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文档简介

浙江省金华市名校2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数且的图象是()A. B.C. D.2.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.3.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}4.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.5.在中所对的边分别是,若,则()A.37 B.13 C. D.6.已知函数,若函数的所有零点依次记为,且,则()A. B. C. D.7.当时,函数的图象大致是()A. B.C. D.8.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.259.的内角的对边分别为,若,则内角()A. B. C. D.10.已知复数,则()A. B. C. D.11.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是A. B.C. D.12.已知,则()A.5 B. C.13 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,点是边的中点,则__________,________.14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.15.设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则______________.16.双曲线的左焦点为,点,点P为双曲线右支上的动点,且周长的最小值为8,则双曲线的实轴长为________,离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.18.(12分)在中,角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.19.(12分)第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项,329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动,努力让大家更多的了解军运会的相关知识,并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况,在全市开展了网上问卷调查,民众参与度极高,现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者,他们得分(满分100分)数据,统计结果如下:组别频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表),求,的值(,的值四舍五入取整数),并计算;(2)在(1)的条件下,为感谢大家参与这次活动,市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案:得分低于的可以获得1次抽奖机会,得分不低于的可获得2次抽奖机会,在一次抽奖中,抽中价值为15元的纪念品A的概率为,抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者,记Y为他参加活动获得纪念品的总价值,求Y的分布列和数学期望,并估算此次纪念品所需要的总金额.(参考数据:;;.)20.(12分)在平面直角坐标系中,设,过点的直线与圆相切,且与抛物线相交于两点.(1)当在区间上变动时,求中点的轨迹;(2)设抛物线焦点为,求的周长(用表示),并写出时该周长的具体取值.21.(12分)如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证:为直角三角形;(II)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.22.(10分)已知函数.(1)当时,解关于的不等式;(2)若对任意,都存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.【详解】由题可知定义域为,,是偶函数,关于轴对称,排除C,D.又,,在必有零点,排除A.故选:B.【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中档题.2、A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.3、C【解析】

根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.4、D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.5、D【解析】

直接根据余弦定理求解即可.【详解】解:∵,∴,∴,故选:D.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,属于基础题.6、C【解析】

令,求出在的对称轴,由三角函数的对称性可得,将式子相加并整理即可求得的值.【详解】令,得,即对称轴为.函数周期,令,可得.则函数在上有8条对称轴.根据正弦函数的性质可知,将以上各式相加得:故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的对称性,考查了三角函数的周期性,考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.7、B【解析】由,解得,即或,函数有两个零点,,不正确,设,则,由,解得或,由,解得:,即是函数的一个极大值点,不成立,排除,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.8、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.9、C【解析】

由正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换可得.【详解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故选:C.【点睛】本题考查正弦定理,考查两角和的正弦公式和诱导公式,掌握正弦定理的边角互化是解题关键.10、B【解析】

利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.11、D【解析】

先由是偶函数,得到关于直线对称;进而得出单调性,再分别讨论和,即可求出结果.【详解】因为是偶函数,所以关于直线对称;因此,由得;又在上单调递减,则在上单调递增;所以,当即时,由得,所以,解得;当即时,由得,所以,解得;因此,的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式,熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可,属于常考题型.12、C【解析】

先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】

根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.14、【解析】

取的中点为M,由可得,可得M在上,当最小时,弦的长才最大.【详解】设为的中点,,即,即,,.设,则,得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.15、【解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得,,即故答案为16、22【解析】

设双曲线的右焦点为,根据周长为,计算得到答案.【详解】设双曲线的右焦点为.周长为:.当共线时等号成立,故,即实轴长为,.故答案为:;.【点睛】本题考查双曲线周长的最值问题,离心率,实轴长,意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】

(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在区间上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;(3)取得到,取,可得,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解:(1)当时,设函数,则令,解得当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减所以当时,函数取得极大值,即极大值为,无极小值;(2)因为,所以,因为在区间上递增,所以在上恒成立,所以在区间上恒成立.当时,在区间上恒成立,当时,,设,则在区间上恒成立.所以在单调递增,则,所以,即综上所述.(3)由(2)可知当时,函数在区间上递增,所以,即,取,则.所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题,以及不等式的证明,构造函数是关键,属于较难题.18、(1);(2)【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.(2)若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.19、(1),,;(2)详见解析.【解析】

(1)根据频率分布表计算出平均数,进而计算方差,从而X~N(65,142),计算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每个取值对应的概率,列出分布列,计算期望,进而可得需要的总金额.【详解】解:(1)由已知频数表得:,,由,则,而,所以,则X服从正态分布,所以;(2)显然,,所以所有Y的取值为15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列为:Y15304560P所以,需要的总金额为:.【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数,方差,考查了正态分布,考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望,主要考查数据分析能力和计算能力,属于中档题.20、(1).(2)的周长为,时,的周长为【解析】

(1)设的方程为,根据题意由点到直线的距离公式可得,将直线方程与抛物线方程联立可得,设、坐标分别是、,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.(2)根据抛物线的定义可得,由(1)可得,再利用弦长公式即可求解.【详解】(1)设的方程为于是联立设、坐标分别是、则设的中点坐标为,则消去参数得:(2)设,,由抛物线定义知,,∴由(1)知∴,,的周长为时,的周长为【点睛】本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式,考查了计算能力,属于中档题.21、(1)见解析;(II).【解析】

试题分析:(1)取中点,连结,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明为直角三角形;(2)设,由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.试题解析:(I)取中点,连结,依题意可知均为正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以,即,从而为直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,由可得点的坐标所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,显然平面的一个法向量为,依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.法二:由(I)可知平面,所以,所以为二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,当时

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