2021-2022学年上海市长宁区九年级(上)期末数学试卷(一模)(解析版)_第1页
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文档简介

2021-2022学年上海市长宁区九年级第一学期期末数学试卷(一

模)

一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)(每题只有一个正确选项,在答题纸

相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂)

1.已知在△ABC中,ZC=90°,ZA=a,AB=c,那么BC的长为()

A.c*sinaB.cetanaC.----------D.cecota

cosa

2.如果向量W与向量E方向相反,且3|』=后1,那么向量Z用向量E表示为()

-»-»-»-•f1-*f1-*

ABc

-a=3b-a=-3b-a=ybD.a=^-b

3.如图,已知〃跖,AD:A尸=3:5,BE=12,那么CE的长等于()

一55

4.抛物线y=ax2+6x+c(其中。>0、b<0、c>0)一定不经过的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.下列命题中,说法正确的是()

A.所有菱形都相似

B.两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C.三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边距离的两倍

D.斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似

6.如图,点E是线段BC的中点,NB=NC=NAED,下列结论中,说法错误的是()

A.ZVIBE与△EC£>相似B./XABE与△AED相似

C.—D./BAE=/ADE

AEAD

二、填空题(本大题共12题,每瓶4分,满分36分)【在答题纸相应题号后的空格内直

接填写答案】

7.已知三皇,那么上红的值为

8.抛物线y=2x2-1的顶点坐标是.

9.在比例尺为1:10000的地图上,相距5厘米的两地实际距离为千米.

10.已知点C是线段A8的黄金分割点,如果AOBC,BC=2,贝|AC=.

11.如果两个相似三角形周长之比为3:2,那么这两个三角形的面积之比为.

12.点G是△ABC的重心,过点G作BC边的平行线与A8边交于点E,与AC边交于点F

则黑=

BC------

13.如图,小明沿着坡度z,=l:2.4的坡面由2到A直行走了13米时,他上升的高度AC=

14.已知抛物线>="2+法-2(出;>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抽物线

于点8,若A8=2,则点8坐标为.

15.我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十

步有木,出西门七百五十步有木.问邑方几何?”示意图如图,正方形ABCD中,F、G

分别是AD和A8的中点,EFLAD,EF=30,GH±AB,GH=15Q,且即过点A,

2

16.如图,在RtZkABC中,ZACB=90°,tanZBAC=—,CD是斜边AB上的中线,点、E

2

是直线AC左侧一点,联结AE、CE、ED,若EC,C。,NEAC=NB,则甘®■的值

SAABC

为_______

17.定义:在△ABC中,点。和点E分别在AB边、AC边上,S.DE//BC,点。、点E之

间距离与直线。E与直线BC间的距离之比称为QE关于8C的横纵比.已知,在AABC

中,BC=4,BC上的高长为3,OE关于BC的横纵比为2:3,则。E=.

18.如图,在△ABC中,ZC=90°,AC=BC=3,点。、E分别在AC边和AB边上,沿

着直线翻折△ADE,点A落在BC边上,记为点R如果CP=1,贝UBE=

三、解答题(本大题共7题,满分78分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位

置上】

2sin600-tan450

19.计算:cot30°

sin300+cos2450

20.抛物线y=-N+bx+c经过点A(0,3),B(-1,0).

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标.

(2)填空:如果将该抛物线平移,使它的顶点移到点A的位置,那么其平移的过程

是,平移后的抛物线表达式是.

21.如图,在梯形A8CD中,AB//CD,且AB:C£)=3:2,点E是边CD的中点,联结BE

交对角线AC于点E若筋=7,AD=n-

(1)用n、n表不AC、AF;

(2)求作而在正、正方向上的分向量.

(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并指出所作图中表示结论的分向量)

22.如图,某种路灯灯柱垂直于地面,与灯杆A2相连.已知直线AB与直线的夹角

是76°,在地面点。处测得点A的仰角是53°,点8仰角是45°,点A与点。之间的

距离为3.5米.

求:(1)点A到地面的距离;

(2)48的长度.(精确到0.1米)

(参考数据:sin53°-0.8,cos53°-0.6,sin76°=0.97,cos76°—0.24)

23.如图,线段2。是△ABC的角平分线,点E、点厂分别在线段AC的延长线上,

联结AE、BF,^.AB-BD=BC'BE.

(1)求证:AD=AE;

(2)如果8尸=。尸,求证:AF-CD=AE-DF.

24.抛物线>="2+2。龙+。与x轴相交于A、8两点(点A在点8左侧),与y轴交于点C

(0,3),其顶点。的纵坐标为4.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)求NAC8的正切值;

(3)点尸在线段C5的延长线上,且NA尸求。尸的长.

1-

_।।।।।।,

~01x

25.已知,在△ABC中,AB=AC=5f3C=8,点E是射线CA上的动点,点。是边3c上

的动点,且OC=OE,射线OE交射线5A于点D

(1)如图,如果OC=2,求迪的值;

^AODB

(2)联结AO,如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形,求线段OC的长;

(3)当点E在边AC上时,联结BE、CD,ZDBE=ZCDO,求线段OC的长.

备用图备用图

参考答案

一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)(每题只有一个正确选项,在答题纸

相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂)

1.已知在△ABC中,ZC=90°,ZA=a,AB=c,那么的长为()

c

A.cesinaB.cetanaC.----------D.c*cota

cosa

【分析】根据锐角三角函数的正弦值计算即可.

解:在RtZXABC中,sinA=—,

AB

BC=c*sina

故选:A.

【点评】本题考查了解直角三角形,熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦,余弦,正切

是解题的关键.

2.如果向量Z与向量E方向相反,且3|口=后|,那么向量;用向量E表示为()

一———f1-*f1-*

A・=3bB.=-3bC.at\rb

aaoo

【分析】由向量■;与向量E方向相反,且3|』=£1,可得;==总继而求得答案.

解:,.响量之与向量E方向相反,且31』=后

,',3a=-b-

.-17

..ap

故选:D.

【点评】此题考查了平面向量的知识.注意根据题意得到3彳=-三是解此题的关键.

3.如图,已知AB〃CO〃ERAD:AF=3:5,BE=12,那么CE的长等于()

A.2B.424

~5

【分析】根据平行线分线段成比例得到怨=巽,即当■=¥!,可计算出BC,然后利用

AFBE512

CE=BE-BC进行1计算.

9

解::AB//CD//EFf

.ADBC0n3BC

AFBE512

:.CE=BE-BC=\2--.

55

故选:c.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成

比例.

4.抛物线y=ax2+6x+c(其中。>0、b<0、c>0)一定不经过的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据已知条件“。>0,b<0,c>0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y

轴的交点、对称轴所在的位置,然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限.

解:①:a>0、c>0,

该抛物线开口方向向上,且与y轴交于正半轴;

②:a>0,b<0,

.•.二次函数>=62+次+。的函数图象的对称轴是直线x=-餐>0,

二次函数y=ox2+®+c的函数图象的对称轴在第一象限;

综合①②,二次函数>=。尤2+法+<?的图象一定不经过第三象限.

故选:C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.根据二次函数y^ax^+bx+c系数符号判

断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数.

5.下列命题中,说法正确的是()

A.所有菱形都相似

B.两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C.三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边距离的两倍

D.斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似

【分析】利用菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判

断后即可确定正确的选项.

解:4所有的菱形不相似,故错误,不符合题意;

8、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,故错误,不符合题意;

C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,故错误,不符合题意;

。、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的,故该选项正确,符合题意;

故选:D.

【点评】考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解菱形的性质、相似三角形的判定

方法、三角形的重心的性质等知识,难度不大.

6.如图,点E是线段BC的中点,/B=/C=/AED,下列结论中,说法错误的是()

A.△ABE与相似B.△ABE与相似

ARAF

C.—D.NBAE=/ADE

AEAD

【分析】证明△BAES2XCEZ),AABE^AAED,可得结论.

解:,;/AEC=/AED+DEC=/B+/BAE,NB=NAED,

:.ZDEC=/BAE,

:ABAEsXCED,

.AB=AE

••瓦―西

;BE=CE,

.AB=AE

'■一应’

.AB=BE

"AE-DE,

•;NB=ZAED,

:.AABE^^AED,

.AB=AE

'*AE-AD,

故选项A,B,C正确,

故选:D.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形

解决问题.

二、填空题(本大题共12题,每顽4分,满分36分)【在答题纸相应题号后的空格内直

接填写答案】

7.已知三皇,那么正的值为3.

y2x+y一

【分析】由已知可得y=2x,代入所求的代数式可得答案.

解::W型,

y2

.\y=2x,

・_2x_=_2x_=_2

**x+yx+2x3

故答案为:

o

【点评】本题考查比例的基本性质,根据已知得到y=2r是解题关键.

8.抛物线丫=2炉-1的顶点坐标是(0,-1).

【分析】利用顶点坐标公式直接求解.

解:根据顶点坐标公式,

得顶点横坐标为天=--^=0,

2a

纵坐标为y=4ac-b.=-1,即(0,-1).

4a

【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法.

9.在比例尺为1:10000的地图上,相距5厘米的两地实际距离为0.5千米.

【分析】比例尺=图上距离:实际距离,根据题意列出等式即可得出实际的距离.

解:根据:比例尺=图上距离:实际距离,

设两地实际距离为无厘米,得:1:10000=5:x,

相距5厘米的两地的实际距离是5X10000=50000(厘米)=0.5(千米),

故答案为:05

【点评】本题考查了比例线段.能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的转换.

10.已知点C是线段A8的黄金分割点,如果ACABC,BC=2,则AC=«+1.

【分析】先根据黄金比值为逅工求出A3与AC的关系,再列式计算即可.

2

解::点C是线段A8的黄金分割点,AOBC,BC=2,

:.AC~在“AB,

2

':AB-AC=BC,

:.AB-卬5-1AB=2,

2

解得:AB=3+泥,

则AC=AB-BC=J^+1,

故答案为:

【点评】本题考查的是黄金分割,熟记黄金比值为痣二是解题的关键.

2

11.如果两个相似三角形周长之比为3:2,那么这两个三角形的面积之比为9:4.

【分析】已知了两个相似三角形的周长比,即可得到它们的相似比,由于相似三角形的

面积比等于相似比的平方,由此得解.

解:•••两个相似三角形的周长之比为3:2,

...它们的相似比为3:2,

它们的面积比为9:4,

故答案为:9:4.

【点评】此题考查的是相似三角形的性质:相似三角形的周长比等于相似比,面积比等

于相似比的平方.

12.点G是△ABC的重心,过点G作BC边的平行线与A8边交于点E,与AC边交于点F

【分析】连接AG交于点。,由斯〃BC,可得当■=《=,又由G是△ABC的重心,

ADBD

可得里=答,再由。是BC的中点,可得黑=•1.

AD3BC3

解:连接AG交8C于点。,

\'EF//BC,

.AG=EG

"AD-BD,

:G是△ABC的重心,

.AG2

••,

AD3

•••。是中点,

,EG=EF

,•丽―而‘

.EF_2

••',

BC3

故答案为:

o

【点评】本题考查三角形重心定理,熟练掌握三角形重心定理,灵活应用平行线的性质

是解题的关键.

13.如图,小明沿着坡度i=l:2.4的坡面由8到A直行走了13米时,他上升的高度AC=

【分析】由坡度易得AC与8c的比为1:2.4,设出相应未知数,利用勾股定理可得AC

的长度.

解:••,坡度=1:2.4,

与2C的比为1:2.4,

设4。=尤米,则BC—2AX米,

由勾股定理,得N+(2.4x)2=132.

解得x=5.

故答案为:5.

【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理;理解坡度的意义是解决本题的关键.

14.已知抛物线y=a尤2+反-2(°6>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抽物线

于点8,若AB=2,则点8坐标为(2,-2).

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标,进而再根据抛物线的对称性求出点B坐标.

解::^二加+加;-2(ab>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抽物线于点8,

:.A(0,-2),A、8关于对称轴对称,

•:AB=2,

...点3坐标为(2,-2),

故答案为:(2,-2).

【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数的

对称性是解题的关键.

15.我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十

步有木,出西门七百五十步有木.问邑方几何?”示意图如图,正方形48。中,F、G

分别是AO和的中点,EFLAD,EF=33GH1AB,GH=750,且EH过点A,

那么正方形ABCZ)的边长为300.

【分析】根据题意,可知从而可以得到对应边的比相等,从而可以求

得正方形的边长.

解::尸、G分别是和A8的中点,AD=AB,

:.AF=—AD,AG=—AB,

22

:.AF=AG,

由题意可得,△AEFsLHAG,

.FE=AF

,•瓦一而‘

即A产=30X750=22500,

解得:A尸=150,

:.AD=2AF=300

故答案是:300.

【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质,解答本题的关键是明

确题意.利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答.

16.如图,在RtZsABC中,ZACB=90°,tanZBAC=—,CD是斜边AB上的中线,点E

2

是直线AC左侧一点,联结AE、CE、ED,若ECLCZ),ZEAC=ZB,则誓更■的值为

SAABC

13

【分析】先由NEC£)=/ACB=90°,得出/ECA=NBC。,又NEAC=/B,根据两角

对应相等的两三角形相似得出△ACES^BC。,再由相似三角形的对应边成比例得出

CE:CD=AC:BC,即CD:BC=CE:AC,y.ZECD=ZACB,根据两边对应成比例且

夹角相等的两三角形相似得出由tanZBAC=p根据正切函数的定义

设BC=3k,则AC=2k,由勾股定理求出AB=^k,再根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半得出CD=运鼠然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求

2

解.

解:-ECLCD,

:.ZECD=ZACB=90°,

ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,

即NEC4=NBCO,

又・・・NEAC=N3,

・•・AACESABCD,

:.CE:CD=AC:BC,

ACD:BC=CE:AC.

.,.△CDEsACBA;,

在直角△ABC中,VZACB=90°,tanZBAC=—=—,

AC2

可设BC=3上则AC=2Z,

•1­AB=VBC2+AC2=

:点。是斜边AB的中点,

.,.CD=LB=义亘左.

22

,:ACDEsACBA,

...S^CDE—(CD)2=k)2—13

S

ACBACBgk36

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质,三角函

数的定义,有一定难度.(1)中证明出根据相似三角形的对应边成比

例得出CDBC=CE:AC是解题的关键.

17.定义:在△A8C中,点。和点E分别在AB边、AC边上,S.DE//BC,点。、点E之

间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为。E关于8C的横纵比.已知,在AABC

中,BC=4,3c上的局长为3,OE关于8C的横纵比为2:3,则。E=《.

一3一

【分析】先证明△ABCS^ADE,由相似三角形的性质可求解.

解:••♦OE关于8c的横纵比为2:3,

,设点。、点E之间距离为2x,直线。E与直线BC间的距离为3x,DE//BC,

:.AABCSLADE,

.2x_3-3x

••,

43

._2

••x---,

3

4

:.DE=2x=—,

3

故答案为:M.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,理解“横纵比”的定义并运用是解题的

关键.

18.如图,在△ABC中,ZC=90°,AC=BC=3,点。、E分别在AC边和AB边上,沿

着直线OE翻折△的>£,点A落在2C边上,记为点忆如果CB=1,则BE=上叵

—4―

【分析】过尸作FGL43于点G.先求出42=3血,BF=3-1=2.贝U八7=33=浮2尸

=近,所以AG=A8-8G=3«-y=2&,设AE=x,贝|跖=无,EG=2®-x,在

心△EGF中,EG+F(?=EF,利用勾股定理解列出(2血-尤)2+(加)2=x2,解得x

即求出BE.

解:过/作FGLA8于点G.

VZC=90°,AC=BC=3,CF=\,

:.AB=3近,BF=3-1=2.

:.FG=GB=^-BF=-/2,

J.AG=AB-BG=3舵-&=2&,

设AE=x,贝ij£P=x,EG=2版-x,

在RtZiEGF中,

EG2+FG2=EF2,

即(2«-尤)2+(衣)』炉,

解得x=^\[2,

:.BE=AB-AE=3&-

44

故答案为:

4

A

【点评】本题考查翻折变换,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是熟练运用勾

股定理,属于中考常考题型.

三、解答题(本大题共7题,满分78分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位

置上】

2sin600-tan450

19.计算:cot30°

sin300+cos2450

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.

2sin600-tan450

解:cot30°

sin300+cos2450

9X--1

=«-(我-1)

=1.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

20.抛物线y=-N+bx+c经过点A(0,3),B(-1,0).

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标.

(2)填空:如果将该抛物线平移,使它的顶点移到点A的位置,那么其平移的过程是向

左平移1个单位,再向下平移1个单位,平移后的抛物线表达式是丫=-炉+3.

【分析】(1)把A(0,3),8(-1,0)代入y=-N+bx+c即可得抛物线的表达式为

》=_/+2无+3,配成顶点式即得其顶点坐标;

(2)由顶点的位置关系即可得平移过程,根据平移后顶点坐标即可得表达式.

解:(1)把A(0,3),B(-1,0)代入y=-N+bx+c得:

(C=3,解得『J,

I-l-b+c=0Ic=3

・・・抛物线的表达式为y=-N+2X+3,

■/y=-x2+2x+3--(尤-1)2+4,

,抛物线的顶点是(1,4);

(2):抛物线的顶点是(1,4),A(0,3),

•••将该抛物线平移,使它的顶点移到点A的位置,平移的过程是向左平移1个单位,再

向下平移1个单位,

:平移后抛物线形状、大小不变,

平移后的抛物线表达式是y=-x2+3,

故答案为:向作平移1个单位,再向下平移1个单位,y=-N+3.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,用待定系数法求二次函数的解析式等知

识点,能求出二次函数的解析式是解此题的关键.

21.如图,在梯形A8CD中,AB//CD,且AB:CD=3:2,点E是边CD的中点,联结BE

交对角线AC于点尸,若屈=不,AD=n-

(1)用ipn表示AC'AF;

(2)求作BF在裾、正方向上的分向量.

(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并指出所作图中表示结论的分向量)

【分析】(1)利用三角形法则,平行线分线段成比例定理求解即可.

(2)利用平行四边形法则作出图形即可.

解:⑴VAB:CD=3:2,

2

:.CD=—AB,

3

o

AC=AD+DC=n+-|n'

:.DE=EC,CE//AB,

.CF=EC=2

,,市一访—1

:.AF=^-AC,

4

.—*—3z-•2_3-•1-♦

••AF=4(n+§ir)=^n+yn-

(2)如图,而在市、前方向上的分向量分别为而,BQ.

A

【点评】本题考查平面向量,梯形的性质等知识,解题的关键是掌握三角形法则,平行

四边形法则,属于中考常考题型.

22.如图,某种路灯灯柱BC垂直于地面,与灯杆相连.已知直线AB与直线BC的夹角

是76°,在地面点。处测得点A的仰角是53°,点8仰角是45°,点A与点。之间的

距离为3.5米.

求:(1)点A到地面的距离;

(2)AB的长度.(精确到0.1米)

(参考数据:sin53°-0.8,cos53°20.6,sin76°仁0.97,cos76°-0.24)

【分析】(1)要求点A到地面的距离,所以过点A作AFLCD,垂足为R然后放在直

角三角形APZ)中即可解答;

(2)要求A8的长度,需要把48放在直角三角形中,所以过点A作AGJ_EC,垂足为

G,在Rt^AED中,求出。尸的长,然后设C尸为x,用x表示AG,BG的长,再用76°

的正切值求出尤,最后求出A8即可.

解:(1)过点A作AFLCO,垂足为R

在RtZXAF。中,AF=ADsm530=3.5义0.8=2.8米,

答:点A到地面的距离为2.8米;

(2)过点A作AGLEC,垂足为G,

则AF=GC,AG^CF,

在RtzXAFD中,DF=ADcos53°=3.5X0.6=2.1米,

设C尸为x米,则C。为(2.1+无)米,

在RtZYBC。中,BC=CDtan450=(2.1+无)米,

.,.GB=GC-8C=2.8-(2.1+无)=(0.7-%)米,

S11lf0.97_97

在RtZXAGB中,tan76°=-:

cos760.24=24

AG

tan76°

BG

x=97

0.7-x=24

解得:40.56,

CF—AG—0.56米,

0.56

心0.6米.

【点评】本题考查了解直角三角形得应用一仰角俯角问题,添加辅助线构造直角三角形

是解题的关键.

23.如图,线段BD是Z\ABC的角平分线,点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上,

联结AE、BF,S.AB-BD=BC-BE.

(1)求证:AD=AE;

(2)如果8歹=。尸,求证:AF・CD=AE,DF.

B

【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明△ABEs^CB。,得NBDC=/AEB,从

而证明贝UA£)=AE;

(2)利用三角形外角的性质证明NBAFn/PBC,证明得此厚,则

AFBF

(.AF-AD)・DF=AF,CF,进行化简即可.

【解答】证明:(1)是△A8C的角平分线,

/.NABE=/CBD,

':AB-BD=BC'BE,

.ABBE

••=,

BCBD

・・・AABEsdCBD,

:.NBDC=/AEB,

・・•ZBDC=/ADE,

・•・/AEB=NADE,

:.AD=AE;

(2)・:BF=DF,

:.ZBDF=ZFBD,

・・・ZBDF=ZBAF+ZABD,ZFBD=NDBC+/CBF,

:.ZBAF+ZABD=NDBC+/CBF,

•・•/ABD=NCBD,

:.ZBAF=ZFBC,

・・・NBFC=/AFB,

,BFCF

••~,

AFBF

J.B^AF'CF,

■:DF=BF,

:.DSAFUF,

9

:DF=AF-ADf

:.(AF-AD)・DF=AF・CF,

C.AF-DF-AD-DF=AF-CF9

:.AF*DF-AF・CF=AD・DF,

AAF-QDF-CF)=AD・DF,

•;DF-CF=CD,AD=AE,

:.AF^CD=AE^DF.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形外角的

性质等知识,熟练进行相似三角形的证明是解题的关键.

24.抛物线丁=以2+2〃X+。与%轴相交于A、5两点(点A在点5左侧),与y轴交于点C

(0,3),其顶点。的纵坐标为4.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)求NACB的正切值;

(3)点尸在线段的延长线上,且NA尸。=/八45,求C尸的长.

1-

_।i।।।i1

~01x

【分析】(1)根据对称轴公式:X=-与可得对称轴是:x=-1,得。(-1,4),根

2a

据顶点式可设抛物线的解析式为:y=a(x+1)2+4,把(0,3)代入可得结论;

(2)如图1,构建直角三角形,计算AM和CM的长,根据正切的定义可得结论;

(3)根据正切相等可得所以得AC=AR根据两点的距离公式列方程

可得结论.

解:(1):y=ax?+lax+c,

.,.对称轴是:x=--z--=_1,

2a

顶点D的坐标为(T,4),

设抛物线的解析式为:(龙+1)2+4,

把(0,3)代入得:0+4=3,

•*11,

.••抛物线的解析式为:y=-(x+1)2+4=-》2_2X+3;

(2)如图1,过点A作AML8C于

当y=0时,-X2-2X+3=0,

解得:尤1=-3,X2=l,

(-3,0),B(1,0),

.*.48=3+1=4,BC=^32+l2=Vl0>AC=3^,

SAABC=—AB-OC=-BC'AM,

22

•••yX4X3=1XVIQAM,

;.4/=殳叵,

5

=22=

由勾股定理得:CMVAC-AMJ(3V2)2-(-T^-)2=

V3J

tanZACB=-^-=——^=^=2

CM3V10

5

(3)如图2,VtanZACB=2,tanZDAB=—=—=2

AM2

,?ZDAB=ZAFC,

:.ZACB=ZAFCf

:.AC=AF,

设8C的解析式为:y=kx+b,

(b=3

lk+b=O

(k=-3

解得:

lb=3

.•.2C的解析式为:y=-3x+3,

设F-3/71+3),

(3,^)2=(ZM+3)2+(-3m+3)2,

解得:租1=0(舍),/«2=£,

5

:.F搭,

••.b=Je)2+(《一3)2=警

【点评】本

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