ii-;(/+/)i(l-i),i-i2i131

—十—=----1-+；--—；=-/-r4--=・i+1+_+_=—j

i1+i-1/(7+/)(/-/)22222

故选。

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

8.D

【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中

点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.

【详解】

如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为0,它是由

棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

/.该几何体的体积为V=2x2x2-8xfxlxlxl=型，

323

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.

9.D

【解析】

利用10°=90°-80°,140=90+50°,根据诱导公式进行化简，可得sin80°cos50°-cos80°sin50°，然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

S80°=90°-10°,140=900+50°

所以sin10"=sin（900-80"）=cos10"

cos140-cos（90"+50"）=-sin50,

所以原式=sin80°cos50°—cos80°sin50°=sin（80°-50°）

所以原式=$皿30=-

2

故sin80"cos500+cos140sin10=—

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

10.D

【解析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知IA/q+1玉+2+z+2=8，继而可求出

西+々=4,从而可求出AB的中点的横坐标,即为中点到）'轴的距离.

【详解】

解：由抛物线方程可知，2P=8,即〃=4,.•.厂（2,0）.设A（.y）,6（w，%）

贝!=司+2,忸月=w+2,BPIAF\+1BF|=%,+2+x2+2=8,所以巧+々=4.

所以线段A8的中点到>轴的距离为土土殳=2.

2

故选:D.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得4B两点横坐标的和.

11.B

【解析】

3x

设AP=xAB+）/C,则AP=xA8+2yAO,AP=^-AE+yAC,

3%

由B,P,。三点共线，C,P,E三点共线，可知x+2y=l,万+y=l,解得x,y即可得出结果.

【详解】

3x

设AP=xA8+yAC,则AP=+2yA。，AP=^-AE+yAC,

因为8,P,。三点共线，C,P,E三点共线，

3x11

所以x+2y=l,—+j=l,所以x=-,y=-.

224

故选:B.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.

12.C

【解析】

两函数的图象如图所示，则图中|MN|最小，

设M(xi,yi),N(x2,y2),

兀《

则Xl=—,X2=-7r,

44

|X1-X2|=7T,

Iyi-y2|=|nsinxi-ncosx2|

V246

22

=V2

|MN|==J3兀.故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13-[?4

【解析】

求出函数/(X)的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[。,句上，第四个零点在区间[0,句外即

可.

【详解】

由/(x)=sin(2(yx+工]一，=0,得2的+工=左乃+(—坟•色，keZ,

k6J266

x=—[k7r+{-V)k•---],keZ,

2a)66

•:/(0)=0,

1_71万、,

——(3z乃------)<71

・J2啰66M俎4

・・彳,解得一4①<2.

171713

-一•(4〃+-----)>n

[2a)66

4

故答案为：1,2).

【点睛】

本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零

点，因此只有前3个零点在区间［（）,可上.由此可得。的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题.

14.12万

【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x,可求得％=2近，代入圆柱的表面积公式，即得解

【详解】

设圆柱的轴截面的边长为X,

则由一=8,得尤=2啦，

S圆柱表=2s底+S何=2x4x（夜『+2）x0x2\/2=124.

故答案为：12乃

【点睛】

本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.

8

15.—

21

【解析】

试题分析：从编号分别为1,L3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有=210种不同的结果,

由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同”,

QHQ

则事件A包含了C；•CW•以=80个基本事件，所以「（A）=而弋.

考点：1.计数原理；1.古典概型.

16.11

【解析】

根据复数运算法则计算复数,根据复数的概念和模长公式计算得解.

22

【详解】

复数广”=看肾。一1。+1.

---------1---------1

1-1(l-l)(l+l)222

2

...复数Z是纯虚数'1解得户］,

•***|z|=1>

故答案为：1,1.

【点睛】

此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(2)4

【解析】

(1)用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；

(2)由(1)得f(x)的最小值为4,则由m+1008+〃+1008=2020,代换后用基本不等式可得最小值.

【详解】

—3x—2,x<—2

解：(1)/(x)=|x-2|+|2x+4|=<x+6,-2<x<2

3x+2,x>2

讨论：

当x<—2时，一3x—22一3x+4,即，一2之4此时无解；

当一24x(2时，x+62—3x+4,—,—«x<2；

22

当x>2时93x+2之一3x+4,xN—2.

3

所求不等式的解集为卜IXN-；

(2)分析知，函数/(x)的最小值为4

.,.(2=4

.\m+n=a=4

20202020zu+1008+〃+1008m+1008+〃+1008

---------------1--------------=--------------------------------1-------------------------------

/«+1008n+1008m+1008n+1008

cn+1008m+1008

2+--------+---------

m+1008n+1008

ln+1008m+1008

>2+2=4,当且仅当〃?=〃=2时等号成立.

Vm+1008n+1008

20202020

------------1-----------的最小值为4.

m+1008n+1008

【点睛】

本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值.解绝对值不等式的方法是分类讨论思想.

18.16

【解析】

/JI\JIJII—

由夕cos6——二pcos8cos—+夕sinOsin—=。2,化简得夕以)56+夕5后6=2,由x=pcos0,y=psin0,所

I4J44

x=2t

以直线/的直角坐标方程为x+y=2,因为曲线C的参数方程为2，整理得V=8y,直线/的方程与曲线C

x+y=2/、/、

的方程联立，，，整理得f+8x—16=0,设A（XQJ,6（X2，%），则玉+》=8,芭马=-16,根据弦长公

式求解即可.

【详解】

\冗I-

由「cos0----=pcos^cos—+psin^sin—=V2,化简得/7cose+/?sin9=2,

I4)44

又因为x=pcose,y=psin。，所以直线/的直角坐标方程为x+y=2,

x-2t

因为曲线C的参数方程为12,消去，，整理得f=8y,

y=-r

I2

x+y=2

将直线/的方程与曲线C的方程联立，〈2'o，消去整理得/+8X-16=0，

x=8y

设，则%+X=8,中2=-16,

所以A8=J（X1一毛）2+（/_必）2=J（X1—尤2）2+（%一%）2=及/（±+工2）2一4%々,

将X1+X=8,王马=-16,代入上式，整理得AB=16.

【点睛】

本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.

19.（1）1=./住sinO=X3,/的最小值为名叵.（3）0=9时，面积S取最小值为8百

smBcos-外124）326

【解析】

(1)NENM=ZMNB=0,NEMA=2。,利用三角函数定义分别表示NB,MB,ME,AM,且4W+MB=6,即可得到

BN-——<12

sin6cos。

3

/关于。的解析式；BN<n,BM<6M\BM=——<6，即可得到。的范围;

cos'0

0<^<-

2

(2)由⑴，若求/的最小值即求sinGcos?夕的最大值,即可求sirecos4夕的最大值，设为r(e)=sin26cos令

x=cos2。，贝I尸(8)=(1一,即可设g(x)=(1—x»2,利用导函数判断函数的单调性，即可求得g(x)的最大值，进而

求解;

1,91…2811s

(3)由题,S=耳/-sindcos。=­X八,—<e<—'则*=W'sir?%。/。'设

2sin^cos3v124

t=co^e\—<e<-,〃(。=(1一沙3,利用导函数求得的最大值，即可求得5的最小值.

124

【详解】

解：⑴ZENM=AMNB=0,ZEMA=20,

故NB=/cosMB=ME=Isin仇AM=MEcos20=1sin6cos20.

因为？^/+"8=6,所以法抽。(：0526+陵山。=6,,

6_3

所以/=

sin6(cos20+1)sin6cos20

3

BN=------------<12

sincos

BM=^-<6，所以

又BNW12,8MW6,则〈

cos23124

7t

O<0<-

2

所以/=——<^<-

sin^cos-^^124)

(2)记/(e)=sinecos26»，0〈e«7,

则f2(8)=sin26cos4。,

设了=以的2w，贝11尸(。)=(1一加2,

2r2

记g(x)=(1—x)x，贝(Jg(x)=2X-3X9

21

令g'(X)=O,则X=

-12-22+\l3

当xw2,3时，g")>°；当xw§，_J时,gqx)<0,

所以g(x)在；，|上单调递增，在[|，引声]上单调递减，

故当x=cos26=2时/取最小值，此时sin。="，/的最小值为正.

332

1,9

(3)AEM7V的面积S=—/-sinecos6=-x

22

所以S2=@X—」—，设f=cos2《专4”7],则！w2+6

4sirrOcos。24

设/?«)=(1_f)/,则l(f)=3产_4/,令/«)=o,/=[w[g,

所以当I，|时/⑺>0；当t€子时,〃'⑺<0,

所以〃(f)在p|上单调递增，在上单调递减，

37T

故当f=3=COS2。，即e=:时，面积S取最小值为873

46

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用，考查利用导函数求最值，考查运算能力.

a=4

20.《

b=—\

【解析】

由M不存在逆矩阵，可得，出=T,再利用特征多项式求出特征值3,0,Ma=3a，利用矩阵乘法运算即可.

【详解】

因为A/不存在逆矩阵，det(M)=：：=0,所以a匕=T.

b4

A+1—Q~、

矩阵”的特征多项式为/。)=,=A2-32-4-^=22-32,

-h25-4

令/(4)=0,则2=3或4=0,

-1a13

所以A/er=3二，即

b413

—1+。=3a=4

所以…3，所以

b=—\

【点睛】

本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.

222

21.(1)Ci：—+y=LC2：x+(y-2)=1；(2)[0,吨+1]

92

【解析】

(I)消去参数<p可得G的直角坐标方程，易得曲线Ci的圆心的直角坐标为(0,2),可得Ci的直角坐标方程；(II)

设M(3cos<p,sirup),由三角函数和二次函数可得|MCz|的取值范围，结合圆的知识可得答案.

【详解】

(1)消去参数(p可得Ci的普通方程为工+y2=l,