2023年云南省保山市统招专升本高数自考真题(含答案)

2023年云南省保山市统招专升本高数自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

1.

设函数y=y（z）由方程e"=h—y所确定，则dy|,=<,=)

A.2dlB.2

C.d.rD.3&r

2.

1.若函数/(.I)=lg(.r2—3^+2)的定义域为F,函数g(.r)=lg(.r-1)+lg(x—2)的

定义域为G.则()

A.FUG=0B.F=G

C.FCGD.FZ)G

3.

设/(.r)在［1,2］上可枳.且/(I)=l./(2)==—1.则|-

(

A.-1B.0C.1D.2

4.

广义积分「eT'dr=()

〜不存在B.一3C.-i-D.2

5.

当彳—>0时与1—cost等价，则1im=()

r-*i?xsinj

A.0B.C.1D.8

6.

下列级数收敛的是()

y(-1)»_J—

A邑»+iB£叩+：)

C.Vsin-D・羽

7.

]父=e—士+cos八[।

设函数y=j，(H)由参数方程J所确定•则孚=()

=d+sin?d/'r-n

A.0B.1C.2D.-2

8.

(1>)T-f1(ABr

设A.B都是”阶方阵，|A|=-2,|B|=3,则=()

4nO2ir-1£

A.~~z-B.-C.---D.-

3333

9.

若|a|=3"力|=4,且向量Q、b垂直•则|a+bI=()

A.-5B.5C.--12D.12

10.

当上f0时,下列无穷小量中与ln(l+2.r)等价的是()

A.xB.-yj'C.jr2D.2J

11.

,极限in看+-『工=(

3j-2—1+1

A.OB.3C.4-D.-1

12.

用待定系数法求微分方程y-y-6jr=1小的特解时，应设V

B.a—e"

：u3

CT2(cur+b)cD.J+6)c'

13.

设八①)在［0,2］上连续，令，=2.，则|"(2T)d?=

A.jB.

C.2/⑺出D.j./(/)dz

14.

当if0时3+/是sin.r()的无穷小.

A.高阶B.低阶C.同阶D.等价

15.

aresin(1-x)

函数y=的定义域是()

A.[0,2]B.(1,+8)C.(1.2]口幻

16.

1十1

代数方程2+工父=0的根才)

3+

*34

A--nn

C.--

11D•一5

17.

aex•彳《0,

若/(X)=V1在才=0处连续，则a

rcos---F1,1>0

X

B.1

C.—1D.2

18.

已知d[e^/(x)]=e'dr,且已。)=0,则/(j)=

A.*+crB.c"-cz

C.c2r+c-D.j一5r

19.

1-sin_z-sina

lim=()

才x-a

A.0B.cost?C.1D.sin«

20.

设y=/"公),/•为可导函数，则用=()

aJr

A.sinj-2f(siirr2)B.cos/f(siirr2)

C.2j"siru2/'(sinj,)D.2^cos.r2f'(sin/)

二、填空题（10题）

21.

由方程arctan*=InJ个+.y?确定的隐函数y=J（J"）的导数=

X

已知.y=cos\r,则y"(-y)=

22.6

*1

23/1f1-e

,尸一1

24已知函数/Q）=＜（］一］），则点工二1是人力的间断点.

25设函数v=arctan2-r•则dy=

8

26哥级数-的收敛半径口=

耗级效X(-1""?一1尸的和函数为

27.

I4

28函数N=eH'在区间内是凸的.

29函数y—ln[ln(lnjr)]的定义域为

帮级数七(二一2)"的收敛域为

30.*=”4+1

三、判断题(10题)

函数/lx)=亡与/(a)=In①的图形是关于原点对称的.

31.A.否B.是

函数＜y=/'(1)在J-Q处可导.则lim」)----.............—丰Jo).

32.2hA.

否B.是

33.

已知丫=ln[ccs(10+3./)」•则dy=—6.rtan(10+3/〉.()

A.否B.是

34.

lim1+2"=oo.()

/-0工

A.否B.是

35.

6.设函数/（二■）=siitr,rW［a骨］,由拉格朗日中值公式得存在［£储力）,使sin。一sin”

=cos?•(b-a).)

A.否B.是

y=sinjr是方程y"+1y=0的通解.

36.A.否B.是

7-r24-Q

曲线y=-■-的垂直渐近线为］=±1.

37.)A.否B.是

在区间［-1，口上.函数/（.r）=,“3满足罗尔定理.

38.“工十1A.否B.是

/<-/)=(—+1产与g(.r)=.r+1不是同一函数.，^口

39.A.否B.是

若lin")=2,则a=1.

40.…”>A.否B.是

四、计算题（5题）

求不定积分［arc：ane'd］

41.

1-10］

已知A=01-1,且满足AX=2X+A.求矩阵X.

—101

42.

2

43求函数y=ln(l+.r)的凹凸区间及拐点.

44求由曲线》，=V及了="所围成的平面图形的面积.

45.

设F(jr)=/(Ag(i),其中函数/(H),g(x)在(―人+―)内满足以下条件：

/'(1)=g(jr)>gz(J*)=/(1)，且/(0)=0,/(z)+g(u7)=2eJ♦

求出F(4)的表达式.

五、证明题(2题)

证明：当1>0时，T=>Ind+x).

%/1+.f

46.

47.

已知f(z)=2(e，—1一1)是定义在区间10.+8)上的非负可导函数.证明：当z>0

时•/(,r)>x2+

六、应用题(5题)

48.

求由曲线1=y+e',直线.r==l,.y=2围成的平面图形的面枳S,并求该图形

绕.y轴旋转•周所得的旋转体的体积.

49.

要建造一个容积为16n(单位：m1)的圆柱形蓄水池.已知侧面单位造价为a(单

位：元),池底单位造价为侧面单位造价的两倍，问应如何选择蓄水池的底半径r和高/，,才

能使总造价最低.

某商品的需求量Q关于价格P的函数为Q=75一尸.

（1）求P=4时的需求的价格弹性，并说明其经济意义；

⑵P=4时，若价格提高1%，总收益如何变化.

50（结果保留两位小数）

51.

要建造一个容积为16n（单位:m1）的圆柱形蓄水池.已知恻面单位造价为a（单

位：元）,池底单位造价为侧面单位造价的两倍，问应如何选择蓄水池的底半径，・和高/，.才

能使总造价最低.

52.

设需求函数为P+O.1Q=80,成本函数为C（Q）=5OOO+2OQ,其中Q是商品的需求

量，P为商品价格•计算边际利润函数,以及Q=150.400时的边际利润,并解释其经济意义.

参考答案

1.A

【精析】方程两边对了求导数得平+»=1—义整理得半=曰导

\ax）d、rd、r1十九）

将I=0带入方程，得y=-1,所以dy=|+'dw=2dl.

.r=01十（）

2.D

[答案1D

【精析】由题可知尸={"/-3上+2>0}={.r|]>2或丁V1},G={丁|工

—1>0且]-2>0}=<①|丁>2}.故GuF.

［答案］D

=j：f(T)|—f/(-r)cLr

【精析】xf'(x)<\x=Til/(X)

IJI

=2/(2)-/(I)-「/(U)心•

J)

=2-1-(-1)=2.

3.D故选D.

［答案］C

【精析】|e-2,d<r=—1-e-21——1-X(0-1)=-y.

4C1“411

5.B

［答案1B

【精析】由题意可知,/(—与l—cosi等价.则

X2

/(x)1，1—cosx「21

rlima<—：——=lim------：------=lim--------=—.

.rsin.r.•---<!Tsin.r,­。彳•iZ

6.A

【精析】A项中，玄(-1)，—二为交错级数，lim工=0,且由莱布

占w+1L8n+1n+1〃+2

sin-g［

尼茨判别法知其收敛；9=1,而2人发散，由比较判别法

«-♦<»1n♦«>1n_j71

nn

的极限形式知B、C项均发散;D项中.lim[=8,故发散.

w-»ooflI

7.D

［答案1D

【精析】$•=—1—sin?.膂=d+cost,故祟e'+ccsf

—1-sin//-o

8.C

【精析】由于(从尸=《4T.A，=|A|4-'•可得

R

|(4.AB)'-y(.4B),|=|2(AB)-'—y|.ABI'(AB)-1

=2(AB)-1—4-IA||B|•(,AB)

=||=1"|AB

?2L

［A||B|3~

9.B

【精析】|a+，|=\/(fl+b)•(a4-£>)=-Jcr+b2+2a•b=5.

10.D

［答案1D

【精析】由于lim皿空出=lim=1,所以当1fo时。与ln(l+2.r)等价.

-r*0LX.r-。4JT

1+2---L

+4—］「‘十才/1

【精析】lim=hm------；-----j-

3/2—JT+1

-一3-±+-1

11.C

12.D

［答案1D

【精析】特征方程为，一「一6-0.特征根为乃=-2,心=3,因此；I=3是特征方

程的特征单根.所以特解应设为＞,=+6)c”.故应选D.

13.B

［答案］B

【精析】「/(2.r)d.r=4T/(27「(2T)'二」】⑺山.故应选B.

Ju/JuZJKl

2

【精析】lim/.+I=lim-~=lim(a+1)=1,故应选D,

14.Dx*0SI11*2'JT-*0①才-H

15.C

一1w1—1w1.

【精析】为使函数有意义，须有即1V、rW2.故函数的定义域为

>0,

(1.2口•故选C.

16.D

［答案］D

1+J--2()1-20

【精析】2+3才2+/02+31=111+6=0,

x3+10_930-23

所以」—

17.B

【精析】lim/(.r)limae*=a=/(0),lim/(才)XCOS：+1)=1.由于

JT■**(>+

f(x)在i=0处连续•故a=/(0)=1•即a=1.

18.B

［答案］B

【精析】对＜1［针'/(1)］=e'dr两边同时积分有］［-'/(.「)丁dr=卜&、即有针丁(丁)=

e，+C.两边同时乘以e:即得./(.7-)=/+Ce",又/(0)=1+C=(),即得C=-1.于是

,/(.r)=e2j—e「故应选B.

yyrsiru—sinacos.r

［稍析Jhm-----------------=vlim---=cosa.

19.B………1

20.D

，［答案］D

【精析】学=［/(sinM)了=/^fsin-r2)•(siru")'=2.zcos.r2j'(sirur2).

d.r

21.

jr+》

x-y

【精析】两边对上求导•得----------4£二2'=-；♦乌±3二.整理

1+(±)2X-2，-+一

JC

得》，=£±>,

/一y

22.

［答案1-1

【精析】y=cos'1.贝!jy'=-2COSJsiru'=—sin2-r.y'=-2COS2J>yr(-^-)=

-2cos—­=—1.

23.

【精析】1备"=£洋de-+1)|：=屈e+1)—In2=

In婴.

24.可去

【精析】limf(i)=limf------=lim3±J.=2.且y(.r)在①=1处无定义*故

LiLi、r(《r-1)x-ix

z=1为/(.r)的可去间断点.

25.

［答案］舟"

【精析】由函数N—annan2”9则y---浮F

1-

2-、-d_x

则dy=1I4工百・

26.3

]

【精析】因04=nl-i*moo3___-产1___'=»l-oio(m77+3)3祟=《3，则收敛半径R=3.

(w+2)3"

27.

[答案1--

【精析】易求该塞级数的收敛半径R=1，所以当|七一1IV1,即0V*V2时辕级

数收敛.

V(-1严'(了-1)"=-Y(1-J-)"=-^_4-------=-—(0<J<2).

G言]一(1—1)M

28.(-1,1)

【精析】yf=-je=—e犷+j2e去'=e(J2—1).

令y"V0,得/—1V0,即一1VhV1.

29.

(e.+)

［答案］（e,十'x）

'.!■>0.>0,

【精析】要使函数y=有意义,必须满足｛n，>0,=<才>1.

ln（IHJT>>0-r>e♦

取三者交集可得.r>e.

30.

［1.3）

]

【精析】因为p=lim|""II=lim十2-]jni1：+=1■.故收敛半径为R=—

H-*«>I<2nIn-*oo1L8/〃+2P

，“+]

=1,即当一lV_r-2Vl,即1VnV3时，原级数收敛.

当了=1时，原级数为X1)一‘因为a,=_J,-/J一-=a中，lima”=lim'J’

仁x/n+1A/M+1s/n+2……+1

=0,所以收敛.

当《=3时，原级数为玄-，发散.

n=0VW4-1

所以，原级数的收敛域为［1.3）.

31.N

【精析】因为¥=e，所以了=Iny,函数/＜.r)=e，与/(J)=Iru"互为反函数，图像

关于J=/对称.

32.N

［精析］limW一/。_")=lim.勺—?一』＜”)=,(.r。).

h-ohA-o—h

33.N

［答案］x

【精析】y=―s'"7f:|:6"=-6.rtan(10+3./),故dv=-6.rtan(10+3］')dr.

［答案］V

【精析】lim1土■=lim/—+2\=oo.

34Y"''/

35.Y

【精析】..,/(•r)=sinj,A/(.r)在［a,，］上连续，在(a,6)内可导，且/(.r)=cos/,

A由拉格朗日中值公式得存在E63力，使吗-4皿=cos^即sin6_sinfl=

b-a

cos^•(〃—”).

36.N

【精析】通解中含有任意常数.故.y=sin.r不是方程的通解，但y=sin_r满足y"+y

=。，是该方程的解.

37.Y

【精析】因为lim学*=8,hm马色=8,所以曲线的垂直渐近线为了=±1.

X-1JC-1工-1上~-1

38.Y

【精析】因为“工)在［-1.口上连续，在(一1,1)上可导，且/(-D=/(I)=1,所以

KI)满足罗尔定理.

39.Y

【精析】/(.r＞的定义域是.r+l20,即工2—1，小工)的定义域是R.则/(a)与gQ)

不是同一函数.

40.N

【精析】因为lim(匚士红+“”)=1311(1+“)”+2］=2,所以。+1=0,即”=-1.

N.3Tln-*3

41.

【精析】ar£tane=—arct<inerde'

JeJ

=­e-jarct4,ane/+i「—d~.r~77

J1+产

=—「arctane，+1一］；/)di

=­c-rarctane7+.r-----ln(1+c2r)+C

42.

1-10100-1-10、

【精析】A-21011-20100-1-1

-101001-10-1

*.*AX=2X+A,且A-2I\=—2,：.A-21可逆，X=(A-21)-'A.

-1-1010O'-1-1010c

n—r]

[(A-21)U]0-1-1010-------------A0-1-101C

-10-100101-1-101

匕+r>-10100(—2-20200)

2r>

0-2-20200-20111

00-2-11100-2-111

-2001-11

0-201-1

00—2-111

111

100

222

1

门，—•一2111

010；

222

11

001

222

111

222

111

BP(A-21)1=

222

11

222

因此

111

~~2~2-T

1-1°]II°1-1

X=(A—21)"A=01—101

~2~2~2T=

—101-10

111；1

222

43.

【精析】函数的定义域为（-8.+8）“'=2xn_2-

TT~^,y=(i尸

令；/'=o,可得,=士1,当『£（―3’,—1）时，y"vo.函数为凸的；当？e（—1.1）

时./>0,函数为凹的；当1e（1,+8）时V0,函数为凸的.

且当了——1时，.y=In2;当.r=1时.》=ln2,

故函数的凸区间为（一8,—1）和（1.+2）.函数的凹区间为（一1,1）,拐点为（一1.

In2)和(1.1112).

44.

[精析]S=r(77-x2)da-=1

J<i\oJ/“333

45.

【精析】由已知可得了"(『>=［，'(『)［'=//)=八］)，

且当J=0时,”0)+g(0)=2,*(0)=/(0)=2-/(0)=2,

所以得微分方程：

f/(.r)-/(.r)=0,

|/(0)=0/(0)=2.

方程/(J)-/(.r)=0的特征方程为r-1=0,其特征根为n=-l,r2=1.

1y

故/(-r)=C'Ie'—C'2e»/(J)=e—C2e

将y(0)=0./\0)=2代入/(.r)、/'(.?).得C1=l.C=-1.

所以满足条件的fS=-e-er.

又因为g<.r)=/(J)=e'+e',

--/r_1-2,

所以F(j)=g(J)y(a)=(e+e")(e—e)=e*'—e.

46.

【证明】原不等式即为ln(l+z)>0,令/(x)=•，上一In不+z),则

v/r+7yr+7

A/1+X

27TT7］=%+2-2ym~

f'(工)—--------

1+x1+H2(1+X)VT+7

(A/TTT-I》>0(x>0),

2(1+x)vT+7

故故工)在［0,+8)上单调增加，则故工)>故0)=0(。>0),

即当之>0时,「_ln(l+外>0成立•故原不等式成立.

>/r+7

47.

【证明】设F(M=f(.r)—&2一千,(工二0),

V

则F'(.r)=2(eJ—1)—2.r—x2,

r(a)=2ex-2-2.r=2(eJ-x-1)=/(x)>0