【高中数学文化鉴赏】 斐波那契数列（解析）

【数学文化鉴赏与学习】

斐波那契数列

一、单选题

1.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,…，其中从

第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a,.=4用+%(〃€%”)，后来人们把这样的一列数组成的数

列｛4｝称为“斐波那契数列”.记出掇=，，则«i+%+%+―+%=()

A.*B.1C.tD.f+1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据斐波那契数列的性质进行求解即可.

【详解】

由“”+2=41+1+eN),得物磔=a2(>21+a2m.O=”202l+ai0i9+“238=…=

02021+“2019F43+=a2021+^2019F4/3+6/1=t,

故选：C.

2.意大利数学家列昂那多・斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列'’(斐波那契数列)：1,1,2,3,

5,8,13,21,34,55,在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草等)的瓣数恰是斐波那契数列中

的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列｛5｝满足：4=1,

%=1，4+2=q+1+4,，若阳+%+的+佝+%=%-。2，则女等于()

A.12B.13C.89D.144

【答案】A

【解析】

【分析】

根据斐波那契数列的性质进行求解即可.

【详解】

由斐波那契数列的性质可得：

a2+a3+a5+a1+al)+an=a4+a5+a7+a9+a„=4+%+q+”“=as+a9+a[t=a]0+a[t=62,所以人等于12,

故选：A

3.斐波那契数列指的是这样一个数列：4=1,%=1，当〃23时，4=4T+。“一2.学习了斐波那契数列以

后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学

报出的数为1,第二位同学报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若

班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的

同学有几个？（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意列出所报数构成的数列即可判断.

【详解】

由题意知所报数为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610...

a

a5,at0,%，2o-%5，，均为5的倍数，故有6个同学.

故选：C.

4.斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数

列｛4｝满足4=见=1，an+2=a„+a„+],先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）

A.—B.-C.-D.—

124312

【答案】A

【解析】

【分析】

根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】

由斐波那契数列的递推关系可知,前12项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

所以基本事件数共有12,

其中质数有2,3,5,13,89,共5种，

故是质数的概率为P=g

故选：A.

5.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列、此数列在现代物理、准晶体结构、化

学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛%｝可以用如下方法定义：4+2=4川+4,且4=%=1,若此

数列各项除以4的余数依次构成一个新数列也｝,则数列｛〃｝的第2022项为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据数列各项的规律可知也“｝是以6为周期的周期数列，由此可得力（22=4=0.

【详解】

由题意知：数列｛%｝为：1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，

则数列｛〃｝为：1/，2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,…，

即数列也｝是以6为周期的周期数列，=%7x6=4=0.

故选：A.

6.斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应

用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：4=/=1，%=a,i+%_2（wN3,〃eN*）.已

知交左土包土二这是该数列的第io。项，则机=（）

A.98B.99

C.100D.101

【答案】B

【解析】

【分析】

2

根据题意推出a；=a2a,,a,=a2a3-a2at,L,a；=amam+l-ama„^,

利用累加法可得£a,2=,即可求出m的值.

1=1

【详解】

由题意得,=«，因为《I=an-an-2，

aa

得aJ=42（43-q）=42a3_2\，

Uy=%（4-％）=a3a4~a3a2，

L,

a,n=册（q"+i一〃吁I）=（4向一，

a2aa

累加，得+…+„,=,nm+\,

222

因为竺±£s二二!91是该数列的第io。项，

a”,

即明乜是该数列的第100项，所以m=99.

故选：B.

7.意大利数学家斐波那契在1202年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列｛工｝,此数列满足：

6=工=1,且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即E,+2=Em+K（〃eN*）,则在该数列的前

2022项中，奇数的个数为（）

A.672B.674C.1348D.2022

【答案】C

【解析】

【分析】

先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项.

【详解】

耳=❷=1,故居=2,居=3,月=5,6=8,故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶），

且周期为3,

因为2022=3x674,故奇数的个数为674x2=1348,

故选：C.

8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时.，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,….

该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一

列数组成的数列｛为｝称为斐波那契数列，现将｛%｝中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为

｛〃,｝,则下列四个结论：

①/21=1；

②q+/+/+L+a2O2l=%022T；

③+瓦+by+…+力2021=2694；

④+6+4；+…+="2021“2022•

其中正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数列加“｝的周期性，结合数列｛4｝的性质进行求解判断即可.

【详解】

因为4=1,瓦=1,4=2,4=3,以=1,4=。，％=1,%=1，....

所以｛〃｝是以6为周期的周期数列，所以"⑼=2=1，所以①正确；

因为4+%+4+…+4⑼=337x8=2696,所以③错误；

因为％++…+4202/

=3一出）+（%—%）+（%一%）+L+（«2021-4«20）+（%022-602|）+（%23一生022）

=%>23一“2=生必T，所以②错误;

因为%+。；+可+…+6^2（p।=4a,+a；++…+a；（pi

/\22o2

=%（4+%）+%+•一+/021=%%+魅+•一+%021=，,»

所以q+。2+"3+，，，+%021="20206021+°2021=。2021(。202(>+%)2|)=%)21%)22，所以④正确，

故选：B

9.意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1,1,2,3,5,8,13,21...,在实

际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已

知斐波那契数列｛%｝满足：4=1,%=1，4+2=4川+q，若4+%+%+%+%=4-%，则%等于

()

A.12B.14C.377D.608

【答案】A

【解析】

【分析】

利用4+2=4+1+4可化简得出+%+%+%+%+%=%，由此可得化=12.

【详解】

由4*2=4+1+%得:

%+%+4+%+49+41=%+%+%+。9+41=ab++%+%=/+%+4I="10+=。12，

二.。3+。5+%+。9+。11=。12一。2，艮口2=12.

故选：A.

10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,

21,L.该数列的特点如下：前两个数都是1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们

把由这样一列数组成的数列｛%｝称为“斐波那契数列”，记5„是数列｛q｝的前"项和，则

3-SJ+(《一SJ+3一$3)+…+(4co-$98)=()

A.0B.1C.98D.10()

【答案】C

【解析】

【分析】

推导出当“22时，an+2-S„=l,结合为-耳=1可求得所求代数式的值.

【详解】

当〃22时，*+4=4+1，则。“=4+|一和,

—

故当2时，S“=q+%+qH---=q+(/-①)+(4-七)"1------1-(«„+|)

=(4+q+%+•••+%+|)一(4+%+%+■••+a,x)=«„+i+%一1，

此时a”+2-S“=an+i+a„-(a„+l+4,T)=1,

又因为%=2-1=1,Eljlfc,(03-^)+(04-S2)+(a5-S3)+--+(al00-593)=98.

故选：C.

11.意大利数学家列昂纳多•斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉

为是最美的数列，斐波那契数列｛q｝满足6=1,阻=1，若将数列的每一项按

照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前”项所占的格子的面积之和为S,,,每段螺旋线与其

C.al+ai+a5+--+a2„_l=a2n-]D.4(c„-c„,,)=7ran_2-a„+l(«>3)

【答案】C

【解析】

【分析】

A选项由前(〃+1)项所占格子组成长为见宽为的矩形即可判断；B选项由

4=的+*(〃23,〃eN*)结合累加法即可判断；

C选项通过特殊值检验即可；D选项表示出c„=%唠,作差即可判断.

【详解】

由题意知：前(〃+1)项所占格子组成长为宽为”向的矩形，其面积为

S"+|=(。”+a,,+\)a„+\=a„a,,+l+an+l'A正确；

a3=a2+ai,a4=a3+a2,---,an+2=a„+l+a„,以上各式相加得,

l-a+6rh=aHra

4+a4H--1-an+2=(%+%4----„+i)(i+«2---)>化简得a”+2-42\+^2'»»即

a,+a2+---+an=a„+2-1,B正确；

%=%=L“3=2,包=3,%=5,4=8,「.4+/+%=8w%—1=7,C错误；

易知％，，4(c“-c“_J=Md-aiJ”(a“-%)(a“+%)=F_24,+|(〃G3),D正确.

故选：C.

12.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为

“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用4表示斐波那契数列的第〃项，则数列｛/｝满

足：a,==1,an+2=an+l+an,记£4=q+生+…+，则下列结论不正确的是（）

/=!

A.《0=5B.3a„^an_2+an+2(n>3)

20192021

a

D.>0:=aO2l'2O22

c.Z4=%2

«=1i=l

【答案】c

【解析】

【分析】

根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.

【详解】

依题意，｛4｝的前10项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

即4O=55,A正确；

依题意，当〃23时，氏=4-i+4-2，

得3atl=a„_2+a„_,+a„+a„=a„_2+a„+1+a„=a„_2+a„+2,B正确；

aa=a

由给定的递推公式得：3~2t»"4-"3="2，…’"2021-42020="2019，

累加得“2021—“2=+'''+见（>[9，

于是有“I+4■1Ha2019=%021—“2=”2021—।，

2019

a

即Zi=。202|—1'C错误；

;=1

a；=a2-at,=a,•（a3-a,）=a,•a3-a2-a,,

a

,（“4-/）="3'%-,42，…，2O2）=a2021,（°2022-^2020）

a

="2021,“2022—“2021,“2020>累加得%+2++do2]=。202「“2022，D正确.

故选：c

【点睛】

思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求

通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.

13.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为

“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用。“表示斐波那契数列的第〃项，则数列｛4｝满

足：a,=a2=l,all+2=a„+l+an.,记£卬=q+%+…+4,则下列结论不正确的是（）

1=1

A.4()=55B.3an=a„_2+a„+2(n>3)

20192021

C.Z4="2021D.Ea；="2021,“2022

i=li=l

【答案】c

【解析】

【分析】

根据给定的数列的递推公式，逐项分析、推理计算即可判断作答.

【详解】

依题意，数列｛4｝的前10项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

即4=55,所以A正确；

当〃23时,an=%+a,,-2.3。,,=an_2+an_x+a„+a„=a„_2+an+l+a„=an_2+a,„2,

所以B正确；

由6=%=1，《,+2=%+i+%，可得名一%=4，％一%=/，…，生⑼一见侬=%皿，

累加得々021—。2=q+42+',,'*。2019

2019

则q+fitjTa2019="2021—"2="2021—"2=出⑼—1，即>,a：=生⑼-1,所以C错误：

i-i

由a：=a2at,cc,=a2(a3-at)=a2a3-a2at,a；=a3(a4-a2)=a3a4-a3a2,---,

“2021="2021(“2022—“2020)=%021”2022-”2021a2020,

所以a：+a；+…+磕21=a2021s)22，所以D正确.

故选：c.

14.数列｛%｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多・斐波那

契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列''.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该

数列｛%｝的前"项和为S〃，则()

A.&2022=$2021-1B.42022=0202()+1C.“2022=$2020+2D.a2022=^2021—

【答案】B

【解析】

【分析】

利用迭代法可得4+2=an+4,-1+an-2+4,-3H--------F4+4+1,可得。"+2=E,+1,代入〃=2020即可求解.

【详解】

由题意，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，

所以。”+2=«,.+%=+%i+«„=…=«„+«„-1+«,.-2++•••+凭+4+1，

所以an+2=S"+1，令〃=2020,可得%)22=$2020+1>

故选：B

【点睛】

关键点点睛：理解数列新定义的含义得出氏+2=%+4加，利用迭代法得出限

=%+%+a„_2+ay+…+生+4+1，进而得出*=S,+1•

15.斐波那契数列｛%｝满足4=见=1,4=4i+a.2（〃23）,其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐

222

波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出/；+0+…G。2］是斐波那契

“2021

数列的第（）项.

□SE3

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】C

【解析】

【分析】

由斐波那契数列的递推关系可得=%〃田-4+A，应用累加法求421=吊+城+…+嫁21，即可求目标

式对应的项.

【详解】

«„i=a；=a„a„a„-q=%=1，

由+限一a„,则+ltl(a„+2-an)=t2+la,^a„,又

aaaaaaaaaa

所以，2~32~i\>3~43~^2<…，“2021="2022。2021一&21。2020，

则（021="；+d+…+«2021="2。22“2。21，故上"；'…八=%。22.

（hoa%021

故选：c

16.斐波那契数列（Fibonaccisequence）,又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契｛Leonardo

Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,

13,21,34,….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为｛4“｝,则“；+a；+…+。；必=

（）

A.02020。2021B.。2020。2022C.。2021。2022D.々202202023

【答案】C

【解析】

【分析】

由4,+2=4+|+%，则4+1，且4=%,可得。；+嫉+…+说2|

~00°\+(。2a3—44)^(%020。2021—%019。2020)+(“2021%)22—a2021a2020)>化筒即可求解.

【详解】

2=«„iq

由已知条件可知凡+++a„,则a,l+l=a„+2-an,且=出，

C=aaa=aaaa-a=：aa-aa

则°；=°24，^.i{3~C)2i-2\<03=«3(«42)3423........

42()2()=%020(%021-阴019)=%020〃2021—^2()19^2020»

“2021=%0212022—“2020)=

(々生021/022—。2021生020,

上述各式相加得的+用+…+成⑶

~44+(%4—)+(%〃4—(^2020^^2021~%0192020)+(出021%022—^021^02())

=白2021a2022•

故选：C.

17.斐波那契数列又称“黄金分割数列“，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波

2022

那契数列｛a,,｝可以用如下方法定义：《=a,i+a,-2（"N3,"eN*）,«,=«,=1,则左=]2…2022）是

a2O22

数列｛q｝的第几项？（）

A.2020B,2021C.2022D.2023

【答案】D

【解析】

【分析】

2022

由题意结合递推关系式，采用累加求和可得的值，进一步做比值即可.

r=l

【详解】

由题意可得a：=1,

4；=生•（%-《）=’•6-1，

aa

4；=%（4-/）=%。4~32，

L,

—

々2022=%O22°（々2023々2021）=々2022,々2023—/022,020219

累力口f导：%+出+…+”2022="2022,02023，

2022

2

2022Va

即Z4="2022'42023，，=1_〃，

i=|一”2023

“2022

故选：D.

18.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,

8,该数列的特点是前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样

的一列数所组成的数列｛%｝称为“斐波那契数列”，数列｛为｝的前”项和为5.，则下列结论错误的是()

=

A.Sg=54B.---^^2019a2020

—

C.%+%+。6+48■**■02020="2021—1D.520,0+S20|,-52018^2017=a2021

【答案】D

【解析】

【分析】

利用'‘斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A、B、C、D逐一分析即可得答案.

【详解】

解：对A：S8=a,+«2+a3+...+as=1+1+2+3+5+8+13+21=54,故选项A正确；

对B：由“斐波那契数列”的定乂有02020=出019+=。239+“2017+%>16=02019+02017+0201502014

='''=fl2OI9+a2017+“2015+…+/+”2>

因为々=4,

所以4+“3+%+%+…+/019=。2020，故选项B正确；

对C：由“斐波那契数列”的定义有

“2021=/020+“2019=“2020+/018+々017=…=/皿+%018+%>16+…+%+'4+4，

因为6=1,

所以生+。4+4+a8+…+”2020=。202|-1，故选项C正确；

对D：^2020+$259—5刘8—SR”=(Sjoa)-52018)+($2019—^2017)=(。2019+“2020)+("10"+"刈9)="2021+“1020="2022>故选

项D错误.

故选：D.

19.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学

等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛%｝可以用如下方法定义：a„+2=an+l+a„,且4=%=1，若此数

列各项除以4的余数依次构成一个新数列也｝,则数列也｝的前2022项和为()

A.2698B.2697C.2696D.2695

【答案】C

【解析】

【分析】

根据a„=4,1+。，-2(〃…3,n€N"),4=%=1,递推得到数列｛%｝，然后再得到数列他,｝是以6为周期的周期

数列求解.

【详解】

因为=4T+4-2(”…3，〃€N"),at=a2=1,

所以数列｛为｝为1,L2,3,5,8,13,21,34,55,89/44,…

此数列各项除以4的余数依次构成的数列也｝为：1,123』,0,1,1,2,3,1,0,…

是以6为周期的周期数列，

2022

所以S=----(1+1+2+3+1+0)=2696.

2…O226

故选：C.

20.十三世纪意大利数学家列昂纳多・斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,

8,13,....即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契

数列.因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列下面关于斐波那契数列｛4｝的说法不正

确的是()

A.”2021是奇数B.H^2020=^2021

C.q+“3+%+…+“2021="2022D.+/+/+…+^2021=^2021^2022

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根据斐波那契数列的递推关系4+2+%及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解.

【详解】

因为｛可｝的项具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以外间是奇数，所以A正确；

因为4+4+“6+%+…+”2020=45+a6+…+a2O2O=…=4019+«2020=«2O21，所以B错误；

因为4+43+“5+…+”2021=42+4+a5+'"+a2O2l=4+%+…+42021=“2020+fl202l=42022，所以C正确；

因为a；+a；+%+•••+a：。,]=令火+a；++•■•+=a,14+a,)+药+,,,+

=%%+d-----卜&21=Ch,｛a2+4)"*---021=%%"1------^a2O21="'=a2O2ia2O22>所以D正确.

故选；B.

二、填空题

21.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,

55,89,144,…，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为.

【答案】1348

【解析】

【分析】

根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果.

【详解】

对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，

又2022=3x674,故该数列前2022项有674x2=1348个奇数.

故答案为：1348.

22.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,其中

从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列｛4｝称为“斐波那契数

列”，记5”为数列｛4,｝的前〃项和，则下列结论正确的是.

①S7=33②Sjozz=

(3)4+4+"5+','+"2021=02022④4J+++*■■+。2021=^2021^202^

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

根据斐波那契数列的定义验证各结论是否正确.

【详解】

S7=1+1+2+3+5+8+13=33,①正确；

a2024—%022+“2023="2022+“2021+“2022="2022+“2021+/020+“2021="'="2022+“2021+。+"2+43=

“2022+a2()21TF%+4+a2=S2lm+1,

所以$282="2024-1，②正确；

aa

%022=2O2l+2020=02021+“2019+“2018=02021+“2019h423+41,=<72021+02019F4+4，③正确

4+。2+%^。20212021a2022=4+%+。3*"02020+02021(42021一。2022)

=a；+aJ+…++咫02<；_a2021a2020=…=4：_=°，④正确.

故答案为：①②③④.

23.意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、

1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任

意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：

大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代

物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为｛%｝,其中4=%=1，有以下几个命

题：

①。"+%=4+2(”€叼；

②a；+a；+嫉+aj=%•%；

③q+%+%+…+”2021=。2022；

④寓+1=%,・%+2-1(〃€⑹).

其中正确命题的序号是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以4用=%+2(〃eN+),①正确.

a；+a；+=1+1+4+9=15,%y=3x5=15,②正确.

02O22=a2O2l+a2020=°2021+“2019+“2018

=42021+^2019+“237+^2016='''="2021+^2019+^2017+^20ISH%+&

=a202l+。2019+“2017+“2015F/+4，

所以③正确.

当”=1时，6”+|=q；=4,%,■。20+2—1="2，"4—1=lx3—1=2,所以④错误.

故答案为：①②③

24.斐波那契数列(Fibonaccisequence)又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1,1,2,3,

5,8,13,21,34,……已知在斐波那契数列｛4｝中，4=1,4=1,=4“+4,(〃eN.),若

生侬=机，则数列｛为｝的前2020项和为(用含，”的代数式表示).

【答案】+m

【解析】

【分析】

通过累加得到《,+2=%+S.即可求得前2020项和.

【详解】

由《,+2=4+1+4,，可知a“+i=4,+4-1，……，“4=%+%，%=%+%,

将以上各式相加得4+2+4+1+…+%=4+1+2a“+2a”_]+…+2%+4,

整理得。“+2=电+5“，

贝1」与。20=%022_出

故答案为：，〃-1.

25.历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利

数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，其中

从第三项起，每个数等于它前面两个数的和•后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现

有与斐波那契数列性质类似的数列｛q｝满足：4=2,包=10,且为+2=*+4(〃eN*)，记数列｛叫的

前〃项和为S,,,若5,=2852,则夕=.

【答案】7

【解析】

【分析】

根据递推关系写出｛可｝的前面若干项，利用并项求和法求得S,,从而确定P的值.

【详解】

a4=%+%=4+2a2=2al+2=10,/.a2=4,a3=6,

则数列｛4｝中的项依次为2,4,6,10,16,26,42,68,

又=4,a；=%(%—4)=4%—44,

可=%(44—%)=%%—“2%，=4(。5—%)=a4a5—，•••»

将上面的式子相加，可得S〃=an-an+｛-a1a2+4,又S7=%/一4％+4=42x68-2x4+4=2852,

:,p=Q.

故答案为：7

26.数列｛q｝：1,1,2,3,5,8,称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多・斐波那契

(Leman/。Fgowed)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列数学上，该数列可表述为q=%=1，

。〃+2=q+i+a.5eN*).对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公

式/=5卜上手)"-(上千)"等.借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到

心=%(4,+2-0,)=*4+1-%,必“,从而易得a；+a；+a；+…+底值的个位数为.

【答案】4

【解析】

【分析】

先根据=。向4+2-4,)=4+24m-4田4,将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求

得答案.

【详解】

因为=a„+,(a„+2-a„)=a,l+2an+l-an+la„,所以d+(生生一生q)+(g%—火生)+•.•+(426al27-@6%5)

=1—a2al+。1260127=。】26。127・

又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以气6,6的个位数字相同，出7，%的个位数字相同，易知

4=8,%=4+%=13,贝!]8x3=24,所以的个位数字为4.

故答案为：4.

27.1202年意大利数学家列昂那多一斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列.即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.

若此数列各项被3除后的余数构成一新数列｛%｝,则数列｛«„｝的前2022项的和为.

【答案】2276

【解析】

【分析】

由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以3的余数，可得｛4｝为l,l,2,0,2,2,l,0,l,l,2,0,2,2J..,知｛4｝是

周期为8的数列，即可求出数列｛《,｝的前2022项的和.

【详解】

由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以3的余数，可得｛%｝为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1是

周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9,又2022=252x8+6,.,.数列｛qj的前

2022项的和S2022=252x9+8=2276.

故答案为：2276.

28.斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入.已知斐波那契数列

｛4｝满足4=0，他=1，4+2=4用+““(〃€N"),若记《+/+%+…+。2019=加，

a2+a4+a(i+---+a2020=N,则4022=.(用M,N表示)

【答案】M+N+]

【解析】

【分析】

由已知两式相加求得S2O2O=N+M,q+%+为+…+”2019=M得5刈8=M-4=M，

=

a,+tz4+HF“2020=N得到$2019=N—1，从而得到“2020=$2020—5239，a2019^2019~^2018<利用

。〃+2=an+l+M可得答案.

【详解】

因为q+%+%+…+%OI9=M,

由4+%+。5+・・・+。2019=M，/+%+4+…+〃2020=N,得§2020=N+M，

所以q+(4+%)+(%+4)+(〃5+%)+…+(%017+。2018)=4+