2016-2017学年陕西省西安市碑林区交大附中八年级（上）期末

2016-2017学年陕西省西安市碑林区交大附中八年级（上）期末

数学试卷

一、选择题

L（3分）下列语言是命题的是（）

A.画两条相等的线段

B.等于同一个角的两个角相等吗？

C.延长线段AO到C,使OC=OA

D.两直线平行，内错角相等.

2.（3分）①的算术平方根是（）

A.3B.V3C.±3D.±75

3.（3分）如图，BCLAE于点C,CD〃AB,ZB=55°,则N1等于（）

C,X\D

AB

A.35°B.45°C.55°D.65°

4.（3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为NABC

的角平分线，L与M相交于P点.若NA=60。，NACP=24。，则NABP的度数为何？

5.（3分）一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5,这组数据的方差为（）

A.8B.5C.2圾D.3

6.（3分）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女

生每人种2棵.设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）

A1x+尸52B.仆+尸52

[3x+2y=2012x+3y=20

CJx+y=20口jx+y=20

|2x+3y=52\3x+2y=52

7.（3分）已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）图象中所反应的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵

后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的

距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）

A.体育场离张强家2.5千米

B.张强在体育场锻炼了15分钟

C.体育场离早餐店4千米

D.张强从早餐店回家的平均速度是骂千米/小时

7

9.（3分）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是

()

A.5721B.25C.1075+5D.35

10.(3分)如果(X+2V-8Z=0,其中xyzWo,那么x：y：z=(

)

l2x-3y4-5z=0

A.1：2：3B.2：3：4C.2：3：1D,3：2：1

二、填空题

11.（3分）计算近^-.

12.（3分）过点（-1,7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A,B,且与

直线产得*+1平行•则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是.

13.（3分）如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+l交y

轴于点A,交x轴于B,将直线AB沿射线0C方向平移&个单位，则平移后直

线的解析式为.

14.（3分）如图，在等腰^ABC中，AB=AC,ZBAC=50°.NBAC的平分线与AB

的中垂线交于点。，点C沿EF折叠后与点0重合，则NCEF的度数是.

15.（3分）设直线nx+（n+1）y=V2（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面

积为Sn，则S1+S2+...+S2016的值为.

16.（3分）已知方程|x|=ax+l有一个负根但没有正根，则a的取值范围是.

三、解答题

17.（6分）已知求a3+b3-4的直

V3+1V3-1

18.（8分）如图，点D在^ABC的AB边上，且NACD=NA.

（1）作NBDC的平分线DE,交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不

要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.

19.（8分）已知两直线Li：y=kix+bi，L2：y=k2x+b2,若Li_Ll_2，贝!j有kjk2=-L

（1）应用：已知y=2x+l与y=kx-1垂直，求k；

（2）直线经过A（2,3）,且与y=」x+3垂直，求解析式.

3

20.（8分）今年"五一"小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人,

分别比去年同期增长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万

人.求该市今年外来和外出旅游的人数.

21.（8分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出

发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折

线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.

（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离;

（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时

间为t时，求t的值；

（3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止

行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象.

22.（8分）在平面直角坐标系中，。为原点，直线I：x=l,点A（2,0）,点E,

点F,点M都在直线I上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交

于点P.

（I）若点M的坐标为（1,-1）,

①当点F的坐标为（1,1）时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线I上的动点时，记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.

(II)若点M(1,m),点F(1,t),其中tWO,过点P作PQ±I于点Q,当

OQ=PQ时，试用含t的式子表示m.

23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线I］：y=b与直线

2

I2：y=-x+6交于点A,1与x轴交于B,与y轴交于点C.

(1)求^OAC的面积；

(2)如点M在直线1±,且使得△OAM的面积是4OAC面积的反，求点M的

24

坐标.

24.(8分)(1)问题

如图1,点A为线段BC外一动点，且AB=a,BC=b.

填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用

含a,b的式子表示)

(2)应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1,如图2所示，分别以AB,AC为边,

作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值.

（3）拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点B的坐标

为（5,0）,点P为线段AB外一动点，且PA=2,PM=PB,NBPM=90。，请直接

写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

25.上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他

们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中

距姥姥家的距离y（千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求直线AB所对应的函数关系式；

（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小

颖一家当天几点到达姥姥家？

26.（10分）利用二元一次方程组解应用题：甲、乙两地相距160km,一辆汽车

和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行，11小时后相遇，相遇后,

3

拖拉机已其原速继续前进，汽车在相遇处停留1小时后掉转头以其原速返回，在

汽车再次出发半小时追上拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少路程？

2016-2017学年陕西省西安市碑林区交大附中八年级

（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

L（3分）下列语言是命题的是（）

A.画两条相等的线段

B.等于同一个角的两个角相等吗？

C.延长线段AO到C,使OC=OA

D.两直线平行，内错角相等.

【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫

做命题，分别判断得出答案即可.

【解答】解：根据命题的定义：

只有答案D、两直线平行，内错角相等.对事情做出正确或不正确的判断，故此

选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了命题的定义，利用定义得出是解题关键.

2.（3分）内的算术平方根是（）

A.3B.V3C.±3D.土如

【分析】首先根据算术平方根的定义求出逐，然后再求出它的算术平方根即可

解决问题.

【解答】解：•.•后3,

而3的算术平方根即返，

.•.«的算术平方根是会.

故选B.

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，特别注意：应首先计算百的值，

然后再求算术平方根.

3.（3分）如图，BC，AE于点C,CD〃AB,ZB=55°,则N1等于（)

【分析】利用"直角三角形的两个锐角互余"的性质求得NA=35。，然后利用平行

线的性质得到N1=NB=35。.

【解答】解：如图，1BCLAE,

AZACB=90°.

AZA+ZB=90".

又,."NB=55°,

ZA=35".

又CD〃AB,

AZ1=ZA=35°.

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.此题也可以利用垂直的

定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求N1的度数.

4.（3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为NABC

的角平分线，L与M相交于P点.若NA=60。，NACP=24。，则NABP的度数为何？

（）

A

【分析】根据角平分线的定义可得NABP=NCBP,根据线段垂直平分线上的点到

两端点的距离相等可得BP=CP,再根据等边对等角可得NCBP=NBCP,然后利用

三角形的内角和等于180。列出方程求解即可.

【解答】解：•••直线M为NABC的角平分线，

AZABP=ZCBP.

,直线L为BC的中垂线，

.,.BP=CP,

AZCBP=ZBCP,

AZABP=ZCBP=ZBCP,

在^ABC中，3ZABP+ZA+ZACP=180°,

即3ZABP+60°+24o=180",

解得NABP=32°.

故选：C.

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分

线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于NABP的方程是解题的

关键.

5.(3分)一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5,这组数据的方差为()

A.8B.5C.2&D.3

2

【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式S=l[(X1-x)

n

22

+(x2-X)+..+(xn-X)2],代数计算即可.

【解答】解：：6、4、a、3、2的平均数是5,

(6+4+a+3+2)+5=5,

解得：a=10,

则这组数据的方差S2=2_[(6-5)2+(4-5)2+(10-5)2+(3-5)2+(2-5)

5

2]=8；

故选:A.

【点评】本题考查了方差，一般地设n个数据，X1，X2,...Xn的平均数为W，则方

差S2=—[(X1-x)2+(X2-X)2+...+(Xn-X)2].

n

6.（3分）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女

生每人种2棵.设男生有x人，女生有y人,根据题意，列方程组正确的是（）

A.卜+尸52B.『+尸52

[3x+2y=20（2x+3y=20

C（x+y=20口/x+y=20

12x+3厂5213x+2y=52

【分析】设男生有X人，女生有y人，根据男女生人数为20,共种了52棵树苗,

列出方程组成方程组即可.

【解答】解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得，

Jx+y=20

13x+2y=52

故选：D.

【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决

问题的关键.

7.（3分）已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】首先根据k+b=-5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系

确定直线经过的象限，进而求解即可.

【解答】解：•.•k+b=-5,kb=6,

.,.k<0,b<0,

.•.直线丫=1«+13经过二、三、四象限，即不经过第一象限.

故选:A.

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间

的关系确定其符号.

8.（3分）图象中所反应的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵

后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的

距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）

A.体育场离张强家2.5千米

B.张强在体育场锻炼了15分钟

C.体育场离早餐店4千米

D.张强从早餐店回家的平均速度是坦千米/小时

7

【分析】根据观察函数图象的纵坐标，判断A、C,根据观察函数图象的横坐标,

可判断B,根据观察纵坐标、横坐标，可得路程与时间，根据路程除以时间，可

得答案.

【解答】解：A、由纵坐标看出体育场离张强家2.5千米，故A正确，不合题意；

B、由横坐标看出锻炼时间为30-15=15分钟，故B正确，不合题意；

C、2.5-1.5=1千米，体育场离早餐店1千米，故C错误，符合题意；

D、由纵坐标看出早餐店距家1.5千米，由横坐标看出回家时间是100-65=35分

钟=工小时，回家速度是1.5+（千米/小时），故D正确，不合题意；

12127

故选：C.

【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表

示的意义是解题关键.

9.（3分）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是

A.5721B.25C.IOVB+5D.35

【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据"两点之

间线段最短"得出结果.

【解答】解：将长方体展开，连接A、B,

根据两点之间线段最短，

(1)如图，BD=10+5=15,AD=20,

由勾股定理得：AB=｛虹|2+BD152+20'VOZm'S.

(2)如图，BC=5,AC=20如0=30,

由勾股定理得，AB=yAC2+BC匚452+30925=5

B$C

A

(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,

如图：

•••长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,

.\BD=CD+BC=20+5=25,AD=10,

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

AB=VBD2+AD2=7102+252=5V，29；

由于25<5/<5病，

故选B.

A

-------------------------1------------------------

、

、、

、、

、、

、

A

【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股

定理解答即可.

10.（3分）如果（X+2V-8Z=0,其中xyzWo,那么x：y：z=（）

l2x-3y+5z=0

A.1：2：3B.2：3：4C.2：3：1D,3：2：1

【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x,y用z表示出来，

代入代数式求值.

【解答】解：已知产y-8z=o%

l2x-3y+5z=0②

①X2-②得,7y-21z=0,

y=3z,

代入①得，x=8z-6z=2z,

.*.x：y：z=2z：3z：z=2：3：1.

故选c.

【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答.

二、填空题

11.（3分）计算近-后后一岁_・

【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答

案.

【解答】解：原式=2元-后YLM,

33

故答案为：色度.

3

【点评】本题考查了二次根式的加减，利用合并同类二次根式是解题关键.

12.（3分）过点（-1,7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A,B,且与

直线尸_1x+l平行.则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1,

4）,（3,1）.

【分析】依据与直线厂^x+1平行设出直线AB的解析式y=-亳x+b；代入点（-

1,7）即可求得b,然后求出与x轴的交点横坐标，列举才符合条件的x的取值,

依次代入即可.

【解答】解：•••过点（-1,7）的一条直线与直线厂Vx+1平行，设直线AB为

y=-当+b；

2

把（-1,7）代入y=-当+b；得7=为+b,

22

解得：b=lL,

2

直线AB的解析式为y=-Ix+1L,

22

令y=0,得：0=-与x+11,

22

解得：x=lk,

3

.•.0<x<lL的整数为：1、2、3；

3

把x等于1、2、3分别代入解析式得4、生、1；

2

在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1,4）,（3,1）.

故答案为：（1,4）,（3,1）.

【点评】本题考查了待定系数法求解析式以及直线上点的情况，列举出符合条件

的x的值是本题的关键.

13.（3分）如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+l交y

轴于点A,交x轴于B,将直线AB沿射线OC方向平移&个单位，则平移后直

线的解析式为V=2x

【分析】设点A沿射线0C方向平移&个单位后到达点M,点B沿射线0C方向

平移加个单位后到达点N,过点M作ME_Ly轴于点M,过点N作NF_Lx轴于点

F,则△AEM和ABFN为等腰直角三角形，根据直线AB的解析式利用一次函数

图象上点的坐标特征即可得出点A、B的坐标，根据等腰直角三角形的性质结合

AM=BN=«即可得出点M、N的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后直线的

解析式.

【解答】解：设点A沿射线0C方向平移&个单位后到达点M,点B沿射线0C

方向平移&个单位后到达点N,过点M作ME±y轴于点M,过点N作NF±x

轴于点F,如图所示.

：直线0C的解析式为y=x,

AZCOF=ZCOA=45".

VAM/70C>BN〃OC,

AZNBF=ZCOF=45",NMAE=NCOA=45°,

.'.△AEM和4BFN为等腰直角三角形，且AM=BN=加，

.-.BF=NF=AE=EM=1.

当x=0时，y=2x+l=l,

・•.点A的坐标为(0,1)；

当y=2x+l=0时，x=-—,

2

.,.点B的坐标为(-1,0).

2

•••点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(L,1).

2

设直线MN的解析式为y=kx+b,

将M(1,2)、N(1,1)代入y=kx+b,

2

'k+b=2,,_o

1，解得：Jk=2,

yk+b=llb=O

直线MN的解析式为y=2x.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形的判定与性质、

一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的特

征找出点A、B平移后的坐标是解题的关键.

14.（3分）如图，在等腰^ABC中，AB=AC,ZBAC=50°.NBAC的平分线与AB

的中垂线交于点。，点C沿EF折叠后与点0重合，则NCEF的度数是50。.

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出NOBC=40。，以及N

OBC=ZOCB=40°,再利用翻折变换的性质得出EO=EC,ZCEF=ZFEO,进而求出

即可.

【解答】解：连接BO,

NBAC=50。，ZBAC的平分线与AB的中垂线交于点0,

AZOAB=ZABO=25",

:等腰4ABC中，AB=AC,NBAC=50°,

AZABC=ZACB=65°,

AZOBC=65°-25°=40°,

'AB=AC

；/BAO=NCAO，

,AO=AO

/.△ABO^AACO,

ABO=CO,

AZOBC=ZOCB=40°,

•.•点C沿EF折叠后与点O重合，

AEO=EC,ZCEF=ZFEO,

ZCEF=ZFEO-1802XJ°L.=50O,

故答案为：50。.

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和

定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键.

15.(3分)设直线nx+(n+1)y=-72(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面

积为Sn，则S1+S2+...+S2016的值为幽旦.

一2017—

【分析】先利用坐标轴上点的坐标特征求出直线与x轴和y轴的坐标，则利用三

角形面积公式得到Sn=_J_,再分别计算出Si，S2,S3,S2015,然后利用)。=工

n(n+l)n(n+l)n

-求它们的和.

n+1

【解答】解：当x=0时，y=迤，则直线与y轴的交点坐标为(0,迤)，

_n+1n+1

当y=0时，x=、2,则直线与x轴的交点坐标为0),

nn

所以Sn=1^.2ZL

2nn+1n(n+1)

当n=l时，Si=―-—,

1X2

当n=2时，S2=--—,

2X3

当n=3时，S3=―-—>

3X4

当n=2016时，S20i6=---------i---------,

2016X2017

所以Si+s2+s3+..+s20i5=^^+^^+^^+...+------------------=1-1+1-L+L-

1X22X33X42016X20172233

1++1.1=1-1-2016

¥…2016201720172017,

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满

足其解析式，解决此类问题时求出直线与坐标轴的交点坐标.熟练运用

.1.=工-」_是解决此题的关键.

n(n+l)nn+1

16.(3分)已知方程|x|=ax+l有一个负根但没有正根，则a的取值范围是a>

-1.

【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘法，可得不等式，根据解不等式，可得

答案.

【解答】解：由题意，得

-x=ax+l,

(a+1)x=-1,

a+l>0,

解得a>-1,

故答案为：a>-1.

【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质，有理数

的乘法得出不等是解题关键.

三、解答题

17.(6分)已知a=叵工，求a3+b3-4的直

V3+1V3-1

【分析】首先对a和b的值分母有理化，把所求的式子利用立方差公式变形，再

代入求解即可.

I解答】解：磊*T苧dg,

匕=芯+1_(y+1)2

^3_1(V3+1)(V3-1)

则a3+b3-4=（a+b）（a2-ab+b2）-4=4X（14-1）-4=48.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值以及立方差公式，正确对a和b进行化

简是关键.

18.（8分）如图，点D在^ABC的AB边上，且NACD=NA.

（1）作NBDC的平分线DE,交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不

要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.

【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；

（2）根据角平分线的性质可得NBDE=LNBDC,根据三角形内角与外角的性质

2

可得NA=LNBDC,再根据同位角相等两直线平行可得结论.

2

【解答】解：（1）如图所示：

(2)DE//AC

VDE平分NBDC,

，NBDEJ/BDC,

2

VZACD=ZA,NACD+NA=NBDC,

ZA=.LZBDC,

2

AZA=ZBDE,

.•.DE〃AC.

A

D

BEC

【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，

掌握同位角相等两直线平行.

19.(8分)已知两直线Li：y=k1x+b1,L2：y=k2x+b2,若LjL2,则有kjk2=-1.

(1)应用：已知y=2x+l与y=kx-1垂直，求k；

(2)直线经过A(2,3),且与y=」/+3垂直，求解析式.

3

【分析】(1)根据Li_Ll_2，则kjk2=-1,可得出k的值即可；

(2)根据直线互相垂直，则ki・k2=-l,可得出过点A直线的k等于3,得出所

求的解析式即可.

【解答】解：(1)：L」L2，则ki・k2=-l,

A2k=-1,

k=--；

(2),过点A直线与y=」_x+3垂直，

3

・••设过点A直线的直线解析式为y=3x+b,

把A(2,3)代入得，b=-3,

...解析式为y=3x-3.

【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个

k值的乘积为-1.

20.(8分)今年"五一"小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人,

分别比去年同期增长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万

人.求该市今年外来和外出旅游的人数.

【分析】设该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，根据总人数

为226万人，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人，列方程组求解.

【解答】解：设该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，

由题意得，卜少20,

I（1+30%）x+（1+20%）y=22€

解得：卜=100,

I尸80

则今年外来人数为:100X（1+30%）=130（万人），

今年外出旅游人数为：80X（1+20%）=96（万人）.

答：该市今年外来人数为130万人，外出旅游的人数为96万人.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出

未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解.

21.（8分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出

发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折

线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.

（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离;

（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时

间为t时，求t的值；

（3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止

行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象.

【分析】（1）设出AB所在直线的函数解析式，由解析式可以算出甲乙两地之间

的距离.

（2）设出两车的速度，由图象列出关系式.

（3）根据（2）中快车与慢车速度，求出C,D,E坐标，进而作出图象即可.

【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b.

.直线AB经过点(1.5,70),(2,0),

•fl.5k+b=70

*l2k+b=0'

解得(k=T40.

lb=280

直线AB的解析式为y=-140x+280(x20).

,当x=0时，y=280.

・•.甲乙两地之间的距离为280千米.

（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时.

由题意可得2n=280,

[2m-2n=40

解得.

ln=60

・••快车的速度为80千米/时.

・••快车从甲地到达乙地所需时间为t=侬=工小时；

802

（3）,快车的速度为80千米/时.慢车的速度为60千米/时.

•••当快车到达乙地，所用时间为：侬_=3.5小时，

80

•.•快车与慢车相遇时的时间为2小时，

.*.y=（3.5-2）X（80+60）=210,

••.C点坐标为：（3.5,210）,

此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：280,11

603

小时,

当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为：旦-3.5=工小时，

36

•••此时距甲地：280-2X80=独千米，

63

•••D点坐标为：（旦，电），

33

再一直行驶到甲地用时3.5X2=7小时.

••.E点坐标为：（7,0）,

故图象如图所示：

【点评】本题主要考查一次函数的应用，用函数解决实际问题，作图时应该仔细.

22.(8分)在平面直角坐标系中，。为原点，直线I：x=l,点A(2,0),点E,

点F,点M都在直线I上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交

于点P.

(I)若点M的坐标为(1,-1),

①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线I上的动点时，记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.

(II)若点M(1,m),点F(1,t),其中tWO,过点P作PQ±I于点Q,当

OQ=PQ时，试用含t的式子表示m.

【分析】(I)①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程

组!尸*,求得该方程组的解即为点P的坐标；

[y=3x-6

②由已知可设点F的坐标是(1,t).求得直线OF、EA的解析式分别是y=tx、直

线EA的解析式为：y=(2+t)x-2(2+t).则tx=(2+t)x-2(2+t),整理后即

可得到y关于x的函数关系式y=x2-2x；

++2

(II)同(I),易求P(2-工，2t-L).则由PQ±I于点Q,得点Q(1,2t

inin

2

-L),则OQ2=l+t2(2-X)2,PQ2=(1-±)2,所以1+t2(2-X)2=(1-X)

minininin

2,化简得到：t(t-2m)(t2-2mt-l)=0,通过解该方程可以求得m与t的关

系式.

【解答】解：(I)①•••点O(0,0),F(1,1),

直线OF的解析式为y=x.

设直线EA的解析式为：y=kx+b(kWO)、

:点E和点F关于点M(1,-1)对称，

AE(1,-3).

又(2,0),点E在直线EA上，

.JO=2k+b,

,・i-3=k+b'

解得严，

lb=-6

，直线EA的解析式为：y=3x-6.

点P是直线OF与直线EA的交点，则，尸*,

ly=3x-6

解得卜=3,

ly=3

・•.点P的坐标是(3,3).

②由已知可设点F的坐标是(1,t).

・•.直线OF的解析式为y=tx.

设直线EA的解析式为y=cx+d(c、d是常数，且cWO).

由点E和点F关于点M(1,-1)对称，得点E(1,-2-t).

又点A、E在直线EA上，

.・J0=2c+d,

解得产+t,

ld=-2(2+t)

・•・直线EA的解析式为：y=(2+t)x-2(2+t).

•・•点P为直线OF与直线EA的交点，

/.tx=(2+t)x-2(2+t),HPt=x-2.

则有y=tx=(x-2)x=x2-2x；

(II)由(I)可得，直线OF的解析式为y=tx.

直线EA的解析式为y=(t-2m)x-2(t-2m).

点P为直线OF与直线EA的交点，

tx=(t-2m)x-2(t-2m),

化简，得x=2-

ID

*t2

有y=tx=2t---.

in

一.<2

.•.点P的坐标为(2-X,2t-匚).

IDID

+2

,.•PQ，I于点Q,得点Q(l,2t-±-),

ID

.*.OQ2=l+t2(2-±)2,PQ2=(1-±)2,

mm

VOQ=PQ,

Z.1+t2(2--1)2=(1-工)2,

IDID

化简，得t(t-2m)(t2-2mt-1)=0.

又：tW0,

.*.t-2m=0或t?-2mt-1=0,

解得m==L.

22t

+、+21

则m=工或m=--L即为所求.

22t

【点评】本题考查了一次函数的综合题型.涉及到了待定系数法求一次函数解析

式，一次函数与直线的交点问题.此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法

和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题.

23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线I]：y=L(与直线

2

h：y=-x+6交于点A,卜与x轴交于B,与y轴交于点C.

(1)求AOAC的面积；

(2)如点M在直线I2上，且使得△OAM的面积是^OAC面积的W,求点M的

【分析】(1)先根据直线解析式，求得C(0,6),再根据方程组的解，得出A

(4,2),进而得到△OAC的面积；

(2)分两种情况进行讨论：①点Mi在射线AC上，②点M2在射线AB上，分别

根据点M的横坐标，求得其纵坐标即可.

【解答】解：(1)在y=-x+6中，令x=0,解得y=6,

AC(0,6),即CO=6,

']

解方程组厂qx,可得，x=4,

y=-x+6I尸2

AA(4,2),

.,.SAOAC=^X6X4=12；

2

(2)分两种情况：

①如图所示，当点Mi在射线AC上时，过Mi作MiDLCO于D,则△CDMi是等

腰直角三角形，

VA(4,2),C(0,6),

•**AC=,&2+&2=4]~2>

vAOAM的面积是△OAC面积的国，

4

，AMi=/C=3点,

4

CMI=M，

DMFL即点Ml的横坐标为1,

在直线y=-x+6中，当x=l时，y=5,

，Mi（1,5）；

②如图所示，当点M2在射线AB上时，过M2作M2E±CO于E,则△CEM2是等

腰直角三角形，

由题可得，AM2=AM1=35/2-

/.CM2=7、/^,

；.EM2=7,即点M2的横坐标为7,

在直线y=-x+6中，当x=7时，y=-1,

.•.M2（7,-1）.

综上所述，点M的坐标为（1,5）或（7,-1）.

【点评】本题主要考查了两直线相交的问题，解决问题的关键是掌握两直线交点

的坐标的计算方法，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对

应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.

24.（8分）（1）问题

如图1,点A为线段BC外一动点，且AB=a,BC=b.

填空：当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值，且最大值为

a+b（用含a,b的式子表示）

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1,如图2所示，分别以AB,AC为边，

作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值.

（3）拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点B的坐标

为（5,0）,点P为线段AB外一动点，且PA=2,PM=PB,NBPM=90。，请直接

写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可

得到结论；

（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,NBAD=/CAE=60°,推出△

CADEAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=

线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

（3）连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,得到

△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据

当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2*3；

过P作PE，x轴于E,根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论.

【解答】解：（1）,••点A为线段BC外一动点，且AB=a,BC=b,

•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为

BC+AB=a+b,

故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD=BE,

理由：•••△ABD与4ACE是等边三角形,

，AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

AZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NCAD=NEAB,

iSACAD与aEAB中，

'AD二AB

<ZCAD=ZEAB-

LAC=AE

AACADIAEAB（SAS）,

；.CD=BE；

②..•线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

・•.由（1）知，当线段C