2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习06（含答案）

2024年中考数学二轮专题压轴题培优练习06LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．(1)求抛物线的解析式；(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线l：y＝kx＋b经过点B，点C，点P是抛物线上一动点，连接OP交直线BC于点D．(1)求直线l的解析式；(2)当＝时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点N是直线BC上一动点，连接ON，过点D作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝eq\r(5)DF时，请直接写出点N的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y=﹣x2﹣2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.(1)求A，B，C三点的坐标.(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积.(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣8ax﹣eq\f(7,2)交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，且AB＝6；抛物线l2与l1交于点A和点C(5，n).(1)求抛物线l1，l2的表达式；(2)当x的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；(3)直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P(m，0)，M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值.LISTNUMOutlineDefault\l3已知二次函数y＝﹣eq\f(1,4)x2＋bx＋c图象的对称轴与x轴交于点A(1,0)，图象与y轴交于点B(0,3)，C、D为该二次函数图象上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD＝90°．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图,抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣3，0)、B(2，0)两点,与y轴的交点为C,连接AC、BC,D为线段AB上的动点,DE∥BC交AC于E,A关于DE的对称点为F,连接DF、EF．(1)求抛物线的解析式；(2)EF与抛物线交于点G,且EG：FG=3：2,求点D的坐标；(3)设△DEF与△AOC重叠部分的面积为S,BD=t,直接写出S与t的函数关系式．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx＋8与x轴交于A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC和S△AOC，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m＋4(m为常数，且m＞0)．(1)求二次函数的顶点坐标；(2)设该二次函数图象上两点A(a，ya)、B(a＋2，yb)，点A和点B间(含点A，B)的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C(2，﹣4)，∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP＋PB＝4＋2＝6，∴点A(﹣2，0)，点B(6，0)，把点A(﹣2，0)，点B(6，0)，点C(2，﹣4)代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3．故答案为：y＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3．(2)设过点D(2，0)的直线MN解析式为y＝k(x﹣2)＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝eq\f(1,4)x2﹣x﹣3，化简得＝0，xN＋xM＝4(k＋1)，xNxM＝8k﹣12....①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝(＋2)2﹣(＋2)﹣3，化简得y2＋(﹣﹣1)y﹣4＝0，yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2....②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴xO＝eq\f(1,2)(xN＋xM)＝2(K＋1)，代入直线方程得yO＝2k2，∴圆心坐标为(2k＋2，2k2)，直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点(x，y)到圆心的距离等于半径eq\f(1,2)MN，∴＝，化简整理得16k2＋12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x＋y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx＋x2﹣4x＋y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)．∴OC＝2．令y＝0，则﹣eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0，解得：x＝﹣1或4，∴A(﹣1，0)，B(4，0)．∴OA＝1，OB＝4．设直线l的解析式为y＝kx＋b，∴，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣eq\f(1,2)x＋2；(2)过点P作PE∥y轴交BC于点E，如图，∴∠COD＝∠DPE，∠OCD＝∠PED，∴△CDO∽△EDP，∴，∵＝，∴PD＝OD．∴PE＝OC＝2．设P(m，﹣eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2))，则E(m，-eq\f(1,2)m＋2)，∴PE＝﹣eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2﹣(-eq\f(1,2)m＋2)＝﹣eq\f(1,2)m2＋2m，∴﹣eq\f(1,2)m2＋2m＝2．解得：m1＝m2＝2．∴P(2，3)；(3)N(，)或N(，)，理由：∵P(2，3)，∴直线OP的解析式为y＝eq\f(3,2)x．∴，解得：．∴D(1，eq\f(3,2))．∴OD＝，BD＝．①当点N在线段BD上时，如图，在Rt△ODF中，∠DFO＝90°，∵sin∠DOF＝，∴tan∠DOF＝eq\f(1,2)．在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴tan∠CBO＝eq\f(1,2)．∴∠DOF＝∠CBO．∵∠ODN＝∠BDO，∴△ODN∽△BDO，∴，即：OD2＝BDDN，∴DN＝．∴BN＝BD﹣DN＝，过点N作NH⊥x轴于点H，∴NH＝BNsin∠CBO＝，BH＝BNcos∠CBO＝，∴OH＝OB﹣BH＝4﹣＝．∴N(，)；②当点N在线段BD的延长线上时，如图，过点F作FK⊥x轴于点K，过点D作DQ⊥FK于点Q，∵FD⊥ON，∴∠OFK＋∠DFQ＝90°，∵DQ⊥FK，∴∠FDQ＋∠DFQ＝90°，∴∠DFK＝∠FDQ．∵∠FKO＝∠DQF＝90°，∴△OKF∽△FQD．∴＝2，∴OK＝2FQ，FK＝2QD．设F(a，n)，则OK＝a，FK＝n，∵D(1，eq\f(3,2))，∴DQ＝1﹣a，FQ＝n﹣eq\f(3,2)．∴，解得：，∴F(eq\f(1,5)，1.6)．设直线OF的解析式为y＝cx，∴eq\f(1,5)c＝1.6，∴c＝8，∴直线OF的解析式为y＝8x．∴，解得：．∴N(，)．综上，点N的坐标为N(，)或N(，)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3可知点C(0，3)，令y=0，则0=﹣x2﹣2x＋3，解得x=﹣3或x=1，∴点A(﹣3，0)，B(1，0).(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=﹣1，设点M的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m＋3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(﹣m2﹣2m＋3﹣2m﹣2)=﹣2m2﹣8m＋2=﹣2(m＋2)2＋10，∴当m=﹣2时矩形的周长最大.∵点A(﹣3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，当x=﹣2时，y=﹣2＋3=1，则点E(﹣2，1)，∴EM=1，AM=1，∴S=eq\f(1,2)AM·EM=eq\f(1,2).(3)∵点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x＋3，得y=4，∴点D(﹣1，4).∴DQ=DC=.∵FG=2DQ，∴FG=4，设点F(n，﹣n2﹣2n＋3)，则点G(n，n＋3)，∵点G在点F的上方，∴(n＋3)﹣(﹣n2﹣2n＋3)=4，解得n=﹣4或n=1.∴点F(﹣4，﹣5)或(1，0).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由题意抛物线l1的对称轴x＝4，∵抛物线l1交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，且AB＝6，∴A(1，0)，B(7，0)，把A(1，0)代入y＝ax2﹣8ax﹣eq\f(7,2)，解得a＝﹣eq\f(1,2)，∴抛物线l1的解析式为y＝﹣eq\f(1,2)x2＋4x﹣eq\f(7,2)，把C(5，n)代入y＝﹣eq\f(1,2)x2＋4x﹣eq\f(7,2)，解得n＝4，∴C(5，4)，∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，∴可以假设抛物线l2的解析式为y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c，把A(1，0)，C(5，4)代入y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c，得到，解得，∴抛物线l2的解析式为y＝eq\f(1,2)x2﹣2x＋eq\f(3,2).(2)观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点E(2，﹣eq\f(1,2))，顶点F(4，eq\f(9,2))所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，故答案为2≤x≤4.(3)∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P(m，0)，M，N，∴M(m，﹣eq\f(1,2)m2＋4m﹣eq\f(7,2))，N(m，eq\f(1,2)m2﹣2m＋eq\f(3,2))，①如图1中，当1≤m≤5时，MN＝﹣m2＋6m﹣5＝﹣(m﹣3)2＋4，∴m＝3时，MN的最大值为4.②如图2中，当5＜m≤7时，MN＝m2﹣6m＋5＝(m﹣3)2﹣4，5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大，∴m＝7时，MN的值最大，最大值是12，综上所述，MN的最大值为12.LISTNUMOutlineDefault\l3解：将点B(0,3)代入y＝﹣eq\f(1,4)x2＋bx＋c，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二次函数y＝﹣eq\f(1,4)x2＋bx＋c图象的对称轴与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二次函数的解析式为SKIPIF1<0；(2)如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0(舍去)，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；(3)存在，理由如下：①如图，与(2)图中SKIPIF1<0关于对称轴对称时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此时，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于对称轴对称时，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0长度相等，即SKIPIF1<0，②当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于对称轴对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去)或SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴下方时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0关于对称轴对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去)或SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将A(﹣3，0)和B(2，0)代入y=ax2+bx﹣4，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=eq\f(2,3)x2+eq\f(2,3)x﹣4；(2)令x=0代入y=eq\f(2,3)x2+eq\f(2,3)x﹣4，∴y=﹣4，∴C(0，﹣4)，∴OC=4，∵OA=3，∴由勾股定理可求得：AC=5，∵OB=2，∴AB=OA+OB=5，∴∠ACB=∠ABC，∵A与F关于DE对称，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠FED，∴AB∥EF，设点G的坐标为(a，eq\f(2,3)a2+eq\f(2,3)a﹣4)，∴E的纵坐标为eq\f(2,3)a2+eq\f(2,3)a﹣4，设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A(﹣3，0)和C(0，﹣4)代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣eq\f(4,3)x﹣4，把y=eq\f(2,3)a2+eq\f(2,3)a﹣4代入y=﹣eq\f(4,3)x﹣4，∴x=﹣eq\f(1,2)a2﹣eq\f(1,2)a，∴E的坐标为(﹣eq\f(1,2)a2﹣eq\f(1,2)a，eq\f(2,3)a2+eq\f(2,3)a﹣4)，∴EG=a﹣(﹣eq\f(1,2)a2﹣eq\f(1,2)a)=eq\f(1,2)a2+eq\f(3,2)a，过点E作EH⊥x轴于点H，如图2，∴sin∠EAH=，∴=eq\f(4,5)，∴AE=eq\f(5,4)HE=eq\f(5,4)(4﹣eq\f(2,3)a2﹣eq\f(2,3)a)，∴AE=EF=eq\f(5,4)(4﹣eq\f(2,3)a2﹣eq\f(2,3)a)，∵EG：FG=3：2，∴EG=eq\f(3,5)EF，∴eq\f(1,2)a2+eq\f(3,2)a=eq\f(3,5)×eq\f(5,4)(4﹣eq\f(2,3)a2﹣eq\f(2,3)a)，∴解得a=﹣3或a=1，当a=﹣3时，此时G与A重合，∴a=﹣3不合题意，舍去，当a=1时，∴AD=AE=eq\f(5,4)(4﹣eq\f(2,3)a2﹣eq\f(2,3)a)=eq\f(10,3)，∴D的坐标为(eq\f(1,3)，0)；(3)如图2，当≤t＜5时，此时△DEF与△AOC重叠部分为△DEF，∵BD=t，∴AD=AB﹣BD=5﹣t，∴AE=AD=5﹣t，过点E作EH⊥x轴于点H，由(2)可知：sin∠EAH=eq\f(4,5)，∴=eq\f(4,5)，∴EH=eq\f(4,5)(5﹣t)，∴S=eq\f(1,2)AD•EH=eq\f(2,5)(5﹣t)2，如图3，当2≤t＜时，过点D左DI⊥EF于点I，设EF与y轴交于点M，DF与y轴交于点N，此时△DEF与△AOC重叠部分为四边形EMND，∵AE=AD=5﹣t，∴CE=AC﹣AE=t，∵EF∥AB，△CEM∽△CAO，∴=，∴，∴EM=eq\f(3,5)t，∵AE=EF，∴MF=EF﹣EM=5﹣t，∵∠CAB=∠EFD，∴tan∠EFD=tan∠CAB=eq\f(4,3)，∴，∴MN=eq\f(4,3)(5﹣t)，∵DI=EH=eq\f(4,5)(5﹣t)，∴S=eq\f(1,2)DI•EF﹣eq\f(1,2)MF•MN=eq\f(1,2)×eq\f(4,5)(5﹣t)2﹣eq\f(1,2)×eq\f(4,3)(5﹣t)2=﹣t2+t﹣，如图4，当0＜t＜2时，设DE与y轴交于点M，EF与y轴交于点N，此时△DEF与△AOC重叠部分为△EMN，∵AE=5﹣t，∴CE=t，∵EF∥AB，∴△CEN∽△CAO，∴=，∴，∴EN=eq\f(3,5)t，∵∠MEN=∠ADE=∠ABC，∴tan∠MEN=tan∠ABC==2，∴，∴MN=2EN=eq\f(6,5)t，∴S=eq\f(1,2)EN•MN=eq\f(1,2)×eq\f(3,5)t×eq\f(6,5)t=t2，综上所述，当0＜t＜2时，S=t2；当2≤t＜时，S=﹣t2+eq\f(20,3)t﹣eq\f(20,3)；当≤t＜5时，S=eq\f(2,5)(5﹣t)2．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点A(﹣2，0)和点B(8，0)代入y＝ax2＋bx＋8，∴，解得，∴y＝﹣eq\f(1,2)x2＋3x＋8；(2)令x＝0，则y＝8，∴C(0，8)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)×2×8＝8，S△BOC＝eq\f(1,2)×8×8＝32，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴yx＋8，过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P(t，﹣eq\f(1,2)t2＋3t＋8)，则G(t，﹣t＋8)，∴PG＝﹣eq\f(1,2)t2＋4t，∴S△BCP＝eq\f(1,2)×8×(﹣eq\f(1,2)t2＋4t)＝﹣2t2＋16t，∴S四边形PBOC＝S△BOC＋S△BCP＝32﹣2t2＋16t，∴S＝S四边形PBOC﹣S△AOC＝﹣2t2＋