第15讲用相似三角形解决问题（2大考点）（解析版）

第15讲用相似三角形解决问题（2大考点）考点考点考向相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．考点考点精讲一．相似三角形的应用（共12小题）1．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是43.62mm．【分析】如图，易得△OAB∽△OCD，利用它们对应边成比例，即可得到题目的结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，即，解得：b＝43.62．故答案为：43.62．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例的性质解题是解题关键．2．（2021秋•苏州期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（）A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5答：实像CD的高度为4.5cm，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．3．（2022秋•靖江市校级月考）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．【分析】过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求解即可．【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN＝2m，CN＝2﹣1.6＝0.4（m），MN＝40m，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴，∴，解得：EM＝8.4，∵AB＝MF＝1.6m，故城楼的高度为：8.4+1.6﹣1.7＝8.3（米），答：城楼的高度为8.3m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，构造直角三角形得出相似三角形是解题的关键．4．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【分析】根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，∵汽车的长度大约为4米，∴横向距离大约是8米，由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，∴汽车到观测点的距离约为80米，故选：C．【点评】本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．5．（2022秋•苏州期中）如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距离分别为32cm、20cm，则像A′B′的长是cm．【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．【解答】解：由题意可得：△ABO∽△A′B′O，则＝＝，解得：A′B′＝．答：像A′B′的长为cm，故答案为：．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．6．（2022秋•吴江区月考）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为0.5cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故答案为：0.5cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．7．（2022•广陵区校级开学）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为3.0米，树的底部与平面镜的水平距离为12.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.7米，则树的高度约为6.8米（注：反射角等于入射角）【分析】由题意得到△CED与△AEB相似，由相似得比例求出AB的长即可．【解答】解：根据题意得：△CED∽△AEB，∴＝，∵DE＝3.0米，BE＝12.0米，CD＝1.7米，∴AB＝＝＝6.8（米），则树的高度约为6.8米，故答案为：6.8．【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．8．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为8m．【分析】作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，证明△CEF∽△CBA，然后利用相似比计算出AB即可．【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝20m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即，∴AB＝8（m），即铁塔的高度为8m．故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．9．（2022秋•宜兴市月考）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x取多少时，EFGH是正方形．【分析】（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm可知，AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；（2）根据正方形的性质可知y＝x，再代入（1）中所求的代数式即可得出结论．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y与x的函数关系式为y＝8﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：当x＝时，四边形EFGH是正方形．【点评】本题考查的是相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．10．（2022•广陵区校级开学）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面AB的长为1.6m，标杆FC的长为3.2m，且BC的长为2m，CD的长为5m，求电视塔的高ED．【分析】通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可．【解答】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H，由题意可得：△AFG∽△AEH，∴＝，即＝，解得：EH＝5.6．∴ED＝5.6+1.6＝7.2m．故电视塔的高ED为：7.2m．【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．11．（2022•淮安区模拟）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，求窗口底边离地面的高BC．【分析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有＝，从而算出BC的长．【解答】解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴＝．∵EC＝8.7m，ED＝2.7m，∴CD＝6m．∵AB＝1.8m，∴AC＝BC+1.8m，∴＝，解得：BC＝4，即窗口底边离地面的高为4m．【点评】此题主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题．难度不大，12．（2022•工业园区校级二模）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米 B．3米 C．米 D．米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．二．相似形综合题（共10小题）13．（2022秋•天宁区校级月考）矩形ABCD中AB＝8，BC＝6；将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AD延长线上（图1）．（1）若∠ACB＝53°，求∠B'AD的度数与C'D的长度；（2）如用2将△AB'C'向右平移得△A'B'C'，两直角边与矩形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使△B'EF与△A'B'C'相似．（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则B'E＝8﹣，B'F＝6﹣（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据旋转的性质：对应边相等，对应角相等可得答案；（2）首先利用△A'AE∽△A'B'C'，得，表示出B'E的长，同理表示出B'F的长，再根据或时，△B'EF与△A'B'C'相似，代入求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，由勾股定理得AC＝10，∵∠ACB＝53°，∴∠BAC＝37°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AD延长线上，∴∠B'AD＝∠BAC＝37°，AC'＝AC＝10，∴C'D＝AC'﹣AD＝10﹣6＝4；（2）∵∠A'＝∠A'，∠A'AE＝∠B'，∴△A'AE∽△A'B'C'，∴，∴，∴A'E＝，∴B'E＝8﹣，同理可得B'F＝6﹣，当或时，△B'EF与△A'B'C'相似，∴或，解得x＝3.4或，∴平移距离为3.4或时，能使△B'EF与△A'B'C'相似．故答案为：8﹣，6﹣．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，利用相似三角形的对应边成比例表示线段的长是解题的关键．14．（2022秋•锡山区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t＝s时，△PCQ∽△ACB；（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．（3）当t为几秒时，四边形ABPQ的面积最小？是多少？【分析】（1）根据题意得CP＝t，CQ＝8﹣2t，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值即可；（3）根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵运动时间为ts，则CP＝tcm，CQ＝（8﹣2t）cm，∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，∴当△PCQ∽△ACB时，则有＝，即＝，解得t＝．∴当t＝s，△PCQ∽△ACB，故答案为：；（2）不能，理由：当S△PCQ＝S△ABC时，t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半；（3）设四边形ABPQ的面积为Scm2，根据题意得S＝S△ABC﹣S△PQC＝8×4﹣×t×（8﹣2t），即S＝t2﹣4t+16＝（t﹣2）2+12，∵1＞0，∴当t＝2时，S有最小值，四边形ABPQ的面积最小值为12cm2．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．15．（2022秋•姜堰区校级月考）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．（2）在∠EDF绕点D旋转过程中：①如图2，求证：CD2＝CE•CF；②若CE＝6，CF＝3，求DN的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD＝45°，证明△DCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）①证明△FCD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论；②作DG⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出DG，由①的结论求出CE，证明△ENC∽△DNG，根据相似三角形的性质求出NG，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠DCE＝135°，在△DCF和△DCE中，，∴△DCF≌△DCE（SAS）∴DE＝DF；（2）①证明：∵∠DCF＝135°，∴∠F+∠CDF＝45°，∵∠FDE＝45°，∴∠CDE+∠CDF＝45°，∴∠F＝∠CDE，∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，∴△FCD∽△DCE，∴＝，∴CD2＝CE•CF；②解：过点D作DG⊥BC于G，∵∠DCB＝45°，由（2）可知，CD2＝CE•CF，∴CD＝＝3，∴GC＝GD＝CD＝3，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△ENC∽△DNG，∴＝，即＝，解得，NG＝1，由勾股定理得，DN＝＝．【点评】本题是相似形的综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．（2022秋•清江浦区月考）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．【思路说明】已知：如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．试说明：＝．理由：过点C作CE∥AD，交BA延长线于点E，易得＝，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE＝AC，代入上式得＝．【直接应用】（1）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD＝10，CD＝6，在不添加辅助线的情况下直接写出AB＝20．（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝6，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，延长EF、AF分别交AB，BC于M、H两点，当FH＝BH时，①求BH的长；②直接写出＝；【拓展延申】（3）如图4，若四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，当点E为CD边的三等分点时，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF与BC所在直线交于点P、与AD所在直线交于点Q，请直接写出CP的长或．【分析】【思路说明】由CE∥AD，根据平行线分线段成比例定理得＝，因为∠E＝∠BAD，∠ACE＝∠CAD，且∠BAD＝∠CAD，所以∠E＝∠ACE，则AE＝AC，所以＝，于是得到问题的答案；（1）由AD平分∠BAC交BC于D，得＝＝，则AC＝AB，根据勾股定理得（AB）2+162＝AB2，所以AB＝20；（2）①由由翻折得∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝6，根据勾股定理得82+BH2＝（6+BH）2，所以BH＝；②由AF＝6，FH＝BH＝，得AH＝AF+FH＝，再证明Rt△HFM≌Rt△HBM，得∠AHM＝∠BHM，所以＝＝；（3）分两种情况，一是DE＝CD＝2，则FE＝DE＝2，CE＝4，设DQ＝2n，AQ＝6﹣2n，由翻折得∠FAE＝∠DAE，所以＝，则QE＝•AQ＝（6﹣2n），作QI⊥CD于点I，则∠DIQ＝∠EIQ＝90°，∠DQI＝30°，所以DI＝DQ＝n，EI＝2﹣n，IQ2＝DQ2﹣DI2＝3n2，则3n2+（2﹣n）2＝[（6﹣2n）]2，求出符合题意的n值，再证明△DQE∽△CPE，推导出CP＝2DQ＝4n，即可求出此时CP的长；二是DE＝EF＝CD＝4，则CE＝2，设DQ＝2m，则AQ＝6+2m，可推导出QE＝•AQ＝（6+2m），作QJ⊥CD交CD的延长线于点J，则∠J＝90°，∠DQJ＝30°，所以DJ＝DQ＝m，EJ＝4+m，QJ2＝DQ2﹣DJ2＝3m2，则3m2+（4+m）2＝[（6+2m）]2，求出符合题意的m值，再证明△DQE∽△CPE，推导出CP＝DQ，即可求出此时CP的长．【解答】解：【思路说明】：如图1，过点C作CE∥AD，交BA延长线于点E，∴＝，∠E＝∠BAD，∠ACE＝∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，∴＝，故答案为：，AC．（1）如图2，∵AD平分∠BAC交BC于D，BD＝10，CD＝6，∴＝＝＝，BC＝BD+CD＝16，∴AC＝AB，∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（AB）2+162＝AB2，∴AB＝20，故答案为：20．（2）①如图3，连接MH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，由翻折得∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝6，∵FH＝BH，∴AH＝AF+FH＝6+BH，∵AB2+BH2＝AH2，且AB＝8，∴82+BH2＝（6+BH）2，∴BH＝，∴BH的长是．②∵AF＝6，FH＝BH＝，∴AH＝AF+FH＝6+＝，∵∠HFM＝∠AFE＝90°，HM＝HM，FH＝BH，∴Rt△HFM≌Rt△HBM（HL），∴∠AHM＝∠BHM，∴＝＝＝，故答案为：．（3）∵四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，∴CD＝AD＝6，∠D＝∠ABC＝60°，由翻折得AF＝AD＝6，FE＝DE，∠FAE＝∠DAE，如图4，DE＝CD＝2，则FE＝DE＝2，CE＝4，设DQ＝2n，AQ＝6﹣2n，∵＝，∴QE＝•AQ＝AQ＝（6﹣2n），作QI⊥CD于点I，则∠DIQ＝∠EIQ＝90°，∴∠DQI＝30°，∴DI＝DQ＝n，EI＝2﹣n，∴IQ2＝DQ2﹣DI2＝（2n）2﹣n2＝3n2，∵IQ2+EI2＝QE2，∴3n2+（2﹣n）2＝[（6﹣2n）]2，解得n1＝，n2＝0（不符合题意，舍去），∵DQ∥CP，∴△DQE∽△CPE，∴＝＝＝，∴CP＝2DQ＝4n＝4×＝；如图5，DE＝EF＝CD＝4，则CE＝2，设DQ＝2m，则AQ＝6+2m，∵＝，∴QE＝•AQ＝AQ＝（6+2m），作QJ⊥CD交CD的延长线于点J，则∠J＝90°，∵∠JDQ＝∠ADC＝60°，∴∠DQJ＝30°，∴DJ＝DQ＝m，EJ＝4+m，∴QJ2＝DQ2﹣DJ2＝（2m）2﹣m2＝3m2，∵QJ2+EJ2＝QE2，∴3m2+（4+m）2＝[（6+2m）]2，解得m1＝，m2＝0（不符合题意，舍去），∵DQ∥CP，∴△DQE∽△CPE，∴＝＝＝2，∴CP＝DQ＝m＝，综上所述，CP的长为或．【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．17．（2022秋•射阳县月考）从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【分析】（1）根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；（2）根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当AD＝CD时，②如图4所示，当AD＝AC，③如图5所示，当AC＝CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数；（3）根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）解：①如图3所示，当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如图4所示，当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如图5所示，当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意．综上所述，∠ACB的度数为96°或114°；（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝3，∴AD＝3，∵CD是△ABC的完美分割线，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA•BD，设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，∴（）2＝x（x+3），∴x＝，∵x＞0，∴x＝，∴BD＝，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝．【点评】本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．18．（2022秋•江阴市校级月考）（1）模型建立：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB．（2）类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N，若AF＝4，CF＝2，AM＝10．求：①CM的长；②FN的长．（3）解决问题：如图3，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E为AD的中点，在平面内存在点F，且满足FE＝1，以AF为一边作△FAP（顶点F、A、P按逆时针排列），使得AP＝2AF，且∠FAP＝120°，请直接写出2PD+PC的最小值．【分析】（1）根据两个角相等可得△ACD∽△ABC，得，即可证明结论；（2）①连接AC，利用基本模型可得△FAC∽△FMA，得，代入计算即可；②根据两个角相等得△NAC∽△AMC，得，代入计算得AN的长，从而解决问题；（3）连接BP，根据两边成比例且夹角相等可得△FAE∽△PAB，得BP＝2EF＝2，在BC上取点M，使BM＝1，利用基本模型得△MBP∽△PBC，则PM＝PC，将2PD+PC的最小值转化为求DM的长，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD•AB；（2）解：①连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，AB∥CD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠M，∴∠FAC＝∠M，∵∠AFC＝∠MFA，∴△FAC∽△FMA，∴，∴FA2＝FC•FM，∵AF＝4，CF＝2，∴FM＝8，∴CM＝FM﹣FC＝8﹣2＝6；②由①同理得，∠DAN＝∠CAM，∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠N，∴∠CAM＝∠N，∵∠NAC＝∠M，∴△NAC∽△AMC，∴，∴，∴，∴FN＝AN﹣AF＝；（3）解：连接BP，∵点E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AE＝AD＝，∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝120°，∵∠FAP＝120°，∴∠FAP＝∠EAB，∴∠FAE＝∠PAB，∵＝2，∴△FAE∽△PAB，∴BP＝2EF＝2，在BC上取点M，使BM＝1，∴，∵∠MBP＝∠PBC，∴△MBP∽△PBC，∴PM＝PC，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PM），∴当点D、P、M三点共线时，PD+PM最小，即2PD+PC最小，连接DM，过点D作DN⊥BC，交BC的延长线于N，∵∠DCN＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝4，∴CN＝2，DN＝2，∴DM＝＝＝，∴2PD+PC最小值为2．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似的基本模型是解题的关键．19．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③当∠AEC＝135°时，E为△ADC的内心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC＝AD，AF＝，所以＝＝，因为∠CAF＝∠DAE，所以△CAF∽△DAE，进而可以判断②；证明△ADE≌△CDE（SAS），进而可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，可得CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得点E是△ADC角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠DAC＝45°，∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，∴∠CAF＝∠DAE，故①正确；∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD，AF＝，∴＝＝，∵∠CAF＝∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴＝＝，∴FC＝DE，故②正确；∵△CAF∽△DAE，∴∠ACF＝∠ADE＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEC＝135°，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，∴CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，∴DE平分∠ADC，∴点E是△ADC角平分线的交点，∴E为△ADC的内心，故③正确；如图，连接BD交AC于点O，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，∵BC＝CD＝OD，且点F与点E的运动时间相同，∴vF＝vE，∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误．综上所述：正确的结论是①②③，共3个．故选：C．【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹．20．（2022秋•苏州期中）如图1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中点，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求证：DE∥AB；（2）如图2，将△DEC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三点共线，求∠DEB的度数．【分析】（1）利用相似三角形的性质，平行线的判定证明即可；（2）①证明△ABC∽△DEC，推出＝，可得＝，再证明△ACD∽△BCE，可得结论；②分两种情形：如图3﹣1中，当点D落在线段AE上时，设AE交BC于点O．如图3﹣2中，当点E落在线段AD上时，设BE交AC于点O．分别利用相似三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠DEC，∴DE∥AB；（2）①解：∵△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠ACE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝＝．②解：如图3﹣1中，当点D落在线段AE上时，设AE交BC于点O．∵△ACD∽△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴∠DEB＝90°．如图3﹣2中，当点E落在线段AD上时，设BE交AC于点O．∵△ACD∽△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠AOE＝∠BOC，∴∠AEO＝∠BCO＝90°，∴∠DEB＝90°．综上所述，∠DEB＝90°．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（2022秋•工业园区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．①若DE＝2，BD＝3，求BC的长；②试探究﹣是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCE＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥BC，交AC的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BCD的面积为S1．若S1•（S2﹣S3）＝S22，求cos∠CBD的值．【分析】（1）①证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等腰三角形的判定得出CD＝BD＝3，求出CE＝DE＝2，证明△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可求出BC的长；②由平行线分线段成比例定理得出＝，同①可得，CE＝DE，证出＝，则可得出答案；（2）证出＝，由题意可得出＝，设BC＝16x，则CE＝25x，证明△CDB∽△CED，由相似三角形的性质得出＝，求出CD＝20x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH＝BC＝8x，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：（1）①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∴CD＝BD＝3，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，∴CE＝DE＝2，∴△CED∽△CDB，∴＝，∴＝，∴BC＝；②﹣是定值．∵DE∥AC，∴＝，同①可得，CE＝DE，∴＝，∴﹣＝﹣＝＝1，∴﹣是定值，定值为1；（2）∵DE∥AC，∴＝＝，∵＝，∴＝，又∵S1•S3＝S22，∴＝，设BC＝16x，则CE＝25x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD＝∠FCD＝∠BCF，∵∠BCF＝2∠CBG，∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，∴BD＝CD，∵DE∥AC，∴∠EDC＝∠FCD，∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，∴CE＝DE，∵∠DCB＝∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴＝，∴CD2＝CB•CE＝400x2，∴CD＝20x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD＝CD＝20x，∴BH＝BC＝8x，∴cos∠CBD＝＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．（2022秋•锡山区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE＝2PE；（2）y关于x的函数解析式y＝﹣x2+x（0＜x＜）；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．【分析】（1）先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出＝＝，再由∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比例即可求出答案；（2）由△EPD∽△EAP，得＝＝，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为点H，由PD∥HE可得出＝＝，进而可得出y与x的关系式；（3）由△PEH∽△BAC，得＝，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠APD＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ABC，∴＝＝，∵∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴＝＝，∴AE＝2PE．（2）解：由△EPD∽△EAP，得＝＝，∴PE＝2DE，∴AE＝2PE＝4DE，作EH⊥AB，垂足为点H，∵AP＝x，∴PD＝x，∵PD∥HE，∴＝＝，∴HE＝x，又∵AB＝2，y＝（2﹣x）•x，即y＝﹣x2+x，∵点D是AC上一点，∴AD＜4，AP＝2PD，∴AP＜，定义域是0＜x＜．故答案为：y＝﹣x2+x（0＜x＜）；（3）解：由△PEH∽△BAC，得＝，∴PE＝x•＝x，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°．（i）当∠BEP＝90°时，＝，∴＝，解得x＝，∴y＝﹣x××5+×＝．（ii）当∠EBP＝90°时，同理可得x＝，y＝．综上所述，△BPE的面积为或．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．巩固巩固提升一．填空题（共4小题）1．（2022春•海门市期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为10m．【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△DEC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：根据题意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案为：10．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．2．（2022•淮安区模拟）如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为6米．【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EC2＝ED•FE，代入数据可得答案．【解答】解：根据题意，作△DFC，则树高为CE，∠DCF＝90°，ED＝3米，FE＝12米，∵∠DCF＝90°，∠DEC＝∠FEC＝90°，∴∠D+∠F＝∠D+∠DCE，∴∠DCE＝∠F，∴Rt△DEC∽Rt△CEF，∴＝，即EC2＝ED•EF，∴EC2＝3×12＝36，∴EC＝6，答：树的高度为6米．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．3．（2022•如皋市一模）如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为9m．【分析】根据平行线的判定得到DE∥BC，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：楼高BC是9m．故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的应用，证得△ADE∽△ABC是解题的关键．4．（2022•亭湖区校级开学）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为10m．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵＝即＝，∴楼高＝10米．故答案为：10m．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．二．解答题（共10小题）5．（2022春•锡山区校级期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？（2）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（3）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当△ABD∽△EFD时，则，代入计算即可；（2）分ED＝EF，DE＝DF，FE＝FD三种情形，分别画出图形，利用相似相似三角形的判定与性质可得答案；（3）当EM＝EN时，过点E作EK⊥BC于K，利用勾股定理分别表示出EM和EN的长，从而得出方程解决问题．【解答】解：（1）由题意得：DE＝2tcm，BF＝tcm＜∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝10cm，∴DF＝BD＝BF＝（10﹣t）cm，当△ABD∽△EFD时，则，即，解得t＝，即当t为时，△EFD∽△ABD；（2）①当ED＝EF时，过点E作EG⊥BF于G，∵ED＝EF，∴△EFD为等腰三角形，又∴EG⊥DF，∴DG＝DF＝（10﹣t）cm，∵∠EDG＝∠BDA，∠EGD＝∠BAD＝90°，∴△EGD∽△BAD，∴，即＝，∴t＝；②当EF＝FD时，过点F作FH⊥AD，∵EF＝FD，∴△EFD为等腰三角形，又∴FH⊥ED，∴HD＝DE＝t（cm），∵∠ADB＝∠HDF，∠BAD＝∠FHD，∴△DHF∽△DAB，即，∴t＝＞3.6（舍去），当DE＝DF时，即2t＝10﹣t，解得：t＝，综上，当t＝或时，△EFD为等腰三角形；（4）假设存在符合题意的t，则EM＝EN，过点E作EK⊥BC于K，则四边形EKCD为矩形，∴ED＝CK＝2t（cm），EK＝CD＝6cm，NK＝BC﹣BN﹣CK＝8﹣t﹣2t＝（8﹣t）cm，∴EN2＝EK2+NK2＝+100，EM2＝AM2+AE2＝t2﹣52t+100，∴+100＝t2﹣52t+100，解得t1＝t2＝0，∵t≠0，不合题意，∴不存在四边形是菱形．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，化动为静，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键．6．（2022春•宿豫区期中）在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），以AE为直角边在直线BC上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如图1，若EF与CD交于点G，连接CF．①求证：△ABE∽△ECG；②求的值；③若正方形ABCD的边长为1，在点E运动过程中，则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为1+；（2）如图2，若AF与CD交于点P，连接BD分别与AE、AF交于点M、N，连接PM．求证：PM⊥AE．【分析】（1）①根据同角的余角相等可得∠CEG＝∠BAE，从而证明结论；②在AB上取点H，使AH＝CE，连接HE，利用SAS证明△HAE≌△CEF，得HE＝CF，再说明△BHE是等腰直角三角形即可；③首先说明点F在射线CF上运动，作点D关于CF的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时AF+DF的最小值即为AM的长，即可得出答案；（2）根据∠EAF＝∠MDP，得点A、M、P、D四点共圆，则∠ADM＝∠APM＝45°，即可证明结论．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ABE∽△ECG；②解：在AB上取点H，使AH＝CE，连接HE，∵AH＝CE，∠HAE＝∠CEF，AE＝EF，∴△HAE≌△CEF（SAS），∴HE＝CF，∵AB＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∵∠B＝90°，∴HE＝BE，∴；③解：由△HAE≌△CEF得，∠AHE＝∠ECF＝135°，∴∠DCF＝45°，作点D关于CF的对称点M，则点B、C、M在一条直线上，此时AF+DF的最小值即为AM的长，在Rt△ABM中，由勾股定理得AM＝，∴以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为1+，故答案为：1+；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠MDP，∴点A、M、P、D四点共圆，∴∠ADM＝∠APM＝45°，∴∠AMP＝90°，∴PM⊥AE．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，四点共圆等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．7．（2022•姑苏区校级模拟）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝6；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为1﹣cosα（用含α的表达式表示）．【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质可知△BDE、△CDF是等边三角形，从而得出答案；（2）根据∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，得∠CDF＝∠BED，可证明结论；【思考】作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质得DM＝DQ，再利用AAS证明△BMD≌△CQD，可得BD＝CD；【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，连接AO，证明△EOF∽△OCF，得∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，则ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，再证明Rt△EOM≌Rt△EON（HL），得EM＝EN，同理得，FN＝FQ，则△AEF的周长为AM+AQ，设AB＝m，则OB＝m×cosα，BM＝m×cos2α，从而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，∵AB＝8，AE＝6，BD＝2，∴BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝BC﹣BD＝8﹣2＝6，故答案为：6；（2）∵∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，∴∠CDF＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF；【思考】存在，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，∴DM＝DN，DN＝DQ，∴DM＝DQ，∵∠B＝∠C，∠BMD＝∠CQD，∴△BMD≌△CQD（AAS），∴BD＝CD，∴；【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，连接AO，由（2）同理得，△BOE∽△CFO，∴，∵点O为BC的中点，∴BO＝OC，∴，∵∠EOF＝∠C，∴△EOF∽△OCF，∴∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，∴ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，∴OM＝ON，∵OE＝OE，∴Rt△EOM≌Rt△EON（HL），∴EM＝EN，同理得，FN＝FQ，∴△AEF的周长为AM+AQ，同理得，AM＝AQ，设AB＝m，则OB＝m×cosα，BM＝m×cos2α，∴△AEF与△ABC的周长之比为．故答案为：1﹣cosα．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义等知识，熟练掌握相似三角形的基本模型﹣﹣一线三等角是解题的关键．8．（2022•仪征市二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，E垂足为点E、F．如果＝sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正DF平分线．（1）如图2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；（2）如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．①试说明：四边形MNFD为正方形；②若AB＝120，边AB上的高为80，tanB＝，求∠CAB的正平分线AD的长．【分析】（1）证明△CDE∽△BDF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）①证明四边形DFNM是矩形，证出sin∠CAB＝sin∠CMD，则，证出DF＝DM，由正方形的判定可得出结论；②过点C作CH⊥AB于点H，交MD于点G，设DF＝4x，则FB＝3x，DM＝4x，证明△CMD∽△CAB，由相似三角形的性质得出，求了DF＝48，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∴△CDE∽△BDF，∴，∵∠CAB＝45°，∴＝sin∠CAB，∴AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；（2）①证明：∵DF⊥AB，DM∥AB，MN⊥AB，∴DM⊥MN，∴∠DMN＝∠MNF＝∠DFN＝90°，∴四边形DFNM是矩形，∵DM∥AB，∴∠CMD＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠CMD，∴，∴DF＝DM，∴四边形MNFD为正方形；②解：过点C作CH⊥AB于点H，交MD于点G，∵tanB＝，设DF＝4x，∴FB＝3x，DM＝4x，∵DM∥AB，∴△CMD∽△CAB，∴，∴CG＝x，∴，解得x＝12，∴DF＝48，AF＝AB﹣FB＝84，∴AD＝＝＝12．【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2022•泰兴市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，E是AB上的一点，BE＝5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．（1）求证：△AEC'∽△AC'B；（2）若点F是BC上的一点，且BF＝，①若△BC'F与△BC'E的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的△AC'D（保留作图痕迹，不写作法）；②求BC'+FC'的最小值．【分析】（1）由线段的数量关系可得，可得结论；（2）①由题意可得点C'是∠ABC的角平分线与⊙A的交点，作∠CAC'的角平分线交BC于点D，则△AC'D为所求图形；②由相似三角形的性质可得BC'+FC'＝（EC'+FC'），则当点E，点C'，点F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求EF的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵BE＝5，AB＝9，∴AE＝4，∵沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，∴AC＝AC'＝6，∵＝，，∴，又∵∠BAC'＝∠EAC'，∴△AEC'∽△AC'B；（2）解：①设点C'到BE的距离为x，点C'到BF的距离为y，∵△BC'F与△BC'E的面积比是，∴＝，∴x＝y，∴点C'在∠ABC的角平分线上，∵沿AD折叠△ACD，∴AC＝AC'，∴点C'在以点A为圆心，AC为半径的圆上，∴则点C'是∠ABC的角平分线与⊙A的交点，如图所示：作∠CAC'的角平分线交BC于点D，则△AC'D为所求图形；②∵△AEC'∽△AC'B，∴＝，∴BC'＝EC'，∴BC'+FC'＝（EC'+FC'），∴当点E，点C'，点F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，如图4，过点E作EH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，∴BC＝＝＝3，∵∠ACB＝∠EHB＝90°，∠ABC＝∠EBH，∴△ABC∽△EBH，∴，∴＝，∴EH＝，BH＝，∴HF＝，∴EF＝＝，∴BC'+FC'的最小值＝×＝．【点评】本题是相似三角形的判定和性质，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．10．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是；（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到α＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；（3）由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性质得到∠A1B1E1＝∠A1D1B1，根据平行线的性质得到∠A1E1B1＝∠C1B1E1，求得∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1E1B1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，证得∠A1B1C1＝45°，于是得到结论．【解答】解：（1）∵平行四边形有一个内角是120°，∴α＝60°，∴＝；故答案为：；（2），理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，∴，∵，∴；（3）如图2，∵AB2＝AE•AD，∴A1B12＝A1E1•A1D1，即，∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由（2）知，；可知＝＝，∴sin∠A1B1C1＝，∴∠A1B1C1＝45°，∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝45°．【点评】本题考查了相似综合题，需要掌握平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的理解“变形度”的定义是解题的关键．11．（2022春•崇川区校级月考）矩形ABCD中，AC，BD交于点O，E为射线AD上一点，且AE＝CE，作射线CE交BD所在的直线于F．（1）当AD＞AB，①求证：△EAC∽△OBC；②若BD⊥CE，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）①由矩形的性质和等腰三角形的性质可得∠EAC＝∠OBC＝∠ACE＝∠ACB，可得结论；②由余角的性质可求∠DBC＝∠ACB＝∠ACE＝30°，由直角三角形的性质可求BC＝CD，DE＝CD，可得结论；（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求OF，CF的长，即可求解．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，AD∥BC，∴∠OBC＝∠OCB，∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB＝∠OBC，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACE，∴∠EAC＝∠OBC，∠ACE＝∠ACB，∴△EAC∽△OBC；②解：∵BD⊥CE，∴∠DBC+∠BCE＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝∠ACE＝30°，∴BC＝CD，∵∠DCE＝90°﹣∠BCA﹣∠ACE＝30°，∴DE＝CD，∴AE＝AD﹣DE＝CD，∴＝；（2）解：∵，∴设DE＝3k，BC＝8k＝AD，当点E在线段AD上时，∴AE＝5k＝EC，∴CD＝＝4k，∴BD＝＝＝4k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BO＝DO＝2k，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，∴BF＝＝k，FC＝×5k＝k，∴OF＝k，∴；当点E在线段AD的延长线上时，∴AE＝11k＝EC，∴CD＝＝4k，∴BD＝＝4k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BO＝DO＝2k，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，∴BF＝k，FC＝×11k＝k，∴OF＝k，∴＝；综上所述：的值为或．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．12．（2022•常州一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”；（2）请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线