17.1.1 勾股定理（基础篇）

勾股定理（基础篇）一、单选题1．在下列四组数中，属于勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5C．2，8，10 D．1，，2．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（

）A．5 B． C．5或 D．不能确定3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．184．如图，在中，，是的角平分线，交于点E，F为上一点，连接、．已知，，则的面积（）A．30 B．32.5 C．60 D．785．如图，中，，由尺规作图得到的射线与交于点E，若，则的长为（）A． B． C． D．6．如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高cm，P为的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（）A．cm B．cm C．cm D．cm7．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的速度是（

）A．海里/小时B．20海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时8．如图是的正方形网格，每一个小正方形的边长为1．关于图中的正方形的面积，三人的说法如下：甲：要求面积的值，必须先求出正方形的边长才行．乙：正方形的边长是．丙：正方形的对角线长的值介于整数3和4之间．下列判断正确的是（

）A．甲、乙、丙都对B．甲和乙对 C．甲、乙、丙都不对 D．乙和丙对9．如图，在长方形ABCD中，，，F是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是（）A． B．5 C． D．410．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（

）A．1 B．2 C． D．5二、填空题11．点到原点的距离是_________．12．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为______．13．小刚学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴负半轴于点，那么数轴上点所表示的数是________．14．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是______cm．15．如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为______．16．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．17．如图，在边长为6个单位的正中，点是中点，电子点从点以4个单位每秒的速度运动到到顶点，则电子点从点到顶点的运动过程中最少需_____秒．18．如图，在中，点、分别在边、上，且，，若，则的值为________．三、解答题19．如图，，是上的一点，且，．(1)与全等吗？并说明理由．(2)若，求的长．20．如图，P是直角坐标系上一点．用二次根式表示点P到原点O的距离．若，求点P到原点O的距离．21．如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．22．如图1，中，，如图2，点是边上一点，沿着折叠，点恰好与斜边上点重合，求的长．如图3，点为斜边上上动点，连接，在点的运动过程中，若为等腰三角形，请直接写出AF的长．23．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；若中，，，求出图4中阴影部分的面积．24．某数学学习小组在学习《勾股定理》之后进行了拓展研究，类比勾股定理，新定义一种三角形，规定：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么称这个三角形为“奇异勾股三角形”．请根据“奇异勾股三角形”的定义，完成下列问题：(1)判断：下列说法正确的是_______________（填甲、乙、丙）组员甲说：等边三角形一定是“奇异勾股三角形”；组员乙说：等腰直角三角形也是“奇异勾股三角形”；组员丙说：三边长分别为，2，的三角形也是“奇异勾股三角形”．(2)若是“奇异勾股三角形”，且两边长分别为1，，求第三边的长；(3)若是“奇异勾股三角形”，三边长分别为a，b，c（a，b为直角边，c为斜边，且），求的周长（用只含有a的式子表示）．参考答案1．B【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；B．，、4、5是勾股数，符合题意；C．，，8，10不是勾股数，不符合题意；D．，，均不是整数，，，不是勾股数，不符合题意；故选：B．【点拨】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．2．C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点拨】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．3．D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点拨】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．4．B【分析】在中，依据勾股定理求出，由“是的角平分线，”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得，由等底等高的三角形面积相等可知，和的面积相等，即可求解．解：∵在中，，，，∴，∵是的角平分线，，∴，，∴，∴，∵，∴和的面积相等，∴，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识的掌握情况，解题的关键是理解和的面积相等．5．B【分析】由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，再根据即可得解．解：由图中的尺规作图得：是的平分线，∵，∴，，∴，∴，∵，∴．故选B．【点拨】本题考查等腰三角形判定和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的作图，等腰三角形三线合一，是解题的关键．6．B【分析】先把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短求解．解：把圆柱的侧面展开如图：则：cm，cm，在Rt中，cm，故选：B．【点拨】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用是解题的关键．7．C【分析】由勾股定理求出的长，即可解决问题．解：由条件得：（海里），（海里），而，∴（海里），∴乙轮船的速度是（海里/小时）．故选：C．【点拨】本题考查勾股定理，方向角的概念，二次根式的化简，关键是应用勾股定理求出的长．8．D【分析】如图，根据大正方形的面积减去4个的面积即可得到正方形的面积，即可判断甲；在中，根据勾股定理可得到的长度，即可判断乙；在中，根据勾股定理可得到的长度，即可判断丙．解：如图所示，正方形的面积等于正方形的面积减去4个的面积，故可不用求出正方形的边长，故甲不正确；在中，，故乙正确；在中，，故，，，故丙正确．故选：D．【点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．9．A【分析】作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则，当三点依次在同直线上时，的值最小，求出此时的值便可．解：作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则，∴，∵，∴当三点依次在同直线上时，的值最小，∴的最小值为：3．故选：A．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确的找出点的位置是解题的关键．10．C【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解．解：∵的面积为1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面积．故选：C．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解．11．【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．解：点到原点的距离．故答案为：．【点拨】本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为．12．3【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．解：在中，，∵，，∴，∴．故答案为：3．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．【分析】根据勾股定理可计算出的长度，即点在数轴负半轴表示的数．解：在中，，∴，∴数轴上点所表示的数是．故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算的长度是解题的关键．14．【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．解：如图，线段即为所求，由题意，得：，∴；即蚂蚁走过的最短路径为：；故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求最短路径．15．16【分析】在和中，根据勾股定理，即可求解．解：∵，，∴，在中，，在中，，∴．故答案为：16【点拨】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．16．19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．17．【分析】先求解D到C的最短距离，再求解时间即可．解：如图，根据题意可知，由点D是的中点，∴，且．根据勾股定理，得．此时为最短路径，∴运动时间为：秒．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理等，由垂线段最短确定最值是解题的关键．18．4【分析】设，，则，，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，整理得出，代入即可得出，即可得出答案．解：设，，则，，∵，∴在中，根据勾股定理可知，，即，在中，根据勾股定理可知，，即，∴，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，应用完全平方公式进行计算，解题的关键是设，，用x、y表示出．19．(1)，理由见分析 (2)．【分析】（1）根据证明和全等解答即可；（2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明是等腰直角三角形，即可求解．（1）解：，证明：∵，∴，∵，在和中，，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．∵，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键．20．(1) (2)【分析】（1）连接，过点作轴，垂足为，可得，然后根据勾股定理求解即可；（2）将代入（1）中的代数式，根据二次根式的性质求值即可．解：（1）连接，过点作轴，垂足为，，则点P到原点O的距离为；（2）当，．【点拨】本题考查了勾股定理，二次根式的性质，代入求值，坐标系中点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键．21．(1)见分析 (2)见分析【分析】（1）根据梯形的面积公式即可求解；（2）如图所示，用图①的4个直角三角形，拼成正方形，根据正方形的面积的两种计算方式即可求解．（1）解：∵四边形ABCD是梯形，∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；（2）如图所示，可以证明a2+b2＝c2．验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2大正方形的面积＝c2，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2．【点拨】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．22．(1) (2)或【分析】（1）设，则，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．（1）解：设，则∵，∵沿着折叠，点恰好与斜边上点重合∴，，∴在中，∴解得，∴；（2）解：∵是等腰三角形，①，∴，②当时，如图，∴，又∵，∴，∴，∴．③∵点为斜边上上动点，所以不存在，综上所述，或．【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键．23．(1)，证明见分析 (2) (3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．24．(1)甲、丙 (2)2或 (3)【分析】（1）根据“奇异勾股三角形”的定义逐项判断即可；（2）设出第三边，根据“奇异勾股三角形”的定义列方程求解即可；（3）根据勾股定理和“奇异勾股三角形”的定义，用含a的代数式表示出b，c即可．（1）解：设等边三角形的边长为a，，满