人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第06讲 拓展一：数列求通项（原卷版）

第06讲拓展一：数列求通项一、知识点归纳知识点一：数列求通项（SKIPIF1<0法、SKIPIF1<0法）1对于数列SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0；①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0法归类角度1：已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系；或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0例子：已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0角度2：已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系；或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0替换题目中的SKIPIF1<0例子：已知SKIPIF1<0；已知SKIPIF1<0角度3：已知等式中左侧含有：SKIPIF1<0作差法（类似SKIPIF1<0）例子：已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<02对于数列SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积记为SKIPIF1<0；①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0法归类角度1：已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系角度1：用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0例子：SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之积SKIPIF1<0.角度2：已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系角度1：用SKIPIF1<0替换题目中SKIPIF1<0例子：已知数列SKIPIF1<0的前n项积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.知识点二：累加法（叠加法）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“变差数列”，求变差数列SKIPIF1<0的通项时，利用恒等式SKIPIF1<0求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0知识点三：累乘法（叠乘法）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“变比数列”，求变比数列SKIPIF1<0的通项时，利用SKIPIF1<0求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0知识点四：构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为SKIPIF1<0（其中：SKIPIF1<0），由此构造出新的等比数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，从而求出数列SKIPIF1<0的通项公式.标准模型：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如SKIPIF1<0，可通过两边同除SKIPIF1<0，将它转化为SKIPIF1<0，从而构造数列SKIPIF1<0为等差数列，先求出SKIPIF1<0的通项，便可求得SKIPIF1<0的通项公式.（2）形如SKIPIF1<0，可通过两边同除SKIPIF1<0，将它转化为SKIPIF1<0，换元令：SKIPIF1<0，则原式化为：SKIPIF1<0，先利用构造法类型1求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0的通项公式.（3）形如SKIPIF1<0的数列，可通过两边同除以SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0的形式，从而构造出新的等差数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，便可求得SKIPIF1<0的通项公式.知识点五：倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的数列，通过两边取“倒”，变形为SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，从而构造出新的等差数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，即可求得SKIPIF1<0.类型2：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的数列，通过两边取“倒”，变形为SKIPIF1<0，可通过换元：SKIPIF1<0，化简为：SKIPIF1<0（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为SKIPIF1<0（其中：SKIPIF1<0），由此构造出新的等比数列SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0的通项，从而求出数列SKIPIF1<0的通项公式.）知识点六：隔项等差数列已知数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数）；或SKIPIF1<0则称数列SKIPIF1<0为隔项等差数列，其中：①SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项的等差数列，公差为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项的等差数列，公差为SKIPIF1<0；知识点七：隔项等比数列已知数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数）；或SKIPIF1<0则称数列SKIPIF1<0为隔项等比数列，其中：①SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项的等比数列，公比为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项的等比数列，公比为SKIPIF1<0；二、题型精讲题型01SKIPIF1<0法（用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0）1．（多选）（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是等比数列 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式为.3．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0的通项公式为．4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.5．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知各项为正的数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，依此类推，求SKIPIF1<0的通项公式.6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)将数列SKIPIF1<0和数列SKIPIF1<0中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前100项和.题型02SKIPIF1<0法（将题意中的SKIPIF1<0用SKIPIF1<0替换）1．（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0B．数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0不是递增数列D．数列SKIPIF1<0为递增数列2．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.4．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前n项的和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．5．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，证明：数列SKIPIF1<0为等差数列.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.题型03SKIPIF1<0法（已知等式中左侧含有：SKIPIF1<0）1．（多选）（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的前100项和为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的前20项和为2842．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；4．（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；5．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；6．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；题型04累加法1．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．4．（2023·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．5．（2023秋·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知数列{SKIPIF1<0}中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，(1)求数列{SKIPIF1<0}的通项公式；6．（2023秋·高二课时练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．7．（2023·全国·高三专题练习）若在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求通项SKIPIF1<0．题型05累乘法1．（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为．3．（2023·全国·高二专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（n∈N*），且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0.4．（2023·全国·高二专题练习）若数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.5．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）求数列SKIPIF1<0的通项.6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.题型06构造法1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的最小正整数SKIPIF1<0．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<