数学（选修45）课件本章整合提升3

第5章三个重要不等式本章整合提升(第3~5章)[考情分析]数学归纳法一般用于解决与正整数n(n∈N*)有关的等式、不等式以及大小比较、探索性等问题，常与数列交汇命题．高考中一般在解答题中的某一问中考查．专题一数学归纳法的应用2．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想．[考情分析]与三个正数的和或积有关的不等式的证明题可考虑用平均值不等式，多次用平均值不等式时，要注意各不等式的方向要相同．高考中考查不多，一般在选考题中考查．专题二用平均值不等式证明不等式[考情分析]求最值的方法有很多，在利用“三个正数的平均值不等式”求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的原则．在处理有关凑项和拆项等方法的问题时也一定要注意这一原则．高考中一般在选考题中考查该考点．专题三平均值不等式的应用2．已知球的半径为R，球的内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？最大值是多少？[考情分析]由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依据，因此柯西不等式的考查常出现在用综合法证明含有幂，根式的和、积、商的不等式中．高考一般在选考题中考查．专题四利用柯西不等式证明不等式[高考冲浪]1．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．∵a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，∴(ac＋bd)2≤64.∴ac＋bd≤8.2．(2014·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值．(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.(1)解：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又∵p，q，r是正实数，∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.[考情分析]柯西不等式是除平均值不等式外求解含多个变量式子最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．高考一般在选考题中考查．专题五利用柯西不等式求最值2．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为__________.解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案：12[考情分析]排序不等式是用综合法证明与字母顺序有关的不等式中的重要依据，也就成为证明不等式时的一种重要工具，但高考中排序不等式不做要求．专题六利用排序不等式证明不等式2．已知a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c.(1)求证：c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．(2)求证：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.证明：(1)c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．∵b≥c，b＋c－a≥0，∴c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0.即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．①同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．②综合①②，原不等式成立．(2)由题设及(1)，知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．由排序不等式，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)，①a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc