2021-2022学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）（解析版）

2021-2022学年上海市长宁区九年级第一学期期末数学试卷（一

模）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（每题只有一个正确选项，在答题纸

相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）

1.已知在△ABC中，ZC=90°,ZA=a,AB=c,那么BC的长为（）

A.c*sinaB.cetanaC.----------D.cecota

cosa

2.如果向量W与向量E方向相反，且3|』=后1，那么向量Z用向量E表示为（）

-»-»-»-•f1-*f1-*

ABc

-a=3b-a=-3b-a=ybD.a=^-b

3.如图，已知〃跖，AD：A尸=3：5,BE=12,那么CE的长等于（）

一55

4.抛物线y=ax2+6x+c（其中。>0、b<0、c>0）一定不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.下列命题中，说法正确的是（）

A.所有菱形都相似

B.两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍

D.斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

6.如图，点E是线段BC的中点，NB=NC=NAED,下列结论中，说法错误的是（）

A.ZVIBE与△EC£>相似B./XABE与△AED相似

C.—D./BAE=/ADE

AEAD

二、填空题（本大题共12题，每瓶4分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直

接填写答案】

7.已知三皇，那么上红的值为

8.抛物线y=2x2-1的顶点坐标是.

9.在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为千米.

10.已知点C是线段A8的黄金分割点，如果AOBC,BC=2,贝|AC=.

11.如果两个相似三角形周长之比为3：2,那么这两个三角形的面积之比为.

12.点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与A8边交于点E,与AC边交于点F

则黑=

BC------

13.如图，小明沿着坡度z,=l：2.4的坡面由2到A直行走了13米时，他上升的高度AC=

14.已知抛物线>="2+法-2（出;>0）与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抽物线

于点8,若A8=2,则点8坐标为.

15.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十

步有木，出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G

分别是AD和A8的中点，EFLAD,EF=30,GH±AB,GH=15Q,且即过点A,

2

16.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,tanZBAC=—,CD是斜边AB上的中线，点、E

2

是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED,若EC，C。，NEAC=NB,则甘®■的值

SAABC

为_______

17.定义：在△ABC中，点。和点E分别在AB边、AC边上，S.DE//BC,点。、点E之

间距离与直线。E与直线BC间的距离之比称为QE关于8C的横纵比.已知，在AABC

中，BC=4,BC上的高长为3,OE关于BC的横纵比为2：3,则。E=.

18.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=3,点。、E分别在AC边和AB边上，沿

着直线翻折△ADE,点A落在BC边上，记为点R如果CP=1,贝UBE=

三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位

置上】

2sin600-tan450

19.计算：cot30°

sin300+cos2450

20.抛物线y=-N+bx+c经过点A(0,3),B(-1,0).

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标.

（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程

是,平移后的抛物线表达式是.

21.如图，在梯形A8CD中，AB//CD,且AB：C£）=3：2,点E是边CD的中点，联结BE

交对角线AC于点E若筋=7，AD=n-

（1）用n、n表不AC、AF;

（2）求作而在正、正方向上的分向量.

(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)

22.如图，某种路灯灯柱垂直于地面，与灯杆A2相连.已知直线AB与直线的夹角

是76°,在地面点。处测得点A的仰角是53°,点8仰角是45°,点A与点。之间的

距离为3.5米.

求：(1)点A到地面的距离；

(2)48的长度.(精确到0.1米)

(参考数据：sin53°-0.8,cos53°-0.6,sin76°=0.97,cos76°—0.24)

23.如图，线段2。是△ABC的角平分线，点E、点厂分别在线段AC的延长线上,

联结AE、BF,^.AB-BD=BC'BE.

(1)求证：AD=AE；

(2)如果8尸=。尸，求证：AF-CD=AE-DF.

24.抛物线>="2+2。龙+。与x轴相交于A、8两点(点A在点8左侧),与y轴交于点C

(0,3),其顶点。的纵坐标为4.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求NAC8的正切值；

(3)点尸在线段C5的延长线上，且NA尸求。尸的长.

孙

1-

_।।।।।।,

~01x

25.已知，在△ABC中，AB=AC=5f3C=8,点E是射线CA上的动点，点。是边3c上

的动点，且OC=OE,射线OE交射线5A于点D

(1)如图，如果OC=2,求迪的值；

^AODB

(2)联结AO,如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；

(3)当点E在边AC上时，联结BE、CD,ZDBE=ZCDO,求线段OC的长.

备用图备用图

参考答案

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（每题只有一个正确选项，在答题纸

相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）

1.已知在△ABC中，ZC=90°,ZA=a,AB=c,那么的长为（）

c

A.cesinaB.cetanaC.----------D.c*cota

cosa

【分析】根据锐角三角函数的正弦值计算即可.

解：在RtZXABC中，sinA=—,

AB

BC=c*sina

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切

是解题的关键.

2.如果向量Z与向量E方向相反，且3|口=后|,那么向量;用向量E表示为（）

一———f1-*f1-*

A・=3bB.=-3bC.at\rb

aaoo

【分析】由向量■；与向量E方向相反，且3|』=£1，可得；==总继而求得答案.

解：,.响量之与向量E方向相反，且31』=后

,',3a=-b-

.-17

..ap

故选：D.

【点评】此题考查了平面向量的知识.注意根据题意得到3彳=-三是解此题的关键.

3.如图，已知AB〃CO〃ERAD：AF=3：5,BE=12,那么CE的长等于（）

A.2B.424

~5

【分析】根据平行线分线段成比例得到怨=巽，即当■=¥!，可计算出BC,然后利用

AFBE512

CE=BE-BC进行1计算.

9

解：：AB//CD//EFf

.ADBC0n3BC

AFBE512

：.CE=BE-BC=\2--.

55

故选：c.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

4.抛物线y=ax2+6x+c（其中。>0、b<0、c>0）一定不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据已知条件“。>0,b<0,c>0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y

轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限.

解：①：a>0、c>0,

该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；

②：a>0,b<0,

.•.二次函数>=62+次+。的函数图象的对称轴是直线x=-餐>0,

二次函数y=ox2+®+c的函数图象的对称轴在第一象限；

综合①②，二次函数>=。尤2+法+<?的图象一定不经过第三象限.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.根据二次函数y^ax^+bx+c系数符号判

断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数.

5.下列命题中，说法正确的是（）

A.所有菱形都相似

B.两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍

D.斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

【分析】利用菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判

断后即可确定正确的选项.

解：4所有的菱形不相似，故错误，不符合题意；

8、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；

C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意;

。、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、相似三角形的判定

方法、三角形的重心的性质等知识，难度不大.

6.如图，点E是线段BC的中点，/B=/C=/AED,下列结论中，说法错误的是（）

A.△ABE与相似B.△ABE与相似

ARAF

C.—D.NBAE=/ADE

AEAD

【分析】证明△BAES2XCEZ),AABE^AAED,可得结论.

解：,；/AEC=/AED+DEC=/B+/BAE,NB=NAED,

：.ZDEC=/BAE,

:ABAEsXCED,

.AB=AE

••瓦―西

；BE=CE,

.AB=AE

'■一应’

.AB=BE

"AE-DE，

•；NB=ZAED,

：.AABE^^AED,

.AB=AE

'*AE-AD，

故选项A,B,C正确，

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形

解决问题.

二、填空题（本大题共12题，每顽4分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直

接填写答案】

7.已知三皇，那么正的值为3.

y2x+y一

【分析】由已知可得y=2x,代入所求的代数式可得答案.

解：：W型，

y2

.\y=2x,

・_2x_=_2x_=_2

**x+yx+2x3

故答案为：

o

【点评】本题考查比例的基本性质，根据已知得到y=2r是解题关键.

8.抛物线丫=2炉-1的顶点坐标是（0,-1）.

【分析】利用顶点坐标公式直接求解.

解：根据顶点坐标公式，

得顶点横坐标为天=--^=0,

2a

纵坐标为y=4ac-b.=-1,即（0,-1）.

4a

【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法.

9.在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为0.5千米.

【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离.

解：根据：比例尺=图上距离：实际距离，

设两地实际距离为无厘米，得：1：10000=5：x,

相距5厘米的两地的实际距离是5X10000=50000（厘米）=0.5（千米），

故答案为：05

【点评】本题考查了比例线段.能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换.

10.已知点C是线段A8的黄金分割点，如果ACABC,BC=2,则AC=«+1.

【分析】先根据黄金比值为逅工求出A3与AC的关系，再列式计算即可.

2

解：：点C是线段A8的黄金分割点，AOBC,BC=2,

：.AC~在“AB,

2

'：AB-AC=BC,

：.AB-卬5-1AB=2,

2

解得：AB=3+泥，

则AC=AB-BC=J^+1,

故答案为：

【点评】本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为痣二是解题的关键.

2

11.如果两个相似三角形周长之比为3：2,那么这两个三角形的面积之比为9：4.

【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的

面积比等于相似比的平方，由此得解.

解：•••两个相似三角形的周长之比为3：2,

...它们的相似比为3：2,

它们的面积比为9：4,

故答案为:9：4.

【点评】此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等

于相似比的平方.

12.点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与A8边交于点E,与AC边交于点F

【分析】连接AG交于点。，由斯〃BC,可得当■=《=,又由G是△ABC的重心,

ADBD

可得里=答，再由。是BC的中点，可得黑=•1.

AD3BC3

解：连接AG交8C于点。，

\'EF//BC,

.AG=EG

"AD-BD，

：G是△ABC的重心,

.AG2

••，

AD3

•••。是中点，

,EG=EF

,•丽―而‘

.EF_2

••'，

BC3

故答案为：

o

【点评】本题考查三角形重心定理，熟练掌握三角形重心定理，灵活应用平行线的性质

是解题的关键.

13.如图，小明沿着坡度i=l：2.4的坡面由8到A直行走了13米时，他上升的高度AC=

【分析】由坡度易得AC与8c的比为1：2.4,设出相应未知数，利用勾股定理可得AC

的长度.

解：••,坡度=1：2.4,

与2C的比为1：2.4,

设4。=尤米，则BC—2AX米，

由勾股定理，得N+(2.4x)2=132.

解得x=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键.

14.已知抛物线y=a尤2+反-2(°6>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抽物线

于点8,若AB=2,则点8坐标为（2,-2）.

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标，进而再根据抛物线的对称性求出点B坐标.

解：：^二加+加；-2（ab>0）与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抽物线于点8,

：.A（0,-2）,A、8关于对称轴对称，

•：AB=2,

...点3坐标为（2,-2）,

故答案为：（2,-2）.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的

对称性是解题的关键.

15.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十

步有木，出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如图，正方形48。中，F、G

分别是AO和的中点，EFLAD,EF=33GH1AB,GH=750,且EH过点A,

那么正方形ABCZ）的边长为300.

【分析】根据题意，可知从而可以得到对应边的比相等，从而可以求

得正方形的边长.

解：：尸、G分别是和A8的中点，AD=AB,

：.AF=—AD,AG=—AB,

22

：.AF=AG,

由题意可得，△AEFsLHAG,

.FE=AF

,•瓦一而‘

即A产=30X750=22500,

解得：A尸=150,

：.AD=2AF=300

故答案是：300.

【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明

确题意.利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答.

16.如图，在RtZsABC中，ZACB=90°,tanZBAC=—,CD是斜边AB上的中线，点E

2

是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED,若ECLCZ),ZEAC=ZB,则誓更■的值为

SAABC

13

【分析】先由NEC£)=/ACB=90°,得出/ECA=NBC。，又NEAC=/B,根据两角

对应相等的两三角形相似得出△ACES^BC。，再由相似三角形的对应边成比例得出

CE：CD=AC：BC,即CD：BC=CE：AC,y.ZECD=ZACB,根据两边对应成比例且

夹角相等的两三角形相似得出由tanZBAC=p根据正切函数的定义

设BC=3k,则AC=2k,由勾股定理求出AB=^k,再根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半得出CD=运鼠然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求

2

解.

解：-ECLCD,

：.ZECD=ZACB=90°,

ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,

即NEC4=NBCO,

又・・・NEAC=N3,

・•・AACESABCD,

：.CE：CD=AC：BC,

ACD：BC=CE：AC.

.,.△CDEsACBA；,

在直角△ABC中，VZACB=90°,tanZBAC=—=—,

AC2

可设BC=3上则AC=2Z,

•1­AB=VBC2+AC2=

:点。是斜边AB的中点，

.,.CD=LB=义亘左.

22

,:ACDEsACBA,

...S^CDE—（CD）2=k）2—13

S

ACBACBgk36

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函

数的定义，有一定难度.（1）中证明出根据相似三角形的对应边成比

例得出CDBC=CE：AC是解题的关键.

17.定义：在△A8C中，点。和点E分别在AB边、AC边上，S.DE//BC,点。、点E之

间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为。E关于8C的横纵比.已知，在AABC

中，BC=4,3c上的局长为3,OE关于8C的横纵比为2：3,则。E=《.

一3一

【分析】先证明△ABCS^ADE,由相似三角形的性质可求解.

解：••♦OE关于8c的横纵比为2：3,

，设点。、点E之间距离为2x,直线。E与直线BC间的距离为3x,DE//BC,

：.AABCSLADE,

.2x_3-3x

••，

43

._2

••x---,

3

4

：.DE=2x=—,

3

故答案为：M.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的

关键.

18.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=3,点。、E分别在AC边和AB边上，沿

着直线OE翻折△的＞£,点A落在2C边上，记为点忆如果CB=1,则BE=上叵

—4―

【分析】过尸作FGL43于点G.先求出42=3血，BF=3-1=2.贝U八7=33=浮2尸

=近,所以AG=A8-8G=3«-y=2&,设AE=x,贝|跖=无，EG=2®-x,在

心△EGF中，EG+F（?=EF,利用勾股定理解列出（2血-尤）2+（加）2=x2,解得x

即求出BE.

解：过/作FGLA8于点G.

VZC=90°,AC=BC=3,CF=\,

：.AB=3近,BF=3-1=2.

：.FG=GB=^-BF=-/2,

J.AG=AB-BG=3舵-&=2&,

设AE=x,贝ij£P=x,EG=2版-x,

在RtZiEGF中，

EG2+FG2=EF2,

即（2«-尤）2+（衣）』炉，

解得x=^\[2,

：.BE=AB-AE=3&-

44

故答案为：

4

A

【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾

股定理，属于中考常考题型.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位

置上】

2sin600-tan450

19.计算：cot30°

sin300+cos2450

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.

2sin600-tan450

解：cot30°

sin300+cos2450

9X--1

=«-(我-1)

=1.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

20.抛物线y=-N+bx+c经过点A(0,3),B(-1,0).

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标.

(2)填空:如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是向

左平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后的抛物线表达式是丫=-炉+3.

【分析】(1)把A(0,3),8(-1,0)代入y=-N+bx+c即可得抛物线的表达式为

》=_/+2无+3,配成顶点式即得其顶点坐标；

(2)由顶点的位置关系即可得平移过程，根据平移后顶点坐标即可得表达式.

解：(1)把A(0,3),B(-1,0)代入y=-N+bx+c得：

(C=3，解得『J,

I-l-b+c=0Ic=3

・・・抛物线的表达式为y=-N+2X+3,

■/y=-x2+2x+3--（尤-1）2+4,

，抛物线的顶点是（1,4）；

（2）:抛物线的顶点是（1,4）,A（0,3）,

•••将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，平移的过程是向左平移1个单位，再

向下平移1个单位，

:平移后抛物线形状、大小不变，

平移后的抛物线表达式是y=-x2+3,

故答案为：向作平移1个单位，再向下平移1个单位，y=-N+3.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用待定系数法求二次函数的解析式等知

识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键.

21.如图，在梯形A8CD中，AB//CD,且AB：CD=3：2,点E是边CD的中点，联结BE

交对角线AC于点尸,若屈=不，AD=n-

（1）用ipn表示AC'AF;

（2）求作BF在裾、正方向上的分向量.

（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可.

（2）利用平行四边形法则作出图形即可.

解：⑴VAB：CD=3：2,

2

：.CD=—AB,

3

o

AC=AD+DC=n+-|n'

：.DE=EC,CE//AB,

.CF=EC=2

,,市一访—1

：.AF=^-AC,

4

.—*—3z-•2_3-•1-♦

••AF=4（n+§ir）=^n+yn-

（2）如图，而在市、前方向上的分向量分别为而，BQ.

A

【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行

四边形法则，属于中考常考题型.

22.如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆相连.已知直线AB与直线BC的夹角

是76°,在地面点。处测得点A的仰角是53°,点8仰角是45°,点A与点。之间的

距离为3.5米.

求：（1）点A到地面的距离；

（2）AB的长度.（精确到0.1米）

（参考数据:sin53°-0.8,cos53°20.6,sin76°仁0.97,cos76°-0.24）

【分析】（1）要求点A到地面的距离，所以过点A作AFLCD,垂足为R然后放在直

角三角形APZ）中即可解答；

（2）要求A8的长度，需要把48放在直角三角形中，所以过点A作AGJ_EC,垂足为

G,在Rt^AED中，求出。尸的长，然后设C尸为x,用x表示AG,BG的长，再用76°

的正切值求出尤，最后求出A8即可.

解：（1）过点A作AFLCO,垂足为R

在RtZXAF。中，AF=ADsm530=3.5义0.8=2.8米,

答：点A到地面的距离为2.8米；

(2)过点A作AGLEC,垂足为G,

则AF=GC,AG^CF,

在RtzXAFD中，DF=ADcos53°=3.5X0.6=2.1米,

设C尸为x米，则C。为(2.1+无)米,

在RtZYBC。中，BC=CDtan450=（2.1+无）米,

.,.GB=GC-8C=2.8-（2.1+无）=（0.7-%）米，

S11lf0.97_97

在RtZXAGB中，tan76°=-：

cos760.24=24

AG

tan76°

BG

x=97

0.7-x=24

解得：40.56,

CF—AG—0.56米,

0.56

心0.6米.

【点评】本题考查了解直角三角形得应用一仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

23.如图，线段BD是Z\ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上,

联结AE、BF,S.AB-BD=BC-BE.

(1)求证：AD=AE；

(2)如果8歹=。尸，求证：AF・CD=AE,DF.

B

【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明△ABEs^CB。，得NBDC=/AEB,从

而证明贝UA£)=AE；

(2)利用三角形外角的性质证明NBAFn/PBC,证明得此厚，则

AFBF

(.AF-AD)・DF=AF,CF,进行化简即可.

【解答】证明：(1)是△A8C的角平分线，

/.NABE=/CBD,

'：AB-BD=BC'BE,

.ABBE

••=，

BCBD

・・・AABEsdCBD,

：.NBDC=/AEB,

・・•ZBDC=/ADE,

・•・/AEB=NADE,

：.AD=AE；

(2)・：BF=DF,

：.ZBDF=ZFBD,

・・・ZBDF=ZBAF+ZABD,ZFBD=NDBC+/CBF,

：.ZBAF+ZABD=NDBC+/CBF,

•・•/ABD=NCBD,

：.ZBAF=ZFBC,

・・・NBFC=/AFB,

,BFCF

••~,

AFBF

J.B^AF'CF,

■:DF=BF,

:.DSAFUF,

9

：DF=AF-ADf

：.(AF-AD)・DF=AF・CF,

C.AF-DF-AD-DF=AF-CF9

：.AF*DF-AF・CF=AD・DF,

AAF-QDF-CF)=AD・DF,

•；DF-CF=CD,AD=AE,

：.AF^CD=AE^DF.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的

性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键.

24.抛物线丁=以2+2〃X+。与％轴相交于A、5两点(点A在点5左侧)，与y轴交于点C

(0,3),其顶点。的纵坐标为4.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求NACB的正切值；

(3)点尸在线段的延长线上，且NA尸。=/八45,求C尸的长.

1-

_।i।।।i1

~01x

【分析】(1)根据对称轴公式：X=-与可得对称轴是：x=-1,得。(-1,4),根

2a

据顶点式可设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+4,把(0,3)代入可得结论；

(2)如图1,构建直角三角形，计算AM和CM的长，根据正切的定义可得结论；

(3)根据正切相等可得所以得AC=AR根据两点的距离公式列方程

可得结论.

解：(1)：y=ax?+lax+c,

.,.对称轴是：x=--z--=_1，

2a

顶点D的坐标为(T,4),

设抛物线的解析式为：(龙+1)2+4,

把(0,3)代入得：0+4=3,

•*11,

.••抛物线的解析式为：y=-(x+1)2+4=-》2_2X+3；

(2)如图1,过点A作AML8C于

当y=0时，-X2-2X+3=0,

解得：尤1=-3,X2=l,

(-3,0),B(1,0),

.*.48=3+1=4,BC=^32+l2=Vl0>AC=3^,

SAABC=—AB-OC=-BC'AM,

22

•••yX4X3=1XVIQAM,

；.4/=殳叵，

5

=22=

由勾股定理得:CMVAC-AMJ(3V2)2-(-T^-)2=

V3J

tanZACB=-^-=——^=^=2

CM3V10

5

(3)如图2,VtanZACB=2,tanZDAB=—=—=2

AM2

,?ZDAB=ZAFC,

：.ZACB=ZAFCf

：.AC=AF,

设8C的解析式为：y=kx+b,

(b=3

则

lk+b=O

(k=-3

解得:

lb=3

.•.2C的解析式为:y=-3x+3,

设F-3/71+3),

(3，^)2=(ZM+3)2+(-3m+3)2,

解得：租1=0（舍），/«2=£,

5

：.F搭,

••.b=Je）2+（《一3）2=警

【点评】本