2023年河南省开封市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年河南省开封市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.函数）一乙的图像与直线x+3=0的交点坐标为（）。

2.已知

仇也，仇也成等差数列，且仇也为方程2/—3工+1=0的两个根项也十仇

为方程的两个根则b2+b3的值为

A.1/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

3.盒中有3个红球和4个白球，从中随机抽取3球，其中最多有一个白

球的概率是（）

A1

A.A.

•

B.

L12

C.（

D.

4.等差数列｛an)中，已知前15项之和Si5=90,则ai+a”==(）

A.A.8B.10C.12D.14

5.过点（1,2）且与直线2x+y-3=0平行的直线方程为（）

A.A,2x+y-5=0

B.2y-x-3=0

C.2x+y-4=0

D.2x-y=0

6.函数y=2sin6x的最小正周期为()。

A,2nnn

B，T

C.3“p.n

D'T

7.在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同一

条直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为()

A

.埠-；

AB.P-H

CL'+C；

cT

•C•

I

D

2(p;+W)

抛物线产=-4x的准线方程为

0X-I(B)x=l(C)y=\D，=-l

o.

9.三个整数a,b,c既成等差数列又成等比数列的充分必要条件是

A。♦c=25

D.。♦6

i为虚数单位，则(2-30(3+2»)=

(A)12-I3»(B)-5i

]0(C)12+5i(D)12-5i

]]已知一VO,且sin工+cosm=".则cos2H的值为

A.-7/25B.7/25C.-7/25或7/25D.12/25

一枚硬币连续抛掷3次，至少有两次正面向上的概率是

(B)y

(D)|-

o

13.从6位同学中任意选出4位参加公益活动，不同的选法共有

A.30种B.15种C.10种D.6种

14.已知向量・・(2.-3.1)，=(2.0.3).£・(0・02).11。•(>♦€)«

D.百

］一遍1h

15.(石+i*()

A2

A.A.

B.

c.24

1值

D.

16.圆锥的轴截面顶角是2兀/3,过顶点的截面面积的最大值是4,则它

的侧面积是()

A.4、J1兀

B.2痴兀

C.8TI

D.8-.^:7i

17.

已知平面向量a=(l"),b=(T,2),若泌平行于向量1J),则

A.2t-3m+l=0B.2t+3m+l=0C.2t-3m-l=0D.2t+3m-l=0

而故一l-八，-2)的反曲数的图像经过点

X42

(a,(b,(状)<d>

18.M©H)M

国"r七的定义域是

20.函数>=7I-H-1的定义域是

A.{x|x>l)B.{x|x<l)C.{x|x>l)D.{x|x<-1或x>l)

21.集合{0,1,2,3,4,5}不含元素1、4的所有子集的个数是()

A.A.13B.14C.15D.16

22.：'()

A.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断

23.有不等式(l)seca|W|tana|(2)卜ina|W|tana|(3)|csca|W|cota|(4)|cosa|W|cota|

其中必定成立的是()

A.⑵(4)B.⑴(3)C.(D(2)(3)(4)D.都不一定成立

24.

第9题已知向量a=(4,x),向量b=(5,-2),且a±b,则x等于()

A.10B.-10C.l/10D.-8/5

25.

设命题甲m=1,命题乙:直线¥=任与直线》=1+1平行,则(

A.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

C.甲素是乙的充分条件也不是乙的必要条件

I).甲星乙的充分必要条件

已知Igsind=atIgcos^=b,则sin2©=()

(A)审(B)2(a+6)

26.(C)10中(D)2•IO***

下列四组中的函数/(x),g(x)表示同一函数的是()

(A)/(x)=I.g(x)=x°(B)/(x)=x,g(x)=

X

27.(C)/(x)=r2,g(x)-1>)/(x)=xJ,g(x)=

28.已知f(x)是定义域在［-5,5］上的偶函数，且f(3)>f(l)则下列各式一定

成立的是

A.f(-1)<f(3)B.f(0)<f(5)C.f(3)>f(2)D.f(2)>f(0)

29.()

A.A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函

数，又不是偶函数

22

却已知林吸+二=I的焦点在)轴上,则m的取值范附是()

JU・-Om

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.1>s或；<"i<~

二、填空题(20题)

已知随机变IRW的分布列为

$—10123

P0.I0.10.40.30.1

31.则由」.

32.若三角形三边之比为2:3:4,则此三角形的最小角为弧度.

33.*长为a的正方体ABCD-A'H'「/，中.年面直线BC*与DC的距离为

34.已知随机变量自的分布列是:

2012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝！IE4=______

35.已知A(2,1),B(3,-9),直线l:5x+y-7=0与直线AB交于P点，点

P分所成的比为.

36.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

校长为a的正方体ABCDA'JfC'D'中，异面直线与DC的距离

37.

38.过圆x2+Y2=25上一点M(-3,4)作该圆的切线，则此切线方程为

39.斜率为2,且在x轴上的截距为-3的直线的方程是

直线3*+4y-12=0与x轴，轴分别交于4,8两点,0为坐标原点，则△048的

40.冏匕为

41.设正三角形的一个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在抛

物线、’'、'''上，则此三角形的边长为.

已知随机变量f的分布列是:

012345

P0.10.20.30.20.10.1

则疑=

42.

43.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，那么

这两个数为

已知球的半径为1，它的一个小圆的面积是这个球表面积的右，则球心到这个小

44.闲所在的平面的距离是___

45.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

(19)lim~~~~

46.入+1

47.已知随机变量g的分布列为:

01234

P1/81/41/81/61/3

贝！IE京

48.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

49.

函数yxsinxcosx+73cos2x的最小正周期等于,

50.抛物线x2=-2py（p>0）上各点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1,则

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

52.

（本小题满分12分）

已知糖91的离心率为（且该椭例与双曲线A，'=1焦点相同•求椭圆的标准

和宸线方程.

53.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

54.

（22）（本小题满分12分）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

（I）求d的值；

（H）在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项?

55.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

56.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G』+，'=i与双曲线G：5-丁=1（°>i）.

（I）设.分别是G.G的离心率,证明eg<1;

（2）设4H是c长轴的两个端点/（颉,兀）（1与1>a）在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线产4与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

57.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

58.（本小题满分12分）

已知KZ是椭圆志+[=1的两个焦点/为椭圆上一点,且乙3%=邓.求

&PFR的面积.

59.

（本小题满分12分）

△A8C中.已知a'+J-6'=ar,且10gtsinA+lo&sinC=-1.面积为v'3cnT.求它二

出的长和三个角的度数・

60.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,«3+a8=0.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

四、解答题（10题）

61.电流强度I随时间t变化的函数关系式是I=Asinot,设（O=100TT（M

度/秒），A=5（安培）.

（I）求电流强度I变化周期与频率；

（II）当t=0,l/200,l/100,3/200/1/50（秒）时，求电流强度1（安培）；

（III）画出电流强度1随时间t变化的函数的图像.

62.

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件。现采取提高售

出价,减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品每件旅价1元，其销售数*就减

少1。件.问将售出价定为多少时,II得的利润最大？

63.为了测河的宽，在岸边选定两点A和B,望对岸标记物C,测得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的宽.

64.设函数f(x)=-xex,求：

⑴f(x)的单调区间，并判断它在各单调区间上是增函数还是减函

数；

(n)f(x)在［-2,0］上的最大值与最小值

65.

66.已知正圆锥的底面半径是1cm,母线为3cm,P为底面圆周上-点，

由P绕过圆锥回到P点的最短路径如图所示，由顶点V到这条路线的

最小距离是多少？

68.设A,B为二次函数y=-3x2-2x+a的图象与x轴的两个不同的交

点，点P为抛物线的顶点，当4PAB为等腰直角三角形时，求a的值.

69.

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为y=x,+2x-l.

求另一个函数的表达式

|X2,V2

_|滔+方=1和圆/+力=/+/

70.已知椭圆和圆，M、N为圆与坐标

轴的交点，求证：圆的弦MN是椭圆的切线。

五、单选题(2题)

已知I=5,21=2,0通=-5百，则。与b的夹角va»＞等于()

(A)年(B)竽

(C*(D)蓼

71.46

(x-2y)'的展开式中，X3/的系数为

C-40(B)-10(C)10(D)40

72.

六、单选题(1题)

函数y=ain4x-cos4x的最小正周期是)

(A)TT(B)2ir

(C)名(D)4E

参考答案

1.B

该小题主要考查的知识点为线的交点.

z+3=0,1=-3.>=2-3=4■.则

O

函数y=2，与直线z+3=0的交点坐标

为（一3,!）.

【考试指导】

2.D

由根与系数关系得仇+仇=_1

2

由等差数列的性质得仇+仇=仇+”=w,

2

故应选D.

3.B

盒中有3个红球和4个白球*从中随机抽取3球,其中最多有一个白球的概

4.C

等差数列｛&」中,，，三包土^二乂8―90,得小抖=60+a“=12.（答案为C）

5.C

6.B

该小题主要考查的知识点为函数的最小正周期.【考试指导】函数

2n-n-

y=2sin6z的最小正周期为T=

7.C

8.B

9.C

C解析;若三数成等差败列.则蒲。+C-2瓦着乂成等比敷列，则有ac=6'由"+r*2々=22当日仅

当a=c时成立可知共充分必要条件为a=b=g

10.D

11.B

B【解析】因为(cossin—1—sin2x.

乂sinr+cos工=春•所以sin2i——•

乂一会0<0•所以cossin1=弓.

■7

；・cos2z=cos21-sin：工—运.

12.B

13.B依题意，不同的选法种数为

Cd翳=6

考生要牢记排列组合的基本公式及计算方法.

【解题指要】本题主要考查排列组合的相关知识.

14.B

B：••(>♦<)•«•>•••C•7*2»9,

15.B

l-Gi=1一届=1一而=(1一同，

(V3+i),3+27^—12+24i-V3i)

16.C

设圆锥母线长为i,底面圆半径为r,高为h,有

f=5inf-

h_z

7=8*,

:.r盟l、h*.

另设过II点的轴级面为“48.

则S,j*=4.即:•2r-h-

财/替又国,=十•NK•专产二

16„.

"后R瓦=

17.B

a+mb=(1“)+m(—1,2)—(1—

m"+2m),又因o+nib平行于向量(-2,1),则1•

(1—m)=-2•(i+2/n)化简得：2，+3m+1=0.

18.A

19.B

20.D

由题意知向-lK),|x|>L解得史1或x£l.本题考查绝对值不等式的解

法和对函数定义域的理解.

21.D

22.B

/(_*)=_=Jrlg(f):二:21g._1/(」).

；・，(工)为偶函数.(答案为B)

23.A

*/sec2a=1+tan，.

：•sec2a>tanLa=>|seca|>；tanaI,

平方平方等号两边非负

■:1+cot*a—esc2a♦

：•cot2a<Zcsc2a=>IcotaiV|cscaI,，(1)(3)为错

••sina_

・tana*

cosa

Isina\•---r=ItanaI>

IcosaI

当Icosa|=i1时.|sina|=|tana|,

当0V|cosa|<1时，|sina|V|tanaI,

即Isina|&|tana|.

同理IcosaI&Icota,(2)(4)正确.

24.A

25.D

U由于:命题甲q命腮乙1甲对乙的充分性).命

题乙4命题单〈中附乙附必耍件>，故选D.

【分析】点题才心对充分必要条件的里加.

26.D

27.D

28.A

由偶函数定义得f(-l)=f(l),f(3)>f(l)=f(-l)

29.A

30.D

31.E^=-1x0.1+0x0.1+1x0.4+2x0.3+3x0.1=1.2.(答案为

1.2)

32.arccos7/8设三边分别为2h、3h、4h(如图)，由余弦定理知

(2h)2=(3h)2+(4h)2-2x3hx4hcosa,/.cosa=7/8,即a=arccos7/8.

a

4h

33.

异面直线fit"与DC的距离为正方体面对角线的一半.即为*a.(答第为考a)

34.

35.4由直线方程的两点式可得，过A(2,1),B(3,-9)的方程为：

.JC—2_y—1.JlOx+y-21=0Jx=-^

〃，户一_9T,则层+厂7=0巧

才12+久•3

36.

37.

极长为a的正方体ABCD-A'B'CT)'中，异面|•(线与DC的距离为(答案为多1)

38.

39.由题意可知，直线的斜率为2,且过点(-3,0).

,直线方程为y=2(x+3),即2x-y+6=0.(答案为2x-y+6=0。)

40.12

41.12

it为正M篇册的一个口点•JLAx收上方

时工。=mco»30,msmSO'-ym.

/J

可见A《§E.号)A*验假,-出工上・从而号＞'=27^亍1«E12

g

44.3

45.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作8点关于工轴对•称的点B'(2.-6).连接

Mi'.AB'即为入射光段所在直线,由两点式知

T+3_V_4

。21+y+2=0.

―-6-4

（19）；

46.J

47.

48.

•s<tf，Tfl，TTa'

由题章知正三被馋的侧横长为与叫

...（华）］（华.母）二人

丙丫_衣,

V2..•/A,=、//7£-_7W6»Q.V-1X6彳。2•l三/6.一*57。•

瓦。3V6634624

49.

函数尸sinrconr+Qcos1］的最小正周期为粤=兀(答案为U)

50.

51.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—lOx件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

52.

由已知可得椭圆焦点为-15,0）,八（6.0）.……3分

设椭圆的标准方程为马+卜1（a>6>0）,则

nn

=，+5,

度库解得｛二：…'分

,a3

所以椭圆的标准方程为言+?=l.•……9分

94

桶08的准线方程为x=±々A.•……12分

53.

由已知.可设所求函数的表达式为y=（x-m）'+n.

而y=x2+2x-1可化为y=（x+1）!-2.

又如它们图像的顶点关于直线彳=1对称，

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=（H-3）'-2,即>x'-6x+7.

54.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dta,Q+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)?-a2+(a-</)2.

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=—x3dx4d=6,d-\.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=1.

(11)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

an=3+(n-l),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100项为102.

55.解

设点B的坐标为(看,八)，则

S,

I4BI=y(x,+5)+y1①

因为点8在摘08上,所以2父+y「=98

y「=98-2*J②

将②R人①，得

1481=，(阳+5)'+98-2婷

i

=>/-(xl-l0xl+25)+148

=y-(x,-5)3+148

因为-3-5)‘W0,

所以当当=5时，-(阳-5)'的值最大，

故M8I也最大

当与=5时.由②.得y严±48

所以点8的坐标为(5.4百)或(5.-4月)时以81最大

56.证明：(1)由已知得

又a>l,可稗,所以.eg<l.

a

将①两边平方.化蔺得

（X,）+a）y=（X）+a）1y».④

由②③分别得竟=』«-a2）,y?=-r（o,-*?）.

aa

代人④整理得

=即孙工

a，*2XQ♦Q'x0

同理可得巧=£.

所以利=%/0.所以。/?平行于，轴.

57.

利润=情售总价-进货总俳

设每件提价工元(xNO),利润为y元,则每天售出(100-10M)件,销辔总价

为(10+z)•(100-IOx)元

进货总价为8(100-Kk)元(OWMWIO)

依题意有:y=(10+x)•(100-lOx)-8(100-10*)

=(2+*)(100-10x)

=-10/+80x+200

y'=-20H+80,令/=0得x=4

所以当x=4即售出价定为14元•件时，・得利润最大，最大利润为360元

58.

由已知，佛圈的长轴长2a=20

设IPRI=m/PFJ=n,由椭圆的定义知.m+n=20①

又J=l00-64=36.c=6,所以F,（-6,0）,吊（6,0）且1"心|=12

在△PF,心中.由余弦定理得m2+/-2EC830o=12,

m3+n1-Jimn=144②

m:+2mn+n2=400,③

③-②.得（2+⑶mn=256.m=256（2-向

因此.△用；「,的面积为:

59.

24.解因为4+J-灯=*所以

"'tE/GC

即8s8="I"，而B为△48C内角，

1

所以B=600.又疝M+lo^sinC=-1所以sin4•sinC=—.

则-1-[C<M(4-C)-cos(4+C)]=p

所以cos(4-C)-CT»I200co«(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得4=105。储=15。；或4=15。1=105。.

因为S&AK~*oArinCslR1MnA&inB»inC

_2片.应也.四.是立=乌?2

4244

所以43=6,所以R=2

4

所以a=2&irt4=2x2xsinl050=(^6^/2)(cm)

b=2R®nB=2x2xsin600=24(cm)

c=2NzinC=2x2xsinl50=(%-在)(cm)

或a=(网-&)(cm)6=2cm)c=(用+J2)(cm)

农.二小长分别为(用+总)cm、25cm、(而-々)《n.它们的对角依次为:1050.600.150.

60.

(1)设等差数列10.1的公差为d,由已知a,+5=0,得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

效歹J|Ia.I的通项公式为a.=9-2(n-l).BPa.=11-2n.

(2)数列la」的前n项和

S.=y(9+1-2n)=-n3+lOn=-(n-5)J+25.

当n=5时S取得最大值25.

61.

所以电流强度/变化的周期为1-幡率为50次人

<o，列/如下，

l=5mnl00x;5

(ID)下图为/唐，变化的图像；

I

O.上

T

200200

-2

-Y3

7

-一■

解利润=销售总价-进货总价

设每件提价工元(XNO),利润为y元，则每天售出(100-10工)件，销售总价

为(10+G•(100-100元

进货总价为8(100-10x)元(0WXW10)

依题意有:y=(10+*)-(100-10x)-8(100-10x)

=(2+x)(100-10x)

=-10*J+80工+200

八-20x+80,令y'=0得x=4

62.所以当*=4即售出价定为14元一件时,赚得利润最大，最大利润为360元

63.VZC=180o-30°-75o=75°,/.AABC为等腰三角形,则

AC=AB=120m,过C作CD_LAB,则由RtAACD可求得

CD=l/2AC=60m.即河的宽为60m.

64.本小题满分13分

解：(I)f(x)=-ex