2020-2021学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2020-2021学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题）.

1.双曲线2_式=1的渐近线方程为（）

x4

2.命题“若a>b,则a+l>6”的逆否命题是（）

A.若a+lWb,则B.若a+lV/?,贝!J〃>匕

C.若〃+1W〃，则QWZ?D.若a+lV匕,则

3.已知数列｛斯｝是等差数列，且。2+。3+。4=2r，则。3=（）

兀2兀4兀

A.—B.4—C.71D.三一

333

4.若函数/⑴满足f（x）4x3_/⑴.：K2-X.则/（1）的值为（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知p：x-x<0,那么命题p的一个必要不充分条件是（）

191

A.0<x<lB.-1<X<1C.—D.—<Zx<Z2

232

6.已知/(x)=<]则不等式X•/,（x）+x-2W0的解集是（）

A.{R-24W1}B.[x\x<2]C.{RxW-2或％21}D.{x\x^-2}

7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》

中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801

年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中

国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将正整数中能被3

除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列｛斯｝,则/=（）

A.103B.107C.109D.105

aQ+a日

8.已知数列｛四｝是等比数列，其前〃项和为S”，$2=302,则」一（）

al+»2

A.4-B.4C.2D.4

42

2.

9.设椭圆C:—+y2=i的左焦点为R直线/：y=kx（k¥0）与椭圆C交于A,B两点,

则|AH+|8F|的值是()

A.2B.273C.4D.473

10.若塞函数/(x)的图象过点(冬A),则函数g(x)=吗-的递减区间为()

A.(0,2)B.(-8,0)和(2,+8)

C.(-2,0)D.(-8,0)U(2,+8)

11.已知抛物线C：J=8x的焦点为尸，准线为/,P是/上一点，。是直线尸尸与C的一个

交点，若而=4而，则|QF|=()

75

A.—B.3C.—D.2

22

12.已知/(x)=x+l,g(x)=lnx,若/(即)=g(X2)，则刀2-修的最小值为()

A.1B.2+ln2C.2-ln2D.2

二、填空题(共4小题)・

13.命题“实数的平方都是正数”的否定是.

，x-y+2》0______

14.若尤，y满足约束条件<y+2>0,则日+了2的最小值为.

,x+y+240

15.若x>0,y>0,x+2y=l,则77肛一的最大值为.

2x+y------

22

16.设椭圆与■+Z或l(a>b〉0)的左右焦点分别为R,巳，点P在椭圆上运动，

|而1|x|PF^|的最大值为见呵•垣的最小值为“且机22%则该椭圆的离心

率的取值范围为.

三、解答题

17.已知mER,命题p：对VxE[0,1],不等式2x-22加2-3加恒成立；命题q：3xe[-1,

1],使得mCx成立.

(1)若p为真命题，求根的取值范围；

(2)若命题p和命题q有且仅有一个为真，求相的取值范围.

18.已知等差数列｛。”｝的首项为1,公差dWO,且〃8是。5与。13的等比中项.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

1*

(2)记bnh二一(n€N),求数列｛勾｝的前〃项和〃・

anan+1

19.已知椭圆0：彳，^l(a>b>0)的焦距为4,短半轴长为2.

abz

(1)求椭圆Q的方程；

(2)若直线/与椭圆。相交于A,8两点，点尸(-2,1)是线段A8的中点，求直线/

的方程.

20.已知函数无)-cir2-Inx(oGR).

(1)若曲线>=/(无)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,求。的值以及切线方程；

(2)当a=-l时，求/(尤)的极值.

21.已知抛物线E：f=4y的焦点为E过点尸的直线/与E交于A,C两点.

(1)求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直；

(2)过点尸作直线/的垂线与抛物线E交于2,。两点，求四边形A8CZ)的面积的最小

值.

22.已知函数/(x)—xlnx+(2-a)x+a-1,g(x)=ex-xe+x.

(I)若a=l,求/(x)的单调区间；

(II)若/(无)>1对xe(1,+8)恒成立，求实数。的取值范围；

(III)设a<2,求证：当尤(1,+8)时，恒有/(%)>g(无).

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.双曲线x2-X：=l的渐近线方程为（）

A.y=±^■尤B.y=±2xC.y=—'^~xD.y=

解：由双曲线g-匕■=1（a,b>0）的渐近线方程为〉=土与，

//a

可得双曲线x2_\=l的渐近线方程为〉=±2北

故选：B.

2.命题“若。>4贝!的逆否命题是（）

A.若“+1WZ?,则〃〉Z?B.若〃+lVb,贝!|〃>/?

C.若〃+lWb,则〃WZ?D.若贝ljQVZ?

解：•・,命题“若〃>4则。+1>6”的逆否命题

“若4+1Wb,则

故选：C.

3.已知数列｛斯｝是等差数列，且〃2+。3+〃4=271,则。3=（）

解：根据题意得〃2+。3+。4=3的=211,

则痣=等.

O

故选：B.

4.若函数/（x）满足f（x）=^x3-f‘（l）«x2-x-贝厅（1）的值为（）

O

A.0B.1C.2D.3

【解答】解；求函数/（x）=9-7'⑴•尤2-X的导数，

O

得，f（尤）—X-2fr（1）x-1,

把％=1代入，得，r（1）=i-if（1）-1,

：.f(1)=0,

故选：A.

5.已知p：x2-x<0,那么命题p的一个必要不充分条件是()

191

A.0<x<lB.-1cxe1C.—<x<—D.—<x<2

232

解：；p：x2-x<0^0<x<l^-1<X<1,

-1<尤<1推不出

；.p：x-x<0,那么命题p的一个必要不充分条件-

故选：B.

fl-x>2.,a

6.已知/(x)=<,则不等式(x)+x-2W0的解集是()

[-1,x<2

A.{x|-2WxWl}B.{x\x<2}C.{x|xW-2或x》l}D.{尤|x»-2}

解：当x22时，原不等式可化为V+x-2W0,

解可得，-2WxWl,此时尤不存在，

当尤<2时，原不等式可化为-尤?+x-2W0即f-x+2N0,

解不等式可得xeR,此时x<2,

综上可得，原不等式的解集为{x|x<2},

故选:B.

7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》

中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801

年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中

国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将正整数中能被3

除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{斯},则怒=()

A.103B.107C.109D.105

解：因为正整数能被3除余2且被7除余2,

所以正整数能被21整除余2,

所以an=2ln+2,

故的=21X5+2=107.

故选：B.

8.已知数列｛如｝是等比数列，其前“项和为S”S2=3Z,则()

al+a2

A.4B.4-C.2D.4

42

解：•・,数列｛斯｝是等比数列，S2=〃l+〃2=3〃2，

.•・41=2〃2，即4="^"，

9

贝工」广画+&2)=1

a+a

l2aj+a24

故选：A.

2

9.设椭圆C：匹+y2=i的左焦点为尸，直线/：y=kx(左#0)与椭圆C交于A,8两点，

则|AF|+|BE的值是()

A.2B.273C.4D.蛆

解：如图，设&是椭圆的右焦点，：。点为的中点，|OF|=|OF?I,则四边

形是平行四边形，.•.4尸=3凡.

：.\AF\+\BF\^\BF\+\BF2\=2。=4,

10.若塞函数/(x)的图象过点(零，1),则函数g(x)1警的递减区间为(

)

A.(0,2)B.(-8,0)和(2,+8)

C.(-2,0),0)U(2,+8)

解：设新函数/(%)=屁，它的图象过点

y,；.a=2；

2

:•于（X）X；

X2.2XX（2-X）

••.g（无）=3二则g,（x）=2xeXe=——；

x2x

eee

令婷（x）<0,即x（2-x）<0,解得：x>2或IV0,

故g（x）在递减区间是（-8,0）和（2,+8）,

故选：B.

11.已知抛物线CJ=8x的焦点为「准线为/,P是/上一点，。是直线尸产与C的一个

点,若而=4而，则|。引=（）

75

A.白B.3C.4D.2

22

解：设Q到/的距离为优则|。/|=4

••,昨=4而，

：.\PQ\^3d,

，不妨设直线PF的斜率为-华q=-2弧，

VF（2,0）,

・•・直线尸产的方程为丁=-2&（工-2）,

与>2=8%联立可得x=l,

・・.|QF|=d=l+2=3,

故选：B.

12.已知/（%）=x+l,g（无）=lnx,若/（为）=g（入2），则尬-阳的最小值为（）

A.1B.2+ln2C.2-ln2D.2

解：设/（即）=g（X2）=3

所以x\=t-1,X2=e,

所以％2-xi=e-什1,

令h（t）=e-Z+1,贝!J今（力=e-1,

所以/i（力在区间（-8,0）上单调递减，在区间（0,+8）上单调递增，

所以人（力min=h（0）=2.

故选：D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.命题“实数的平方都是正数”的否定是至少有一个实数的平方不是正数.

解：•••”全称命题”的否定一定是“存在性命题”，

命题”实数的平方都是正数”的否定是：

“至少有一个实数的平方不是正数”.

故答案为：至少有一个实数的平方不是正数

'x-y+2》0

14.若x,y满足约束条件■y+2>0,则Jx2+y2的最小值为

、x+y+240

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

Jx2+y2的几何意义是平面区域内的点到原点的距离,

由图象得0到直线x+y+2=0的距离最小，

此时最小值

则Jx2+y2的最小值是如,

故答案为：^2-

x

15.若x>0,y>0,x+2y=l,则/二的最大值为告.

2x+y—9—

]

解：因为孙#0,所以=21,

2x+y—■*~

yx

又%>0,y>0,x+2y=l,

所以2d=心△)(x+2y)=红e+5>2庐生+5=9,

yXyxyxVyX

当且仅当红上，x+2y=l,即x=y=2■时取等号，

yx3

故产二的最大值为

2x+y9

故答案为：F

y

22

16.设椭圆f^l(a>b>0)的左右焦点分别为Fi,尸2,点P在椭圆上运动，

iPFj|X|画|的最大值为处所♦垣的最小值为小且加22〃，则该椭圆的离心

率的取值范围为「L，1).

解:♦I尸乃|+|尸尸2l=2a,

：.\PF2\=2a~\PFi\(a-cW|叨|Wa+c),

2

.•.|PF1|«|PF2|=|PF1|(2a-|P为|)="|尸尸『+2。|「为|=-(|PFi|-a)+a

a-c^\PF\\^a+c

2

.,.|PFI|«|PF2|=-(IPF1I-a)We[Z?,a],

|呵|X|画|的最大值相=/；

设P(x,y),

则PF],PF2=(-c-x,-y)•(c-x,-y)

=x2+y2-c2=x2+-^z-(a2-x2)-J=(1」^)x2+b2-c2,

a2

VxG[-a,d\,/.xE[0,J],

・••南•画的最小值为n=b2-c2,

222222

由加22〃，得〃222(Z?-c)=2(tz-2c)=2a-4cf

.\a2^4c2,解得[,—91).

故答案为：或，1).

三、解答题

17.已知meR,命题p：对VxE[0,1],不等式2x-22加之_3加恒成立；命题q：3xG[-1,

1],使得加Wx成立.

(1)若p为真命题，求相的取值范围；

(2)若命题p和命题q有且仅有一个为真，求相的取值范围.

解：7u>对VxE[0,1],不等式2(m2-3m+2)恒成立

1

(m7-3m+2)W00(m-1)(m-2)2]；

-1,1],使得小Wx成立omWlomc(-8,i],

(l)p为真，则皿[1,2],所以机的取值范围为[1,2].

(2)命题p和命题4有且仅有一个为真，即p与q一真一假，

当p真夕时，m£[l,2],mg(-8,l]=>me(1,2],

当q真p时，me(-8,1],mg[l,2]=>me(-°°,1).

所以机的取值范围为(-8,1)u(1,2].

18.已知等差数列｛斯｝的首项为1,公差dWO,且〃8是。5与〃13的等比中项.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

1*

(2)记bnh二一(n€N),求数列｛儿｝的前〃项和

an及n+1

解：(1)等差数列｛斯｝的首项为1,公差dWO,且恁是。5与的3的等比中项,

可得〃82=〃5。13，即为(l+7d)2=(l+4d)(1+12J),

解得d=2(0舍去)，

可得斯=1+2(〃-1)=2n-1；

(2)"〃anan4.1(2n-l)(2n+l)2(2n-l2n+l)

数列｛儿｝的前〃项和G=看

2n+l)

2oouZn~~1

—(1——-_)=^L_

22n+l2n+l

19.已知椭圆Q：号三-l(a>b>0)的焦距为4,短半轴长为2.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线/与椭圆。相交于A,B两点,点尸(-2,1)是线段A8的中点，求直线/

的方程.

解：(1)由题意可知2c=4,6=2

所以X=4,C2=4,a2=b2+c2=8

22

所以椭圆Q的方程为心

84

f22

xi了1一

8+~T~1

（2）设A（xi，yi）,B（念，>2），由题意得，

22

I841

2_22_

两式相减，得x「X2

=0'

84

即（勺+乂2）（3

-xp+(y1+y2)(yi-y2)

=0,

84

yi-yxl+x2

所以直线/的斜率k7~~-2

xrx22。1+丫2）,

因为点尸（-2,1）是线段AB的中点,

所以为+x2=-4,%+以=2,所以％=1

所以直线/的方程为厂1=（X+2）,即I->3=0.

20.已知函数/(x)=x-ax-Inx(tieR).

（1）若曲线>=/（%）在点（1,/（I））处的切线斜率为-2,求〃的值以及切线方程;

（2）当〃=-1时，求/（%）的极值.

解：（1）f（x）的导数为

f(x)=1-lax--

x

由题设，f(1)=-2a=-2,

解得4=1,

此时/(I)=0,切线方程为y=-2(%-1),

即2x+y-2=0；

(2)当a=-1时，/(x)=x+f-Inx,

f(x)=l+2x-』=2J+'-l

x

(2x-l)(x+1)

(x>0),

令/（x）〉0,可得%>/,令/（%）V0，可得OVxv/,

可得了=方I处/（入）取得极小值，且为卷2+/限.

21.已知抛物线及f=4y的焦点为尸，过点歹的直线/与E交于A,。两点.

（1）求证：抛物线E在A、。两点处的切线互相垂直;

(2)过点f作直线/的垂线与抛物线E交于8,。两点，求四边形A8C。的面积的最小

解：（1）证明：设过点尸（0,1）的直线方程为：y=kx+\,

fy=kx+l,

由｛°,得x--4Ax-4=0,

lx2=4y

设A（xi，yi）,C（尤2，丫2），

（X[+x2=4k

设抛物线E在点A、C两点处的切线的斜率分别为所，心

故抛物线E在A,C两点处的切线互相垂直.

(2)由(1)知IACI=(〃+I)

i

同理[8。|=4（—5+1）

121

：.S^ABCD^-\AC\\BD\=8（K+1）（1+丁）