3.2.1单调性与最大(小)值(1)课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义．2.掌握增(减)函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．3.能利用函数图象划分函数的单调区间.活动方案函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫作函数的单调性．下面进一步用符号语言刻画这种性质．活动一探究增函数、减函数、单调性、单调区间的概念先研究二次函数f(x)＝x2的单调性．画出它的图象(如图)，可以看到：

图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x≤0时，y随x的增大而减小；图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x≥0时，y随x的增大而增大．思考1►►►请你用符号语言描述上述单调性？思考2►►►函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？

【解析】

f(x)＝|x|在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－x2在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上单调递减．1.增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增(如图1)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减(如图2)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．

2.函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．思考3►►►(1)设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间I上单调递增吗？你能举例说明吗？(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？【解析】

函数f(x)＝x在区间(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减，在区间[0，＋∞)上是单调递增的．例

1画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)y＝－x2＋2；活动二探究函数的单调性【解析】

函数图象如图，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)．【解析】

函数图象如图，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间．例

2根据定义，

研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．画出函数y＝|－x2＋2|的图象，并写出单调区间．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间I上的函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．活动三探究函数单调性的证明方法①当x1，x2∈(－1,1)，即|x1|<1，|x2|<1时，|x1x2|<1，所以x1x2<1，即1－x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)单调递增．②当x1，x2∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，1－x1x2<0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)单调递减．综上所述，f(x)在区间(－1,1)上单调递增，在区间(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递减．运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间I上任意取x1，x2且在x1<x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：(1)取值：任取x1，x2∈I，且x1<x2；(2)作差：f(x1)－f(x2)；(3)变形：通常通过因式分解、配方或通分等途径将结果化为积或商的形式；(4)定号：判断f(x1)－f(x2)的正负；(5)小结：指出函数f(x)在给定区间I上的单调性．例

4设a为实数，已知函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围．活动四探究函数单调性的应用函数f(x)＝x2－3mx＋n在区间[－2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________.由函数的单调性求参数取值范围的两种方法：(1)利用单调性的定义：例如，由f(x1)>f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系．(2)利用函数的特征：例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．例

6已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)是增函数．活动五抽象函数的单调性的证明【解析】

设x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)>1，即f(x2－x1)－1>0.因为f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)，所以f(x)是增函数．因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)与f(x2)的大小，这时就要根据解题需要对抽象函数进行赋值．检测反馈245131.(2023·吉林田家炳高级中学高一期末)已知函数f(x)＝x2＋kx－1在区间[1,2]上是单调函数，则实数k的取值范围是(

)A.(－∞，－2]∪[－1，＋∞) B.[－4，－2]C.(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D.[－2，－1]【答案】C245132.(2022·重庆第十一中学高三阶段练习)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有(a－b)[f(b)－f(a)]>0，则不等式f(3x－1)<f(x＋5)的解集为(

)A.(－∞，3) B.(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)【解析】

任意两个不相等的实数a≠b，因为(a－b)[f(b)－f(a)]>0，所以a－b与f(a)－f(b)异号，故f(x)是R上的减函数，原不等式f(3x－1)<f(x＋5)等价于3x－1>x＋5，解得x>3.【答案】B24533.(多选)(2022·常熟中学高一期中)已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2，f(3)＝4，则下列结论中正确的有(

)A.f(x)为增函数

B.g(x)＝f(x)－x为增函数C.f(2x－1)>4的解集为(－∞，2) D.f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞)124531【解析】

对于A，对任意的x1<x2，则x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，可知f(x)为增函数，故A正确；对于B，对任意的x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2，即f(x1)－x1<f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，可知g(x)为增函数，故B正确；对于C，因为f(3)＝4，所以f(2x－1)>4等价于f(2x－1)>f(3)．又f(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>4的解集为(2，＋∞)，故C错误；对于D，f(2x－1)>2x等价于f(2x－1)－(2x－1)>1＝f(3)－3，即g(2x－1)>g(3)．又g(x)为增函数，所以2