高考数学一轮复习夯基提能作业第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示A组基础题组1.在平行四边形ABCD中,AB=a,AC=b,DE=2EC,则BE=()A.b13a B.b2C.b43a D.b+12.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(1,2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为()A.2,7C.(3,2) D.(1,3)3.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a12b=(3,1),c=(x,3),若(2aA.2 B.-4 C.3 D.14.已知向量AC,AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λ+μ等于()A.2 B.-2 C.3 D.35.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC=π4,|OC|=2,若OC=λOA+μOBA.22 B.2 C.2 D.426.(2018贵州贵阳质检)设向量a=(x,1),b=(4,x),若a,b方向相反,则实数x的值为.

7.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为.

8.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.9.如图,以向量OA=a,OB=b为邻边作▱OADB,BM=13BC,CN=13CD,用a,b表示OM,10.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,CD=xOA+yBC,求x+y的值.B组提升题组1.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α、β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,1),q=(2,1)下的坐标为(2,2),则a在基底m=(1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0) B.(0,2)C.(2,0) D.(0,2)2.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若AB=λAM+μAN,则λ+μ=.

3.如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.(1)设PG=λPQ,将OG用λ,OP,OQ表示;(2)设OP=xOA,OQ=yOB,求证:1x+14.如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α,且tanα=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),求m+n的值.答案精解精析A组基础题组1.C因为BE=AEAB=AD+DEAB,所以BE=BC13AB=ACAB+23ABAB=AC2.ABC=(4,3),设D(x,y),则AD=(x,y2),∵BC=2AD,∴4=2∴x=2,y3.D∵a12b=(3,1),∴a(3,1)=1则b=(4,2).∴2a+b=(2,6).又(2a+b)∥c,∴6=6x,x=1.故选D.4.A如图所示,建立平面直角坐标系,则AD=(1,0),AC=(2,2),AB=(1,2).因为AC=λAB+μAD,所以(2,2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以2=λ+所以λ+μ=2.故选A.5.A因为C为第一象限内一点且|OC|=2,∠AOC=π4,所以C(2,2),又OC=λOA+μOB,所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=2,λ+μ=226.答案2解析由题意得x21×4=0,解得x=±2.当x=2时,a=(2,1),b=(4,2),此时a,b方向相同,不符合题意,舍去;当x=2时,a=(2,1),b=(4,2),此时a,b方向相反,符合题意.7.答案(2,4)解析∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,∴DC=2AB.设点D的坐标为(x,y),则DC=(4,2)(x,y)=(4x,2y),∵AB=(2,1)(1,2)=(1,1),∴(4x,2y)=2(1,1),即(4x,2y)=(2,2),∴4-x故点D的坐标为(2,4).8.答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,1),B(6,2),C(5,1),所以a=AO=(1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(1,3).由c=λa+μb可得-1=解得λ=-29.解析∵BA=OAOB=ab,∴BM=13BC=16BA=∴OM=OB+BM=16a+5∵OD=a+b,∴ON=OC+13CD=12OD+16OD=∴MN=ONOM=23a+23b16a56b=综上,OM=16a+56b,ON=23a+23b,MN=10.解析解法一:如图,过C作CE⊥OB于E.∵AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∴E为OB的中点.连接OD,OC,则CE=32∴CE=CB+BE=BC+12∴CD=CO+OD=OABC+23-BC+1∵CD=xOA+yBC,∴x+y=13+1+-1解法二:不妨设☉O的半径为1,如图,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(1,0),D(0,1),C12∴CD=-12,1+3又CD=xOA+yBC,∴-12,∴-12∴x+y=3+333+23B组提升题组1.D由已知可得a=2p+2q=(2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(1,1)+y(1,2)=(x+y,x+2y),∴-x+y=22.答案45解析解法一:连接AC.由AB=λAM+μAN,得AB=λ·12(AD+AC)+μ·12(AC+AB),则μ2-1AB+λ2AD+λ2+μ2AC=0,得μ又因为AB,AD不共线,所以由平面向量基本定理得14λ+所以λ+μ=45解法二:(回路法)连接MN并延长交AB的延长线于T,由已知易得AB=45∴45AT=AB=λAM+μ即AT=54λAM+54μ∵T,M,N三点共线,∴54λ+5∴λ+μ=453.解析(1)OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQOP)=(1λ)OP+λOQ.(2)证明:由(1)得OG=(1λ)OP+λOQ=(1λ)xOA+λyOB,因为G是△OAB的重心,所以OG=23OM=23×12(OA+OB)=而OA,OB不共线,所以(1-所以1x+1y=3,即1x4.解析解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=210,sinα=7∵OA与OC的夹角为α,∴210=OA∵OC=mOA+nOB,|OA|=|OB|=1,|OC|=2,∴210=m又∵OB与OC的夹角为45°,∴22=OB·OC又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°sinαsin45°=210×227210×∴OA·OB=|OA|·|OB|·cos∠AOB=35将其代入①②得m35n=135两式相加得25m+25n=所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,O