2016年全国各地中考数学试卷分类汇编30圆的有关性质

圆的有关性质

一、选择题

1.（2016•山东省滨州市・3分）如图，AB是。。的直径，C,D是。O匕的点，且OC〃BD,

AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论：

①AD_LBD；®ZAOC=ZAEC；③CB平分NABD；④AF=DF；@BD=2OF；

⑥4CEF丝ABED,其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤

【考点】圆的综合题.

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于NAOC是。O的圆心角，ZAEC是。O的圆内部的角角，

③由平行线得到NOCB=NDBC,再由圆的性质得到结论判断出NOBC=NDBC；

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位线得到结论；

⑥得不到^CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等.

【解答】解：①、；AB是（DO的直径，

.\ZADB=90°,

；.AD_LBD,

②、•.•NAOC是。O的圆心角，NAEC是。O的圆内部的角角，

ZAOC^ZAEC,

③、：OC〃BD,

；./OCB=/DBC,

VOC-OB,

.•.ZOCB=ZOBC,

ZOBC=ZDBC,

ACB平分NABD,

④、：AB是。0的直径,

；.NADB=90°,

.\AD±BD,

VOC/7BD,

ZAFO=90°,

,••点。为圆心，

AF=DF,

⑤、由④有，AF=DF,

点O为AB中点，

...（^是小ABD的中位线，

，BD=2OF,

⑥^.^△CEF和△BED中，没有相等的边，

AACEF与4BED不全等，

故选D

【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题

的关键是熟练掌握圆的性质.

2.（2016.山东省德州市.3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有

下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：”今有直角三角形，勾

（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切

圆）直径是多少？”（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【考点】三角形的内切圆与内心.

【专题】圆的有关概念及性质.

【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径.

【解答】解：根据勾股定理得：斜边为行寿=17,

24.1R-17

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=°,°「-3（步），即直径为6步,

2

故选c

【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，RtAABC,三边长为a,b,c（斜边），其内

切圆半径『誓.

3.（2016.山东省济宁市.3分）如图，在。O中，窟二窟，ZAOB=40°,则NADC的度数

是（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

【考点】圆心角、弧、弦的关系.

【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出NAOC=NAOB=50。，再由圆周角定理即可得出结

论.

【解答】解：.・•在。O中，AB=AC，

AZAOC=ZAOB,

VZAOB=40°,

/.ZAOC=40°,

Z.NADC」/AOC=20。，

2

故选c.

4.（2016•云南省昆明市-4分）如图，AB为。。的直径，AB=6,AB,弦CD,垂足为G,

EF切。O于点B,ZA=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）

A.EF〃CDB.△COB是等边三角形

C.CG=DGD.部的长为多i

【考点】弧长的计算；切线的性质.

【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据

垂径定理判断C；利用弧长公式计算出祕的长判断D.

【解答】解：：AB为。。的直径，EF切。0于点B,

；.AB_LEF,又AB_LCD,

；.EF〃CD,A正确；

•；AB_L弦CD,

，ZC0B=2ZA=60°,又OC=OD,

.,△COB是等边三角形，B正确；

YABJ^CD,

；.CG=DG,C正确；

踊的长为：60XJX3一,口错误，

180

故选：D.

5.（2016•浙江省湖州市・3分）如图，圆O是R3ABC的外接圆,ZACB=90°,NA=25。,

过点C作圆。的切线，交AB的延长线于点D,则/D的度数是（）

A.25°B.40℃,50°D.65°

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【分析】首先连接OC,由/A=25。，可求得/BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得

OCXCD,继而求得答案.

【解答】解：连接OC,

:圆O是RtaABC的外接圆，ZACB=90°,

.••AB是直径，

ZA=25°,

.•./BOC=2NA=50°,

：CD是圆O的切线,

A0C1CD,

ZD=90°-NBOC=40°.

故选B.

6.（2016•浙江省绍兴市・4分）如图，BD是。O的直径，点A、C在。。上，研=BG

/AOB=60。，则/BDC的度数是（）

【考点】圆周角定理.

【分析】直接根据圆周角定理求解.

【解答】解：连结OC,如图，

7AB=BC>

ZBDC=—ZAOB=—x60°=30°.

22

故选D.

7.（2016广西南宁3分）如图，点A,B,C,P在。。上，CDXOA,CE1OB,垂足分

别为Q,E,ZDCE=40°,则/P的度数为（）

A.140°B.70℃.60°D.40°

【考点】圆周角定理.

【分析】先根据四边形内角和定理求出NDOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论.

【解答】解：VCDXOA,CE10B,垂足分别为D,E,/DCE=40。，

.•.ZDOE=180°-40°=140°,

ZP=—ZDOE=70°.

2

故选B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

8.（2016贵州毕节3分）如图，点A,B,C在上，NA=36。，ZC=28°,则/B=（）

A.100°B.72℃.64°D.36°

【考点】圆周角定理.

【分析】连接OA,根据等腰三角形的性质得到NOAC=NC=28。，根据等腰三角形的性质解

答即可.

【解答】解：连接OA,

VOA-OC,

ZOAC=ZC=28°,

；./OAB=64。，

VOA=OB,

NB=NOAB=64°,

9.（2016河北3分）图示为4x4的网格图，A,B,C,D,。均在格点上，点0是（)

第9题图

A.△4C£＞的外心B.△ABC的外心

C.△ACQ的内心D.△ABC的内心

答案：B

解析：点O在△ABC外，且到三点距离相等，故为外心。

.知识点：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。（也就是内切圆圆心）

10.（2016•山东潍坊・3分）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑

时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下

落的路线，其中正确的是（）

OBVOBXfOBMOB

【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线.

【分析】先连接OP，易知OP是RSAOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半，可得OP=/AB,由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个

定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上.

【解答】解：如右图，

连接OP,由于OP是RtAAOB斜边上的中线，

所以OP=*AB,不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以

O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线.

故选D.

11.（2016•陕西・3分）如图，。0的半径为4,△ABC是。O的内接三角形，连接OB、OC.若

NBAC与NBOC互补，则弦BC的长为（）

A.3我B.4收.5扬.6M

【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.

【分析】首先过点O作ODLBC于D,由垂径定理可得BC=2BD,又由圆周角定理，可求

得NBOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得/OBC的度数，利用余弦函数，即可

求得答案.

【解答】解：过点O作ODJ_BC于D,

则BC=2BD,

:△ABC内接于。O,NBAC与/BOC互补，

.".ZBOC=2ZA,/BOC+/A=180°,

，NBOC=120°,

VOB=OC,

/.ZOBC=ZOCB=^=30°,

2

的半径为4,

/.BD=OB・cos/OBC=4x号

•••BC=4愿.

故选：B.

12.（2016・四川眉山・3分）如图，A、D是。O上的两个点，BC是直径.若/D=32。，则

【分析】先根据圆周角定理求出NB及/BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出/OAB

的度数，进而可得出结论.

【解答】解：；BC是直径，ND=32。，

,NB=ND=32°,ZBAC=90°.

VOA=OB,

/BAO=NB=32。，

，ZOAC=ZBAC-ZBAO=90°-32°=58°.

故选B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

13.(2016•四川攀枝花)如图，点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在。A上，BD是

OA的一条弦，则sin/OBD=()

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】连接CD,可得出NOBD=/OCD,根据点D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,

由勾股定理得出CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinZOBD即可.

【解答】解：：D(0,3),C(4,0),

r.OD=3,OC=4,

VZCOD=90°,

.•.€0=^32+42=5,

连接CD,如图所示：

ZOBD=ZOCD,

sinZOBD=sinZOCD=-^^—.

CD5

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定

理是解决问题的关键.

14.(2016•黑龙江龙东・3分)若点O是等腰△ABC的外心，且NBOC=60。,底边BC=2,则

△ABC的面积为()

A.2+V3B-C.2-技.4+2^^2-b

3

【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质.

【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可

以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，如右图所示，

存在两种情况，

当AABC为AAiBC时,连接OB、OC,

:点O是等腰△ABC的外心，且NBOC=60。，底边BC=2,OB=OC,

...△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2,OA」BC于点D,

CD=1,OD=,m-]2=<^,

BC・A】D2X（2-付=2-北

"SAABC-

122

当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC,

；点0是等腰△ABC的外心，且/BOC=60。，底边BC=2,OB=OC,

.'.△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2,OA|_LBC于点D,

.'.CD=1,OD=J淤-]

...SAA2BC=BC'DA2/><（2+“）=2+b,

22

由上可得，△ABC的面积为2-Jg或2+、丹，

故选C.

15.（2016•黑龙江齐齐哈尔・3分）下列命题中，真命题的个数是（）

①同位角相等

②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行

③长度相等的弧是等弧

④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】命题与定理.

【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对

③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四

边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形.

【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①错误：

经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；

在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；

顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确.

故选A.

16.（2016・湖北黄石・3分）如图所示，。。的半径为13,弦AB的长度是24,ON1AB,

垂足为N,则ON=（）

A.5B.7C.9D.11

【分析】根据的半径为13,弦AB的长度是24,ON±AB,可以求得AN的长，从而

可以求得ON的长.

【解答】解：由题意可得，

OA=13,ZONA=90°,AB=24,

.\AN=12,

ON=7oA2-AN2=7132-122=5'

故选A.

【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题.

,17.（2016・湖北荆州・3分）如图，过。O外一点P引。。的两条切线PA、PB,切点分别

是A、B,OP交。O于点C,点D是优弧冠上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、

CD,若NAPB=80。，则NADC的度数是（)

B

A.15°B.20℃.25°D.30°

【分析】根据四边形的内角和，可得NBOA,根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定

理，可得答案.

【解答】解:

由四边形的内角和定理，得

ZBOA=360°-90°-90°-80°=100°,

由公踊，得

ZAOC=ZBOC=50°.

由圆周角定理，得

/ADC」NAOC=25。,

2

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出启踊是解题关键，又利用了圆周角定

理.

二、填空题

1.（2016.重庆市A卷.4分）如图，OA,OB是。O的半径，点C在。O上，连接AC,BC,

若NAOB=120°,则NACB=60度.

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半可得答案.

【解答】解：V0A10B,

；.NAOB=120。，

.,.ZACB=120°x^60°,

2

故答案为：60.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

2.（2016・广西百色・3分）如图，的直径AB过弦CD的中点E,若/C=25。,则/D=65°.

【考点】圆周角定理.

【分析】先根据圆周角定理求出NA的度数，再由垂径定理求出NAED的度数，进而可得

出结论.

【解答】解：：/C=25。，

ZA=ZC=25°.

OO的直径AB过弦CD的中点E,

AAB±CD,

ZAED=90°,

,ZD=90°-25°=65°.

故答案为：65°.

3.（2016・贵州安顺・4分）如图，AB是。O的直径,弦CD_LAB于点E,若AB=8,CD=6,

B

【分析】连接0C,根据垂径定理得出CE=ED=CD=3,然后在RsOEC中由勾股定理求

出OE的长度，最后由BE=OB-OE,即可求出BE的长度.

【解答】解：如图，连接OC.

:弦CD_LAB于点E,CD=6,

；.CE=ED=2CD=3.

•.•在RtAOEC中，ZOEC=90°,CE=3,OC=4,

.•.OE==V7

.\BE=OB-OE=4-V7.

故答案为4-V7.

【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出

CE、ED的长度.

4.（2016海南4分）如图，AB是。O的直径，AC、BC是。O的弦，直径DEJAC于点P.若

【分析】解：由AB和DE是。。的直径，可推出OA=OB=OD=4,ZC=90°,又有DELAC,

得到OP〃BC,于是有△AOPsaABC,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：；AB和DE是。O的直径，

.•.OA=OB=OD=4,ZC=90°,

XVDEIAC,

；.OP〃BC,

.♦.△AOPs/XABC,

OP_AO

BC-AB,

OP^

即丁而，

；.OP=1.5.

，DP=OP+OP=5.5,

故答案为：5.5.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握

圆周角定理是解决问题的关键.

5.（2016•青海西宁・2分）。O的半径为1,弦AB=&,弦AC=Q,则NBAC度数为75。

或15。.

【考点】垂径定理；圆周角定理：解直角三角形.

【分析】连接OA,过O作OEJ_AB于E,OF_LAC于F,根据垂径定理求出AE、FA值，

根据解直角三角形的知识求出NOAB和NOAC,然后分两种情况求出NBAC即可.

【解答】解：有两种情况：

①如图1所示：连接OA,过O作OE_LAB于E,OF_LAC于F,

.\ZOEA=ZOFA=90°,

由垂径定理得：AE=BE=亚AF=CF=Y2,

22

COSZOAE=A£-^,COSZOAF=AF-^,

0A20A2

AZOAE=30°,ZOAF=45°,AZBAC=30o+45°=75°；

②如图2所示：

连接OA,过O作OE_LAB于E,OF_LAC于F,

NOEA=NOFA=90°,

由垂径定理得：AE=BE=瓜，AF=CF=返，

22

/CAUAEM/cauAFV2

cosZOAE=----=二*,cosZOAF=----=-—,

0A2OA2

/.ZOAE=30°,ZOAF=45°,

.,.ZBAC=45o-30°=15°；

故答案为：75。或15。.

CB

圉2

6.（2016・吉林・3分）如图，四边形ABCD内接于。O,NDAB=130。，连接OC,点P是半

径OC上任意一点，连接DP,BP,则NBPD可能为80度（写出一个即可）.

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理.

【分析】连接OB、0D,根据圆内接四边形的性质求出NDCB的度数，根据圆周角定理求

出/DOB的度数，得到NDCBVNBPDVNDOB.

【解答】解：连接OB、OD,

四边形ABCD内接于ZDAB=130°,

AZDCB=180°-130°=50°,

由圆周角定理得，ZDOB=2ZDCB=100°,

ZDCB<ZBPD<ZDOB,即50°<ZBPD<100°,

ZBPD可能为80°,

故答案为：80.

7.(2016・四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(l,0),B(1-

a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心，1为半径的圆上

运动，且始终满足NBPC=90。，则a的最大值是6.

【考点】三角形的外接圆与外心.

【分析】首先证明AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出。D上到点

A的最大距离即可解决问题.

【解答】解：•/A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

AB=I-(1-a)-a,CA=a+l-1-a,

，AB=AC,

/BPC=90°,

PA=AB=AC=a,

如图延长AD交。D于P，，此时AP，最大，

A(1,0),D(4,4),

AD=5,

AP'=5+1=6,

；.a的最大值为6.

故答案为6.

8.(2016•黑龙江龙东・3分)如图，MN是。O的直径，MN=4,/AMN=40。，点B为弧AN

的中点，，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为2M.

【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理.

【分析】过A作关于直线MN的对称点N,连接A，B,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB

的最小值，由对称的性质可知标丞',再由圆周角定理可求出NA，ON的度数，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A，，连接AB,由轴对称的性质可知AB即为

PA+PB的最小值，

连接OB,OA',AA\

：AA，关于直线MN对称，

ATA71'

*.•ZAMN=40°,

AZA'ON=80°,ZBON=40°,

ZA,OB=120°,

过O作OQ_LAB于Q,

在RlAA'OQ中，OA'=2,

.,.A,B=2A,Q=2A/3，

即PA+PB的最小值2圾.

故答案为：2代.

1.(2016•四川泸州)如图，AABC内接于。0,BD为。O的直径，BD与AC

相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且/A=NEBC.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)已知CG〃EB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BG・BA=48,

FG=&,DF=2BF,求AH的值.

【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定.

【分析】(1)欲证明BE是OO的切线，只要证明/EBD=90。.

(2)由△ABCs^CBG,得也:胆求出BC,再由ABFCS/\BCD,得

BGBC

BC2=BF・BD求出BF,CF,CG,GB,再通过计算发现CG=AG,进而可以证

明CH=CB,求出AC即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接CD,

VBD是直径，

NBCD=90。，即ND+NCBD=90。，

VZA=ZD,NA=NEBC,

，NCBD+NEBC=90°,

，BE_LBD,

ABE是。O切线.

(2)解：VCG^EB,

，NBCG=NEBC,

，ZA=ZBCG,

ZCBG-ZABC

...AABC^ACBG,

.•.里=迪，即BC2=BG・BA=48,

BGBC

•••BC=4对，

VCG/7EB,

ACFIBD,

ABFC^ABCD,

；.BC2=BF・BD,

,/DF=2BF,

BF=4,

在RTABCF中，CF=^/BC2_FB2=472-

；.CG=CF+FG=5&,

在RTABFG中，BG=JBF2+FG2=3&，

：BG・BA=48,

，BA=8扬JAG=5加,

；.CG=AG,

AZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

ZCHF=ZCBF,

.,.CH=CB=4«,

AABC^ACBG,

.AC_BC

•'育部，

.,_CB-CG_20A/3

••AALr----------，

CG3

AH=AC-CH=^X

3

2.（2016•四川攀枝花）如图，在AAOB中，/AOB为直角，OA=6,OB=8,半径为2的

动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从

点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0<tW5）

以P为圆心，PA长为半径的。P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、QC.

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）当OQ经过点A时，求。P被OB截得的弦长.

（3）若。P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.

B

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)由题意知CDJ_OA,所以△ACDs/XABO,利用对应边的比求出AD的长度,

若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值；

(2)由于0＜上5,当Q经过A点时，OQ=4,此时用时为4s,过点P作PE_LOB于点E,

利用垂径定理即可求出。P被OB截得的弦长；

(3)若。P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与OP相切时，计算出

此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值

范围.

【解答】解：(1)VOA=6,OB=8,

由勾股定理可求得：AB=10,

由题意知：OQ=AP=t,

；.AC=2t,

「AC是。P的直径，

ZCDA=90°,

；.CD〃OB,

/•△ACD^AABO,

.ACAD

ABOA

AD=--

5

当Q与D重合时，

AD+OQ=OA,

.6,,

・・—t+t=6A,

5

..t=—30；

11

(2)当。Q经过A点时，如图1,

OQ=OA-QA=4,

1

，PA=4,

ABP=AB-PA=6,

过点P作PELOB于点E,OP与OB相交于点F、G,

连接PF,

...PE〃OA,

/•△PEB^AAOB,

.PEBP

•*'_,,

OAAB

•18

5

...由勾股定理可求得：EF=2叵，

5

由垂径定理可求知：FG=2EF=±^亘；

5

(3)当QC与。P相切时，如图2,

此时NQCA=90。，

VOQ=AP=t,

AQ=6-t,AC=2t,

VZA=ZA,

ZQCA=ZABO,

AAAQC^AABO,

,AQAC

••1二3

ABOA

.6-t2t

••--------

106

t_18

l----f

13

.•.当0＜饪契时，OP与QC只有一个交点,

当QCJ_OA时，

此时Q与D重合，

由（1）可知：t=碧，

当需＜区5时，OP与QC只有一个交点，

综上所述，当，OP与QC只有一个交点，t的取值范围为：。＜乜丝或里〈区5.

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性

质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答.

3.（2016•山东潍坊）正方形ABCD内接于。O,如图所示，在劣弧源上取一点E,连接

DE、BE,过点D作DF〃BE交。。于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证:

（1）四边形EBFD是矩形；

(2)DG=BE.

【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理.

【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出

ZBED=ZBAD=90°,ZBFD=ZBCD=90°,ZEDF=90°,进而得出答案；

（2）直接利用正方形的性质标的度数是90。，进而得出BE=DF,则BE=DG.

【解答】证明：（1）,••正方形ABCD内接于。O,

二NBED=/BAD=90。，NBFD=/BCD=90。，

又,.•DF〃BE,

.".ZEDF+ZBED=180°,

ZEDF=90°,

二四边形EBFD是矩形；

(2))•.•正方形ABCD内接于00,

二俞的度数是90°,

.•.ZAFD=45°,

又；ZGDF=90°,

.".ZDGF=ZDFC=45°,

；.DG=DF,

又•.•在矩形EBFD中,BE=DF,

；.BE=DG.

4.（2016・广西桂林・8分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式--

海伦公式5=）〃（〃一°）（2一/）（〃一C）（其中心1。是三角形的三边长，

n_a+h+c,S为三角形的面积），并给出了证明

例如：在△ABC中，a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算：

*.*a=3,b=4,c=5

・a+b+cx

•・P=^^6

S=Vp(p-a)(p-b)(p-c>V6X3X2X1-6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解决.

如图，在△ABC中，BC=5,AC=6,AB=9

(1)用海伦公式求△ABC的面积；

(2)求△ABC的内切圆半径r.

【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用.

【分析】(1)先根据BC、AC、AB的长求出P,再代入到公式S』p(p-a)(p-b)(p-c)

即可求得S的值；

(2)根据公式S=、(AC+BC+AB),代入可得关于r的方程，解方程得r的值.

【解答】解：(1)VBC=5,AC=6,AB=9,

,BC+AC+AB5+6+9in

22

S=VP(P-a)(P-b)(p-c>V10X5X4X1=10&;

故^ABC的面积1072：

(2)VS=-^r(AC+BC+.AB),

•■-10V2=^r(5+6+9),

解得：r=料，

故^ABC的内切圆半径r=J工.

5.(2016•广西桂林•10分)如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,ZB=90°,

以AD为直径作圆O,过点D作DE〃AB交圆O于点E

(1)证明点C在圆O上；

(2)求tan/CDE的值；

(3)求圆心O到弦ED的距离.

B

【考点】实数的运算.

【分析】(1)如图1,连结CO.先由勾股定理求出AC=10,再利用勾股定理的逆定理证明

△ACD是直角三角形，ZC=90°,那么OC为RtZkACD斜边上的中线，根据直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半得出OC=,AD=r,即点C在圆0上；

(2)如图2,延长BC、DE交于点F,ZBFD=90°.根据同角的余角相等得出NCDE=/ACB.在

为△ABC中，利用正切函数定义求出tan/ACB=@-』，则tan/CDE=tan/ACB=N

844

(3)如图3,连结AE,作OG_LED于点G,则OG〃AE,且OG=L\E.易证△ABC^ACFD,

2

根据相似三角形对应边成比例求出CF=g,那么BF=BC+CF=¥.再证明四边形ABFE

55

是矩形，得出AE=BF=L2,所以OG=LAE=%.

525

【解答】(1)证明：如图1,连结CO.

：AB=6,BC=8,ZB=90°,

AC-10.

XVCD=24,AD=26,102+242=262,

.二△ACD是直角三角形，ZC=90°.

；AD为。。的直径，

AO=OD,OC为RtAACD斜边上的中线，

.,.OC=—AD=r,

2

...点C在圆O上;

(2)解：如图2,延长BC、DE交于点F,ZBFD=90°.

NBFD=90°,

，ZCDE+ZFCD=90°,

又；NACD=90°,

/.ZACB+ZFCD=90°,

・・・NCDE=NACB.

在RIAABC中，tanZACB=-^=—,

84

3

tanZCDE=tanZACB=—；

4

(3)解：如图3,连结AE,作OG_LED于点G,则OG〃AE,且OG=£AE.

易证△ABCs/XCFD,

・AB二AC即6_10

"CT"CD，C^~24f

.「口72

5

79112

JBF二BC+CF=8+|乙="乙.

55

VZB=ZF=ZAED=90°,

・・・四边形ABFE是矩形，

11?

AAE=BF=-i^,

5

156

AOG=—AE=—,

25

即圆心O至！I弦ED的距离为善.

5

6.（2016•贵州安顺・12分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半

径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且/ACB=NDCE.

（1）判断直线CE与。O的位置关系，并证明你的结论；.

返

BC=2,求00的半径.

【分析】（1）连接OE.欲证直线CE与。O相切，只需证明NCEO=90。，即OE_LCE即可;

（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=W历，然后根据勾股定理求

得AC=J^,同理知DE=1；

方法一、在Rt^COE中，利用勾股定理可以求得CC）2=OE2+CE2,即（、用-=）2=/+3,从

而易得r的值;

方法二、过点O作OM_LAE于点M,在RSAMO中，根据三角函数的定义可以求得r的

值.

【解答】解：（1）直线CE与。。相切.…（1分）

理由如下:

•.•四边形ABCD是矩形,

；.BC〃AD,ZACB=ZDAC；

XVZACB=ZDCE,

NDAC=NDCE；

连接OE,则NDAC=NAEO=/DCE；

,/ZDCE+ZDEC=90°

，ZAE0+ZDEC=90°

ZOEC=90°,BP0E1CE.

又OE是（DO的半径，

直线CE与。O相切.…（5分）

AB返

(2)VtanZACB=BC=2,BC=2,

AB=BC・tanNACB=&,

AAC-V6；

XVZACB=ZDCE,

返

.".tanZDCE=tanZACB=2,

.".DE=DC«tanZDCE=l；

方法一：在Rt^CDE中，CE=VCD2+DE2

连接OE,设。O的半径为r,则在RSCOE中，CO2=OE2+CE2,g|J~r)2=r2+3

返

解得：r=4

方法二：AE=AD-DE=1,过点O作OM_LAE于点M,则AM=2AE=2

AM1_2_V6

在RsAMO中，OA=COSNEA0=2+V^=4...(9分)

【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的

长.

7.（2016•黑龙江哈尔滨•10分）已知：ZkABC内接于。0,D是上一点，ODJ_BC,垂足

为H.

（1）如图1,当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；

（2）如图2,当圆心0在△ABC外部时，连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证：

NACD=/APB；

（3）在（2）的条件下，如图3,连接BD,E为。0上一点，连接DE交BC于点Q、交

AB于点N,连接OE,BF为OO的弦，BF_LOE于点R交DE于点G,若NACD-

ZABD=2ZBDN,AC=5爬,BN=3&,tan/ABC卷，求BF的

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）OD，”BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；

（2）由垂径定理可知：BD=CD-物以NBAD=/CAD,由因为NABC=NADC,所以

/ACD=/APB；

（3）由NACD-ZABD=2ZBDN可知NAND=90。，由tan/ABC卷可知NQ和BQ的长

度，再由BFJ_OE和ODJ_BC可知NGBN=NABC,所以BG=BQ,连接AO并延长交（DO

于点I,连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x,利用勾股定理可求出

QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan/OED=£即可求得RG

的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度.

【解答】解：（1）VOD1BC,

由垂径定理可知：点H是BC的中点，

•••点O是AB的中点，

AOH是AABC的中位线，

.,.AC=2OH；

（2）VOD1BC,

:.由垂径定理可知：而二而，

・・・NBAD=NCAD,

•・•AC二AO

.\ZABC=ZADC,

・・・180°-ZBAD-ZABC=180°-ZCAD-ZADC,

AZACD=ZAPB,

(3)连接AO延长交于。O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,

ZACD-ZABD=2ZBDN,

JZACD-NBDN=NABD+NBDN,

•・•ZABD+ZBDN=ZAND,

/.ZACD-ZBDN=ZAND,

VZACD+ZABD=180°,

.\ZABD+ZBDN=180°-ZAND,

AZAND=180°-ZAND,

.*.ZAND=90o,

VtanZABC=y,BN=3娓，

・・.NQ=^^,

2

・・・由勾股定理可求得：BQ二空，

VZBNQ=ZQHD=90°,

/.ZABC=ZQDH,

VOE=OD,

/.ZOED=ZQDH,

/ERG=90。，

.\ZOED=ZGBN,

AZGBN=ZABC,

VABIED,

・・・BG=BQ二学,GN=NQ=^^,

VAI是。O直径，

・・ZACI=90°,

tanZAIC=tanZABC=—,

2

.AC1

；.IC=10旄，

由勾股定理可求得：AI=25,

连接OB,

设QH=x,

VtanZABC=tanZODE=—,

2

.QH1

••—，

HD2

；.HD=2x,

9R

.\OH=OD-HD=—-2x,

2

15

BH=BQ+QH=x,

~2

由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2,

（争2=（J^-+x）2+（学-2x）2,

解得：X=1-或x],

当QH=-|4Fj-,

.*.QD=7gQH--^^,

/.ND=QD+NQ=6娓，

，MN=3遥，MD=15

,•*MD>—,

2

.••QH=?不符合题意，舍去，

当弥=抑

.­.QD=VgQH=1V5

；.ND=NQ+QD=4代，

由垂径定理可求得：ED=10A/5,

AGD=GN+ND=

，EG=ED-GD=y/5,

VtanZOED=—,

2

.RG1

••—f

ER2

EG=A/^RG)

g

.・・RG*

2

，BR=RG+BG=12

六由垂径定理可知：BF=2BR=24.

/B

（图3）

8.（2016河北）（本小题满分10分）

如图，半圆。的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径，向点。方向作半圆M,其中P点在

AQ（弧）上且不与A点重合，但。点可与8点重合.

发现AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值/,求/；

思考点M与AB的最大距离为,此时点P,A间的距离为；点M与AB的

最小距离为,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为.

探究当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.

第25题图备用图

解析：图画好，就好求。最大距离就是OM,当OMJ_AB时，利用角和边的关系，AAOP

是等边三角形，点"与48的最小距离，Q与B重合，面积，扇形减三角形。

相切，两种情况，左边和右边，对称的，画好图，根据cos35。=逅，cos55。=立,

33

以及已知角，求所需要的角。

知识点：圆

25.解：发现连结。P,OQ,则。尸=。。=尸0=2.

ZPOQ=60°.：.丽的长2K

T

,,1,27147t

..I=—n-4=——2分

233

思考打2立£-3

6分

264

探究半圆M与Z8相切，分两种情况:

①如图I,半圆M与4。切丁点71时，连结尸O,MO,TM.

则MTU。，OMLPQ.

在R3QM中，sinZPOA/=-,

2

二ZPOM=30°.....................................................7分

在RtZXTOM'中，TO=yJ^j2-l2=>/2.

cosZAOM=远

即乙40"=35°.