2月大数据模拟卷03（广东专用）（解析版）高中数学

2月大数据精选模拟卷03(广东专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1-7/

1.i是虚数单位，若片=。+初(a,0eR),则加?的值是()

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】C

【详解】

l-7i_(l_7i)(2-i)_2-i-⑷-7__J3.

2+i~(2+i)(2-z)-5———l，

a=-l,h=-3,ab=3.

故选：C.

2.若全集。=;?,集合A={xeH|x2+X—6N0},集合8={xwR|/g(x-l)<0}，则(a4)口8=()

A.(-1,2)B.(1,2)C.(-3,2)D.(-3,1)

【答案】B

【详解】

由题意，集合4={》67?|/+彳一620}={%|_¥4-3或122},

集合B={xeR|/g(x-l)<0}={x[l<x<2},

则，A={x|-3<x<2},所以(4A)cB={x[l<x<2}=(1,2).

故选：B.

3.2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻

村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参

与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是()

A.3B.8C.12D.6

【答案】C

【详解】

1

若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为C；&=6种；

若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时

分配方法数为C；A；=6种.

综上所述，不同的分配方法种数为6+6=12种.

4.2020年全国脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续巩固脱贫成果.为进一步

推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的3个脱贫村与3乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实

施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为()

31045

A.-B.—C.-D.一

72177

【答案】A

【详解】

从7个村子中选2个共有=21种方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为C：+C；=9,

•••所求概率为尸=二9=士3.

217

故选：A.

5.已知数列｛可｝满足％=1,。2=4,。3=10，｛。N一%｝是等比数歹4，则数列｛。“｝的前8项和58=()

A.376B.382C.749D.766

【答案】C

【详解】

由已知得，。2-4=3,。3一。2=6,而-%｝是等比数列，故4=2,

3_3X2"T

(«„-«„-1)+(«„-i-。“-2)+・一(4-4)=3+6+•••+3x2"-2=二~~=3x2"-'-3，

1-2

=3x2"T-3，化简得q=3x2"T-2，

1_28

7s

S=4+%+…％=3x(1+2H--1-2)—2x8=3x------16=3x2—19=749

81—2

故选：C

6.已知函数/(x)的部分图象如下所示，则/(x)可能为()

2

COSX+1,/、xcosx+sinx

A./(x)=B.f(x)=-------------------

2X+2~X2X+2-X

cosx+xsinxcosx+xsinx

C.f(x)=D./0)=

2X-2-X2X+2-X

【答案】D

【详解】

由题意，函数的定义域为R,函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，

则选项C中，函数/(C=1的定义域为｛1।xN0｝不符合题意,排除C；

,,,一“乙、-xcos(-x)+sin(-x)xcosx+sinx.

对十B中，函数.f(—x)=——；=――2L"了⑴，

LI4W4IL

则函数/(%)为奇函数，不符合题意，排除B；

CCSY4-1

对于A中，函数g)=k"恒成立，不存在负值，不符合题意，排除A；

,,_,〜珏c,.cos(-x)-xsin(-x)cosx+xsinx

对于D中，函数/(—x)=-V齐一'=六力一/(x),则函数“X)为偶函数，且函数

2*+2'2*+2x

值可正、可负，符合题意.

7.已知向量满足忖=1，W=2,＜。,石＞=。，则,一耳=()

A.3B.7C.77D.&

【答案】D

【详解】

—•——•-•兀

V16?|=1,I1=2,且<〃,/?>=一,

3

/.a-b=|tz||^|cosy=1,

・,|。-5|=-2a3+4=Vl-2+4=5/3-

故选：D.

8.若关于x的方程/心-依=%2在(o,+?)上有两个不等的实数根，则实数。的取值范围为()

A.(―00,—1]B.(―00,-1)C.[-1,+co)D.

3

【答案】B

【详解】

.,Inx

lnx-ax=x9故。=-----%

x

贝以(x)=*x

八方卡_1=1—Inx—x2

x2

设g(x)=l-Inx-Y，x>0

故g(x)=」_2xv0

g(x)=l-Inx-f在(o,+?)上为减函数，g(l)=O.

故x£(0,1)时/(x)>。；^e(l,+oo)时f(x)v0.

1tn丫

故/(力=一一］在(0,1)上为增函数，在(1,+?)上为减函数.

/(Hmax=/⑴=-1，

且X—0,时/(X)-＞-OO；Xf+00,时/(%)一》-00

y=a与〃力=TInx一》的图象要有两个交点

则”的取值范围为(-8,-1).

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

TT

9.已知函数/(x)=sin(a＞x+0)(其中口＞0,0＜。＜万)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为一，

2

/目=1,下列结论正确的是()

A./(尤)=sin(2x+?J

B.将函数y=/(x)的图象向右平移已个单位后得到函数》=$山2》的图象

C.当xe(0,|^时，/(x)有且只有一个零点

4

/、TC

D./(X)在0,-上单调递增

【答案】ACD

【详解】

由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为/(看)=1,可得7=%，

27r7i

因为G>0,则7=——二乃，解得w=2,即sin(2x—+*)=1,

w6

解得—(p——卜2k7r、keZ,因为0<"<»，所以夕=—,

326

即函数/(x)的解析式/*)=sin(2x+/J,所以A正确：

对于B中，函数/(力的图象向右平移[个单位，得到g(x)=sin[2(x-5)+5]

666

TT

=sin(2x-w)的图象，所以B不正确；

6

对于C中，由所以2x+¥e(生,2工)，当x=3工时，函数/(且)=0,

k2)6661212

所以C正确；

对于D中，当xe0。时，2x+-6根据正弦函数的性质，可得函数/(X)在该区间上单调递

增，所以D正确.

10.己知加，〃是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是()

A.若〃z//〃,”ua,则加//0

B.若mHa,mH/3,anB=n,则〃

C.若〃机，则〃///7

D.若机_La,"_Lp,/〃_L〃，则0-1_4

【答案】BD

【详解】

A.若加//”,〃ua,此时na可能平行或异面，故A错误;

5

B.根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线“，可知B正确;

C.若加_La,m_L〃,a//£,此时〃u/?或〃///?,故C错误；

D.选取根〃上的方向向量D，则石为a,6的一个法向量，乂£工人所以。，万，可知D正确，

22

11.己知椭圆C:土+匕=l（a>人>0）的左、右焦点分别为"，入且忻61=2,点尸（U）在椭圆内部,

ab

点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A.制+|。耳的最小值为26-1

B.椭圆。的短轴长可能为2

c.椭圆c的离心率的取值范围为0,——

I2

D.若西=丽,则椭圆C的长轴长为6+J万

【答案】ACD

【详解】

A.因为|耳巴1=2,所以鸟（1,0）,|「鸟|=1,所以

|。耳|+|QP|=2G—|QKI+|QP|N26-|PEI=2jZ-l,当Q，E，P,三点共线时，取等号，故正

确；

B.若椭圆C的短轴长为2,则。=l,a=2,所以椭圆方程为三+二=1,-+->1,则点P在椭圆外,

2121

故错误；

C.因为点尸（LD在椭圆内部，所以又a—b=L所以〃=a—1,所以工+」一<1,即

abaa—\

2ri⑪3+>/^6+2\/5（1+Vs）~匚匚i、i/-1+^/5匚匚1>/51

〃2-3。+1>0，解得Q>———=--------=-~上/-，所以——,所以e='=<--------,

24424a2

所以椭圆C的离心率的取值范围为（0,咛］），故正确：

D.若丽=而，则”为线段PQ的中点:，所以。（一3,-1）,所以5+：=1,又a—8=1,即/一11。+9=0,

解得a="+病=22+2岳=（6+折）2,所以&=避上叵，所以椭圆。的长轴长为

2442

6

V5+x/17.故正确.

12.设函数〃x)=lnx,且与、*、x2G(0,+OO),下列命题正确的是()

1/(%,)-/(X,)

A.若x<x,,则一>八、2』

x2演—x2

B.存在毛€(石,龙2)，(,</)使得_=11--------

与演一工2

C.若西>々>1，则‘'‘一："'"<1

玉一起

/\\f(Xl)~f(X2)

D.对任意X1c々，总有不€(玉,％2)，使得了(与)4二—---------

X\~X2

【答案】BC

【详解】

1y_1

对于A选项，构造函数g(x)=x-lnx-l,其中xe(O,l),则g[x)=l--==——<0,

XX

所以，函数g(x)在(0,1)上为减函数，当xe(o,l)时，g(x)>g⑴=0,

因为％2>X|>0，则0<立<1,则g—=--In—•一1>0,即'—乜>lnX|-lnx2,

x2X2”“2

所以，_L<gC一/㈤,人选项错误；

x2xx-x2xX-x2

1x—\

对于B选项，当xe(l,+<»)时，g(x)=x-lnx-l,g'(x)=l——=:——>0,

XX

所以，函数g(x)在(l,+8)匕单调递增,当xw(l,+oo)时，g(x)>g(l)=0,

/\_

因为々>玉>0，则上>1，则g—=上一In±一1>0,即:"‘In/Tn%,

为Ix"X]%X|

所以，L〉g吧=g二，结合A选项可知，L以止

XX-XXX

l2Il-2X2Xt-X2%

1f(x.)-f(x2]111

若一='"，'',则一<一<一,所以，X,<Xo<x2,B选项正确；

X。X]一工2“2X0X|

对于C选项，由B选项可知，函数g(x)=x-lnx-l在。,+8)上单调递增，

龙2>1，则g(xj>g(w)，即X1-In*一］〉々-In/,则西一/>ln%—In/，

7

所以，In%<],即JGJ二,⑸<],c选项正确；

玉一々玉一工2

、“1/(^|)-fM1

对于D选项，取％=3,X,=4,由AB选项可知，一')<一,

x2x{-x2xx

则幺止

x1—x23143J

若存在天«3,4),则/(%)e(ln3,In4),此时，动,D选项错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)对任意的xeR都有〃x+6)-/(x)=3〃3),若>=〃x+l)的图象关于直线

%=_1对称，且/⑴=3,贝iJ/(2021)=.

【答案】3

【详解】

因为y=/(x+D的图象关于直线》=—1对称，

所以/(x)的图象关于y轴对称，所以为/(x)偶函数，

令X=-3则/(-3+6)-/(-3)=3/(3),所以"3)一1(-3)=3/(3),

又〃-3)=/⑶,则"3)=0

/(x+6)=/(x),所以周期为6,

所以/(2021)=/(—1)=/⑴=3,

故答案为：3

14.己知随机变量J~N(l,b2),若尸(<>3)=0.3,则P㈠qWl)=.

【答案】02

【详解】

因为4所以正态曲线的对称轴为尤=1,

因为PQ>3)=0.3,所以PC<-l)=0.3,

所以P(-l〈自41)=P化<1)-P(^<-1)=0.5-0.3=0.2.

8

6

15.在的展开式中，常数项等于

【答案】160

【详解】

、6\6-r

2Y/X+-L=的展开项的形式是c;=C12，x-3

yjX77

若为常数项，可得r=3

故常数项为C>23=160

16.如图，在四面体A8CQ中，ABVBC,CDLBC,BC=2,AB=CD=2#>，且异面直线AB与CD所成的

角为60，则四面体ABC。的外接球的表面积为.

【答案】20万或52万.

【详解】

将四面体补形为直三棱柱如下图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）:

图⑴

图(1)中48。'=60°,图(2)中NAB0'=12O°,

在图(1)(2)中可知：BC1AB,BC±BD',ABC\BD'=B,所以3CJ_平面4377,

图（1）（2）中取O'O"的中点O,连接QB，则。为四面体ABC。的外接球的球心，08为外接球的半

9

径,

图⑴中==且八4即为等边三角形，所以80，=_1竺=2'

zzcos30°

所以R=OB=y]00'2+B（y~=V22+l2=A/5,所以外接球的表面积为S=44店=20万：

图（2）中，OO'=-O'O"=-BC=\,且为等边三角形，所以BO'=AB=2G，

22

所以R=QB=yjoo'2+BO'2=J（2百）一+『=屈，所以外接球的表面积为S=4兀R2=52）；

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4-

17.从条件①2b—a=2ccosA,@ctanC—acosB=bcosA,③ccos5-。=中任选一个，补充在

下面的问题中，并给出解答.

在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且。=1,b=6，，求AABC的

面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

【详解】

解：选择①，因为2）-a=2ccosA,

所以由余弦定理得2b—a=2c"+c--"-="+。2-或,

2bcb

所以a2+A?—c?=",

所以由余弦定理得cosC="+/°2=0_=_L,而。为三角形内角,

2ab2ab2

所以sinC=——，

2

所以公ABC的面积为1a/7・sinC=—xlx>/3x-^-=—.

2224

选择②，因为ctanC-acosB=0cosA,

所以由正弦定理得sinCtanC-sinAcosB=sin8cosA,

所以sinCtanC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+3)=sinC.

又0vC<»，所以sinCwO,

io

所以tanC=l，而。为三角形内角，所以C=二，所以sinC=也，

42

所以AABC的面积为，“力sinC=，xlxJJx《l=在

2224

_4

选择③，因为ccosB-。,

4

所以由正弦定理得sinCeos8-sinA=^sinB,

即5sinCcosB-5sin(B+C)=5sinCcosB-(5sinBcosC+5cosBsinC)=4sin3,

所以sinB(4+5cosC)=0.

又0<5<)，所以sinBwO,

43

所以cosC=—A，而C为三角形内角，所以sinC=二，

55

所以△ABC的面积为—tz/?sinC=—xlx&x—=.

22510

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S„(neN*).

⑴若｛为｝为等差数列，％=-1,y=y,求S”和a”的表达式;

(2)若数列｛S“｝满足白+拉+…+^S“=3〃+5,求a“.

【详解】

解：(1)设等差数列｛/｝的通项为a.=4+(〃-l)d="l+("-1)"(。为等差数列的公差),

-1+5411

解得d=-2,

吟一1+4〃~9

所以。“=1一2〃，§〃(…)=〃(-1+1-2〃-

22

⑵(S]+…+：S"=3"+5’①

当〃22时，；S]+*S2+…+^rS“_]=3("-1)+5=3〃+2,②

11

由①一②得，5S“=3,S“=3x2",

当〃=1时，gE=8,S,=16,

cf3x2n,n>2,

所以S.={

16,n=1.

当”=1时，q=S[=16；

当〃=2时,a2=S2—S1=12—16=—4；

当〃23时，an=Sn-S“_|=3x2"T,

16,/?=1

所以=<-4,〃=2

3X2"T,〃N3

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，9_1_底面438,底面ABC。为直角梯形，AD//BC,AB1,AD,

PA^AB=BC,AD^2BC,E是的中点.

P

（1）证明：A£_L平面PBC；

（2）求二面角B—PC—。的大小.

【详解】

•.•A4,平面ABC。，AB\平面ABC。.ADu平面ABQ9,

：.PAA.AB^PALAD，

又•.AB_LAD，

：.AB^AD>A尸两两互相垂直，

以A为坐标原点，分别以反,相）,”所在直线为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系A-型，

12

设AB=1，则PA=BC=1,AD=2，

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(1,1,0),25(0,2,0),P(0,0,l),EQ,0,1

(1)证明：AE=I7^=(1,0,-1),=

因为施.丽=，一，=0,AE-PC=---=Q

2222

所以亚_L而，AE±PC>即AE_LPB，AE1PC.

又因为P3cPC=P,PBu平面PBC，PCu平面PBC，

所以AEJ_平面~BC.

（2）由（1）得平面PBC的法向量为在=（；,0,g

设平面PCD的法向量为7=（x,y,z），由加=（一1,1,0）,丽=（0,2,—1）得,

n-CD=-x+y=0,x=y<一/、

一一,，解A得1c，令y=L则平面PC。的一个法向量〃=（1,1,2）,

n-PD=2y-z=0[z=2y

AEn也

则cos<AE,n>=_M

呻'一2'

设二面角3-2。一£）的平面角为夕,由题知cos6=-cos<AE,n>=-

2

20.某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸

底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、"要加油''三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10

13

分，“良好”记5分，“要加油”记0分.现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如下所示:

等级优秀良好要加油

得分[120,150][90,120)[0,90)

频数127236

⑴若测试分数90分及以上认定为优良.分数段在[120,150],[90,120),[0,90)内女生的人数分别为

4人，40人，20人，完成下面的2x2列联表，并判断：是否有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良

有关？

是否优良

优良非优良总计

性别

力生

女生

总计

(2)用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、"良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现

再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为X,求X的分布列及数学期望£(1).

附表及公式：K;配岩(X而其中“=

P(K』。)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

【详解】

(1)解：依题意，完成下面的2x2列联表:

是否优良

优良非优良总计

性别

男生401656

14

女生442064

总计8436120

片」。黑；工言叽。—

故没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关.

(2)解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取1人,人，3人.现

再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和X的可能取值为15,10,5,0.

；：；

P（X=15）CICC=18=6

--^4-p（x=］。）*金）4515

P（X=5）=等吟啥P（X=。）上3__J

L^[0•JLJ%4515

所以X的分布列为:

X151（）50

2661

P

151515

2-八6_6cl八

所以E(X)=15x--F10xF5x---F0x—=8.

15151515

21.已知焦点在x轴上的椭圆C,其离心率为!，且经过点尸仓

2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点的直线/(斜率存在且不为0)与椭圆。交于两点T，Q,设。,且满足

\DT\^\DQ\,求实数》的取值范围.

【详解】

22

(1)设椭圆方程为与+=1（。>6>0）,

a

15

a2=b2+c2

L（即2

（后⑴

依题意得〈丁+『一1’

c1

e=­=—

a2

解得:a—2,b->/3

22

所以椭圆的标准方程是匕+匕=1.

43

y=kx+m

22

（2）设直线/为丫=丘+加，联立〈xv,整理得（3+4%2）/+防火+4〉12=0,

—+—=1

143

g、［-8km4m2-12

所以为+寸彳记5=引总

由A=64公祖2一4（4疗一12）（3+4公）＞0,整理得病＜3+4