2023-2024学年高二数学上学期期末复习专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型

专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总知识点梳理一、椭圆的基本量1.如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径． 图(1) 图(2)2.如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4.设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．1.eq\f(2b2,a)2.b2·taneq\f(θ,2)3.a＋ca－c4.－eq\f(b2,a2)二、直线与椭圆1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．答案：1.(1)①相交②相切③相离2.eq\r(,1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(,1＋\f(1,k2))|y2－y1|三、双曲线的基本量运算1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2.如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.焦点到渐近线的距离为________．4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为________．答案：1.eq\f(2b2,a)2.eq\f(b2,tan\f(θ,2))3.b4.eq\f(b2,a2)四、点差法 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴五、第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；

乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；

丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．（2023佛山·高二期末）（多选）已知曲线的方程为，则可能是（

）A．半径为的圆B．焦点在上的椭圆，且长轴长为C．等轴双曲线D．焦点在上的双曲线，且焦距为（2023上·广东惠州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列判断正确的是（

）A．若，则是圆，其半径为B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是两条直线（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（

）A．当或时，曲线是双曲线B．当时，曲线是椭圆C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则（2023上·江苏徐州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C不可能表示一个圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为（多选）已知曲线，（

）A．若，则C的离心率是B．若，则C的离心率是C．若，则C是双曲线D．若，则C是椭圆（2023·广东汕头·统考二模）（多选）已知曲线，，则下列结论正确的是（

）A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为（2023宝安中学期中）若方程表示椭圆，则m的取值范围是.（易错）【题型2】双曲线的渐近线相关计算（2023·深圳高二统考期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A． B． C． D．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（

）A． B． C． D．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（

）A． B． C． D．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．（2023上·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（

）A．1 B． C． D．【题型3】求焦点三角形面积已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为A． B． C． D．已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，的面为________已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【题型4】定义法求轨迹如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（

）

A．圆 B．射线C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（

）A． B．C． D．（2023上·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为.（2023上·广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程.【题型5】设点运算求轨迹方程已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为，求的方程已知交轴于两点，为上位于轴上方的动点，将上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线，求曲线的方程已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程在平面直角坐标系中，已知动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为，求动点C的轨迹方程已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线,求的方程（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为．已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为,求双曲线的方程【题型6】光学性质椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为；S的取值范围为．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则.圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于．圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的渐近线方程为．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（

）

A． B． C． D．【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于A．4 B． C．2 D．3已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（

）A． B．1 C． D．2模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为A．2 B． C． D．【题型9】直线与椭圆距离最短（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（

）A． B． C． D．【题型10】线段和差最值问题（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于.（2023上·广东佛山·高二统考期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为．【题型11】焦点弦的最小值（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点，若的最小值为，则周长为.【题型12】焦半径的最小值问题（2023·深圳一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为．（2023·温州一模）已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．【题型13】利用基本不等式求最值函数的图象恒过定点，若点在双曲线上，则的最大值为A．6 B．4 C．2 D．1已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为A．12 B．10 C．9 D．8设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的焦距为12，则面积的最大值为A．72 B．36 C．18 D．9模块三：求离心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为A． B． C．2 D．3已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为A． B． C． D．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【题型15】余弦定理用2次椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （）A．B．C．D．设分别为椭圆的左、右焦点，点均在上，若，，则椭圆的离心率为 （）A．B．C．D．【答案】B已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．4已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为A． B． C． D．【题型16】构造齐次化方程（2023上·广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【题型17】双焦点三角形模型：导边已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【题型18】利用几何性质求离心率已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为