随机事件的独立性（课件）高二数学（2020）（完整版）

独立事件的定义0102CONTANTS目录独立事件与互斥事件在概率中的计算独立事件的定义01我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.（一）两个随机试验各定义了一对随机事件A和B：试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”.试验2：—个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.问题1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？问题2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？

试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”.解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点，A={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}．由古典概型概率计算公式得，

于是P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.问题1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？因为两枚硬币分别拋掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.

问题2：计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？试验2：—个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.问题1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.试验2：—个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异.

采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}}，包含16个等可能的样本点，

A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}，共8个.B={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，共8个.所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．所以

问题2：计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？于是P(AB)=P(A)P(B)．从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：对任意两个事件A与B,如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.特别地，因为必然事件

总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件

总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.因此必然事件

、不可能事件

都与任意事件相互独立.

（二）如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？

我们先看事件

是否相互独立，即

是否成立？代入（*）式，得：由事件的独立性定义，

相互独立.类似地，可以证明事件

相互独立.

（*）例1

一个袋子中有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点：第二次第一次12341×（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）×（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）×（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）×

解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，A=“第一次摸出球的标号小于3”A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，共6个样本点.B=“第二次摸出球的标号小于3”B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以

此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．第二次第一次12341×（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）×（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）×（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）×判断事件独立性的常用方法：(1)定义法：利用定义来判断，如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．(2)直观法：根据实际背景直接判断两个事件的发生是否相互影响．如分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”.事件A与B的发生互不影响.

独立事件与互斥事件在概率中的计算02事件的相互独立性思考：如果事件A与事件B相互独立，那么P（AB）如何计算？事件的相互独立性定义是：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立。因此P(AB)=P(A)P(B).知识拓展如果事件A1，A2，A3，…，An是相互独立的，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即P(A1A2A3…An)=

P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

.

例题讲解例2、甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶。方法总结求相互独立事件同时发生概率的步骤(1)①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．例题讲解例3、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。求“星队”在两轮活动中猜对三个成语的概率。例题讲解例题讲解例题讲解例4、三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．例题讲解求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．知识概括常用的相互独立事件的概率

方法总结1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(

)A．A与B，A与C均相互独立B．A

与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥.A2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是(

)A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.C3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是

．

记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B(i＝1,2,3)．

本