2023年天津高考数学真题（含解析）

2023年高考数学天津卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.1,3,5 B.1,3 C.1,2,4 D.1,2,4,52.“a2=b2”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.若，则a,b,c的大小关系为（）A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c4.函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（A.5ex−C.5ex+5.已知函数fx的一条对称轴为直线，一个周期为4，则fx的解析式可能为（A. B.C. D.6.已知an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2A.3 B.18 C.54 D.1527.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.82458.在三棱锥P−ABC中，线段PC上点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（A.19 B.29 C. D.9.双曲线x2a2−y2b2(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A.x28−C.x24−二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i是虚数单位，化简的结果为_________．11.在2x3−1x12.过原点一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p>0)于点P13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．14.在△ABC中，∠A=60∘，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b，则可用a,b15.若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在△ABC中，角所对的边分別是a,b,c．已知a=39,b=2,（1）求sinB（2）求c的值；（3）求sinB−C17.三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥（1）求证：A1N//平面（2）求平面与平面ACC1（3）求点C到平面的距离．18.设椭圆x2a2+y2b（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形19.已知an是等差数列，．（1）求an的通项公式和．（2）已知bn为等比数列，对于任意k∈N∗，若（Ⅰ）当k≥2时，求证：；（Ⅱ）求bn的通项公式及其前n20.已知函数．（1）求曲线在处切线的斜率；（2）当x>0时，证明：fx（3）证明：．2023年高考数学天津卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.1,3,5 B.1,3 C.1,2,4 D.1,2,4,5【答案】A【解析】由∁UB={3,5}，而所以∁UB∪2.“a2=b2”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由a2=b2，则a=±b，当由a2+b2=2ab，则(a−b所以a2=b2故选：B3.若，则a,b,c的大小关系为（）A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c【答案】D【解析】由y=1.01x在R上递增，则由y=x0.5在上递增，则a=1.0所以b>a>c.故选：D4.函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（A.5ex−C.5ex+【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(−2)=f(2)<0，由5sin(−x)(−x)当x>0时5(ex−e−x)x2+2故选：D5.已知函数fx的一条对称轴为直线，一个周期为4，则fx的解析式可能为（A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2=4，C选项中T=2ππ4=8，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值sinπ2×2=0，故2,0对于B选项，当时，函数值cosπ2×2=−1故选：B.6.已知an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】由题意可得：当n=1时，a2=2a1+2当n=2时，a3=2a1+联立①②可得a1=2,q=3，则故选：C.7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于r=0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D选项错误故选：C8.在三棱锥P−ABC中，线段PC上点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（A.19 B.29 C. D.【答案】B【解析】如图，分别过M,C作MM'⊥PA,CC'⊥PA,垂足分别M',C'.过B作BB'⊥平面PAC，垂足为因为BB'⊥平面PAC，BB'⊂平面又因为平面PBB'∩平面PAC=PB'，NN'⊥PB'，在中，因为MM'⊥PA,CC'⊥PA在△PBB'中，因为BB所以VP−AMN故选：B9.双曲线x2a2−y2b2(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A.x28−C.x24−【答案】D【解析】如图，因为F2c,0，不妨设渐近线方程为y=b所以PF2=设∠POF2=θ,则tanθ=因为12ab=12c⋅yP,所以Pa因为F1−c,0，所以所以2a2+2所以双曲线的方程为x22−二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i是虚数单位，化简的结果为_________．【答案】4+i##i+4【解析】由题意可得5+14i2+3i故答案为：4+i.11.在2x3−1x【答案】60【解析】展开式的通项公式Tk+1令18−4k=2可得，k=4，则项的系数为−14×故答案为：60.12.过原点一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p>0)于点P【答案】6【解析】易知圆x+22+y2=3和曲线y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以OP=2p3当k=−3故答案为：6．13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．【答案】①.0.05②.35##【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为25%×4n=n，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为50%×6n=3n，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，PA记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有2n+n+3n=6n个，白球共有9n个，所以，PB=9n15n=14.在△ABC中，∠A=60∘，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b，则可用a,b【答案】①.14a【解析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=两式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因为BF=13BC，则得到AF+即3AF=2a于是AE⋅记AB=x,AC=y，则AE⋅在△ABC中，根据余弦定理：BC于是AE⋅由x2+y故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，则x=y=1时，有最大值1324.故答案为：14a+15.若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为_________．【答案】−∞,0【解析】（1）当x2−ax+1≥0时，a−1即a−1x−1若a=1时，x=−1，此时x2若a≠1时，x=1a−1或若方程有一根为x=−1，则1+a+1≥0，即a≥−2且a≠1；若方程有一根为x=1a−1，则1a−12−a×若x=1a−1=−1时，a=0（2）当x2−ax+1<0时，a+1即a+1x−1若a=−1时，x=1，显然x2若a≠−1时，x=1或x=1若方程有一根为x=1，则1−a+1<0，即a>2；若方程有一根x=1a+1，则1a+12若x=1a+1=1时，a=0综上，当a<−2时，零点为1a+1，1当−2≤a<0时，零点为1a−1，；当a=0时，只有一个零点；当时，零点为1a−1，；当a=1时，只有一个零点；当时，零点为1a−1，；当a>2时，零点为1,−1．所以，当函数有两个零点时，a≠0且a≠1．故答案为：−∞,0∪三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在△ABC中，角所对的边分別是a,b,c．已知a=39,b=2,（1）求sinB（2）求c的值；（3）求sinB−C【答案】（1）1313（2）5（3）【解析】【1】由正弦定理可得，asinA=bsin【2】由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=−7（舍去）．【3】由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都为锐角，因此cosC=1−故sinB−C17.三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥（1）求证：A1N//平面（2）求平面与平面ACC1（3）求点C到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）43【解析】【1】连接MN,C1A.由M,N分别是BC,BA的中点，根据中位线性质，MN//AC由棱台性质，A1C1//AC，于是MN//A1C1，由MN=A1C1=1可知，四边形MNA1C1是平行四边形，则A【2】过M作ME⊥AC，垂足为E，过E作EF⊥AC1，垂足为F,连接由ME⊂面ABC，A1A⊥面ABC，故AA1⊥ME，又ME⊥AC，，平面ACC1由AC1⊂平面ACC1A1，故ME⊥AC1，又EF⊥AC1由MF⊂平面MEF，故AC1⊥MF.于是平面与平面ACC又ME=AB2=1，cos∠CAC1=15，则于是cos【3】[方法一：几何法]过C1作，垂足为P，作C1Q⊥AM，垂足为Q，连接，过P作PR⊥C由题干数据可得，C1A=C1C=由C1P⊥平面AMC，AM⊂平面AMC，则，又C1Q⊥AM，C1Q∩C1P=C又PR⊂平面C1PQ，则PR⊥AM，又PR⊥C1Q，C1Q∩AM=Q，C在Rt△C1又CA=2PA，故点C到平面的距离是P到平面的距离的两倍，即点C到平面的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C到平面的距离为.VCVC−由VC1−AMC18.设椭圆x2a2+y2b（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为e=12.（2）y=±6【解析】【1】如图，由题意得a+c=3a−c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以椭圆的方程为，离心率为e=ca【2】由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为可得A设直线A2P的方程为联立方程组x24+y2由韦达定理得xA2⋅所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直线A219.已知an是等差数列，．（1）求an的通项公式和．（2）已知bn为等比数列，对于任意k∈N∗，若（Ⅰ）当k≥2时，求证：；（Ⅱ）求bn的通项公式及其前n【答案】（1）an=2n+1，i=（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)bn=2n，前【解析】【1】由题意可得a2+a则数列an的通项公式为a求和得i==2=2【2】(Ⅰ)由题意可知，当时，bk<取n=2k−1，则bk当2k−2≤n≤2取n=2k−1−1据此可得2k综上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，2k+1则数列bn的公比q满足2当k∈N∗,k→+∞时，2−所以2k−1<b当k∈N∗,k→+∞时，2−所以数列的通项公式为bn其前n项和为：Sn20.已知函数．（1）求曲线在处切线的斜率；（2）当x>0时，证明：fx（3）证明：．【答案】（1）13（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【1】f(x)=ln(x+1)所以f'(2)=