【信号与系统(郑君里)课后答案】第二章习题解答

2-6解题过程：（1）e(t)=u(t)，r(0−)=1，r'(0−)=2方法一：经典时域法：rZi''(t)+3rZi'(t)+2rZi(t)=0①求rZi'(0+)=rZi'(0−)=2：由已知条件，有rZir'(0)=r'(0)=1+Zi−Zi特征方程：α2+3α+2=0特征根为：α1=−1，α2=−2rZi(t)=(A1e−t+A2e−2t)u(t)，代入rZi'(0+)，rZi(0+)得A1=4，A2=−3rZi(t)=(4e−t−3e−2t)u(t)②求rZs：将e(t)=u(t)代入原方程，有rZs''(t)+3rZs'(t)+2rZs(t)=δ(t)+3u(t)rZs''(t)=aδ(t)+bu(t)'(t)=au(t)用冲激函数匹配法，设rZsr(t)=atu(t)代入微分方程，平衡δ(t)两边的系数得a=1故rZs'(0+)=rZs'(0−)+1=1，rZs(0+)=rZs(0−)=0再用经典法求rZs(t)：齐次解rZsh(t)=(B1e−t+B2e−2t)u(t)因为e(t)=u(t)故设特解为rZsp(t)=Cu(t)，代入原方程得C=32rZs(t)=rZsh(t)+rZsp(t)=B1e−t+B2e−2t+3u(t)2代入rZs'(0+)，rZs(0+)得B1=−2，B2=12rZs(t)=−2e−t+1e−2t+3u(t)22③全响应：r(t)=r(t)+r(t)=2e−t−5e−2t+3u(t)22自由响应：2e−t−5e−2t u(t) 21受迫响应：32u(t)方法二：p算子法dtd22r(t)+3dtdr(t)+2r(t)=dtde(t)+3e(t)化为算子形式为：(p2+3p+2)r(t)=(p+3)e(t)特征方程：α2+3α+2=0特征根为：α1=−1，α2=−2rZi(t)的求法与经典时域法一致，rZi(t)=(4e−t−3e−2t)u(t)再求(t)：(t)=u(t)，p+3rZs(t)=(per+1)(p+2)u(t)=(p+3)e−t−2tt−τ−2τ1−t1−2t其中eu(t)eu(t)u(t)=∫0(e−e)dτ=−e+e22r(t)=(p+3)1−e−t+1e−2tu(t)=−2e−t+1e−2t+3u(2222全响应r(t)=r(t)+r(t)=2e−t−5e−2t+3u(t)22−t5−2t(t)自由响应：2e−eu2受迫响应：32u(t)综观以上两种方法可发现p算子法更简洁，准确性也更高

−tu(t)e−2tu(t))

u(t)u(t)（2）e(t)=e−3tu(t)，r(0−)=1，r'(0−)=2运用和上题同样的方法，可得全响应r(t)=(5e−t−4e−2t)u(t)零输入响应：rZi(t)=(4e−t−3e−2t)u(t)零状态响应：rZs(t)=(e−t−e−2t)u(t)自由响应：(5e−t−4e−2t)u(t)受迫响应：02-10分析：2dr(t)+5r(t)=+e(τ)f(t−τ)dτ−e(t)=e(t)f(t)−e(t)=e(t)f(t)−δ(t)dx∫−∞已知冲激函数δ(t)与单位冲激响应h(t)为“输入——输出”对，故e(t)=δ(t)时，r(t)=h(t)。类似上题，也可以用经典法和算子法两种思路求解该微分方程。解题过程：方法一：经典法代入e(t)=δ(t)，f(t)=e−tu(t)+3δ(t)得到dh(t)+5h(t)=e−tu(t)+2δ(t)()dt对于因果系统h(0−)=0先求满足dtdh1(t)+5h1(t)=δ(t)的h1(t)：h1(t)=Ae−5tu(t)利用冲激函数匹配法，在(0−,0+)时间段内dh1(t)=aδ(t)+bu(t)(0−<t<0+)dxh1(t)=au(t)aδ(t)+bu(t)+5au(t)=δ(t)a=1,b=−5h1(0+)=a+h(0−)=A=1h1(t)=e−5tu(t)对于()式：−t−5t−t−5t1−t7−5th(t)=h1(t)eu(t)+2δ(t)=eu(t)eu(t)+2eu(t)=e+eu(t)44方法二：p算子法（常用关系式：①dxdt(t)=px(t)，②e−λtu(t)=p1+λδ(t)③1x(t)=1δ(t)x(t)=1δ(t)x(t)=e−λtu(t)x(t)）p+λp+λp+λ引入微分算子p，()式变成：(p+5)h(t)=p1+1δ(t)+2δ(t)3h(t)=p1+5p1+1δ(t)+p2+5δ(t)h(t)=7e−5t+1e−tu(t)44

−11244δ(t)+δ(t)=+p+1p+5p+5注：由本例再次看到，相比经典法，p算子法形式简洁，易算易记。2-14分析：求解两个信号的卷积，可以直接用定义，依照“反转→平移→相乘→求和”的顺序来求，积分式为x1(t)x2(t)=∫+x1(τ)x2(t−τ)dτ，但是这种依靠定义的基本方−∞法可能不是最简便的。更应该注意灵活运用卷积的性质（卷积的交换律、结合律、分配律；卷积的微分与积分；与冲激函数或阶跃函数的卷积）对表达式进一步的化简，甚至直接得到结果。（1）f(t)=u(t)−u(t−1)=u(t) δ(t)−δ(t−1)s(t)=f(t)f(t)=u(t)δ(t)−δ(t−1)u(t)δ(t)−δ(t−1)=u(t)u(t) δ(t)−2δ(t−1)+δ(t−2)=tu(t) δ(t)−2δ(t−1)+δ(t−2)tu(t)−2(t−1)u(t−1)+(t−2)u(t−2)（2）f(t)=u(t−1)−u(t−2)=u(t) δ(t−1)−δ(t−2)s(t)=f(t) f(t)=u(t) δ(t−1)−δ(t−2) u(t) δ(t−1)−δ(t−2)=u(t)u(t) δ(t−2)−2δ(t−3)+δ(t−4)=tu(t) δ(t−2)−2δ(t−3)+δ(t−4)(t−2)u(t−2)−2(t−3)u(t−3)+(t−4)u(t−4)注：可见（2）中的s(t)是（1）中s(t)右移两位，不难推出如下结论：s1(t)=x1(t) x2(t)s2(t)=x1(t−t1) x2(t−t2)=s1(t−t1−t2) (t1≥0,t2≥0)2.15分析：利用卷积的性质：f()(t+t0)(t−t0)=f(t+t0)+f(t−t0)tδ+δ可画出如下波形：1()()()()()1()2()1()f21t+5t−5t+5+ft−5（1）st=ftt=ftδ+δ=f（2）s2()1()f2()f2()1()(t+5)(t−5)(t5)(t−5)t=fttt=ftδ+δδ++δ41(t)(t+10)+2δ(t)(t−10)=fδ+δf1(t+10)+2f1(t)+f1(t−10)（3）s(t)=f(t)f(t)u(t+5)−u(t−5)f(t)3{12}21()f2()1()(t+5)(t−5)(−5,5)由（1）得ftt=st，u−u相当于一个“时间窗”，保留内的信号，其它范围内的信号为0。（4）s4(t)=f1(t)f3(t)发生时域信号的叠加s1(t)1-6-5-4-3-2-11234562s2(t)1-11-9-11911s3(t)1-10-9-11910s4(t)21-3/2 -1/2 1/2 3/22-18分析：本题可以用经典法、算子法或者直接用LTI系统的性质求解解题过程：方法一：经典法5r(t)=He(t)=e(t)h(t)，Hde(t)=dt得到微分方程：dtdr(t)+3r(t)=e−2tu(t)

{He(t)}=dr(t)dtdt此方程齐次解rn(t)=Ae−3tu(t)，特解rp(t)=Be−2tu(t)将rp(t)代入上式得到B=1，即rp(t)=e−2tu(t)由于r(t)是零状态响应，且方程右端无冲激项，故r(0+)=0，将此初始条件代入r(t)=rh(t)+rp(t)=(Ae−3t+e−2t)u(t)得A=−1r(t)=(−e−3t+e−2t)u(t)又∵r(t)=e(t) h(t)e(t)h(t)=2e−3tu(t)h(t)=(−e−3t+e−2t)u(t)又de(t)h(t)=de(t)h(t)=dr(t)dtdtdt−6e−3tu(t)+2δ(t)h(t)=(3e−3t−2e−2t)u(t)（1）*3+（2）得δ(t) h(t)=12e−2tu(t)h(t)=12e−2tu(t)方法二：p算子法(t)=H(e(t))Hde(t)=Hpe(t)=pHe(t)=pr(t)=−3r(t)+e−2tu(t)dt

(1)(2)(p+3)r(t)=e−2tu(t)r(t)=1e−2tu(t)e