2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题（含解析）

2023年新课标全国Ⅱ卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1.在复平面内，1+3i3-i对应的点位于（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A⊆B，则A.2 B.1 C. D.3.某学校为了解学生参加体育运动情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．AC40045⋅C20015C.C40030⋅C2004.若fx=x+aln2x-1A. B.0 C.12 D.15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2ABA. B.23 C.-23 6.已知函数fx=aex-lnxA.e2 B.e C.e-1 7.已知α为锐角，cosα=1+54A.3-58 B.-1+58 C.8.记Sn为等比数列an的前n项和，若，S6=21S2A.120 B.85 C.-85 D.-120二、选择题9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（A.该圆锥体积为π B.该圆锥的侧面积为43C.AC=22 D.△PAC10.设O为坐标原点，直线y=-3x-1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，且与C交于M，N两点，A.p=2 B.MNC.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN11.若函数fx=alnAbc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-βB.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-βC.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-βD.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题13.已知向量a，b满足a-b=3，a14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．15.已知直线与⊙C:x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为8516.已知函数fx=sinωx+φ，如图A，B是直线y=12与曲线的两个交点，若四、解答题17.记△ABC的内角的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为，D为BC中点，且AD=1．（1）若∠ADC=π3（2）若b2+c18.an为等差数列，bn=an-6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn（1）求an（2）证明：当n>5时，Tn19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率pc=0.5％时，求临界值c和误诊率（2）设函数fc=pc+qc，当c∈95,105时，求20.如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，（1）证明：BC⊥（2）点F满足EF=DA，求二面角21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:22.（1）证明：当0<x<1时，x-x（2）已知函数fx=cosax-ln1-2023年新课标全国Ⅱ卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1.在复平面内，1+3i3-i对应的点位于（A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为1+3i3-i则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.故选：A.2.设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A⊆B，则A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为A⊆若a-2=0，解得a=2，此时A=0,-2，B=若2a-2=0，解得a=1，此时A=0,-1，B=综上所述：a=1.故选：B3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A.C40045⋅C200CC40030⋅C20030【答案】D【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400600=40根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C40040⋅C4.若fx=x+aln2x-1A. B.0 C.12 D.1【答案】B【解析】因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln当a=0时，fx=xln2x-12x+1，2x-1则其定义域为xx12或f-x故此时fx为偶函数.故选：5.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2ABA. B.23 C.-23 【答案】C【解析】将直线y=x+m与椭圆联立y=x+mx23+y因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36m2-4×4设F1到AB的距离d1,F2到AB则d1=|-S△F1ABS故选：C.6.已知函数fx=aex-lnxA.e2 B.e C.e-1 【答案】C【解析】依题可知，f'x=aex-1设gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e≥1a，即a≥1e7.已知α为锐角，cosα=1+54A.3-58 B.-1+58 C.【答案】D【解析】因为cosα=1-2sin解得：3-588.记Sn为等比数列an的前n项和，若，S6=21S2A.120 B.85 C.-85 D.-120【答案】C【解析】方法一：设等比数列an的公比为q，首项为a若q=1，则S6=6a由，S6=21S2可得，，由①可得，1+q2+所以a11-故选：C．方法二：设等比数列an的公比为q因为，S6=21S2，所以q≠-1从而，S2所以有，-5-S22=S当S2=-1时，S2易知，S8+21=-64，即当S2=5与矛盾，舍去．故选：C．二、选择题9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（）．A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4C.AC=22 D.△PAC【答案】AC【解析】依题意，∠APB=120°，PA=2，所以OP=1,OA=OB=3A选项，圆锥的体积为13×π×3B选项，圆锥的侧面积为π×3×2=23C选项，设D是AC的中点，连接OD,PD，则AC⊥OD,AC⊥PD，所以是二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO=45°，所以OP=OD=1，故AD=CD=3-1=2，则AC=2D选项，PD=12+12=故选：AC.10.设O为坐标原点，直线y=-3x-1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，且与C交于M，N两点，A.p=2 B.MNC.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN【答案】AC【解析】A选项：直线y=-3x-1过点1,0，所以抛物线C:y所以p2=1,p=2,2p=4，则A选项正确，且抛物线C的方程为B选项：设Mx由y=-3x-1y2=4x解得x1=3,x2=1C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d1因为d=1即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线y=-3x-1，即O到直线3x+y-3=0所以三角形OMN的面积为12由上述分析可知y1所以OM=所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.11.若函数fx=alnA.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 【答案】BCD【解析】函数f(x)=alnx+bx因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数在(0,+∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2-bx-2c=0于是Δ=b2+8ac>0x1+x2=ba>0x1x2=-2c12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-βB.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-βC.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-βD.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2，对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-β)⋅β⋅对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C32β(1-β对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-α)单次传输发送0，则译码为0的概率P'=1-α，而因此P-P'=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0故选：ABD三、填空题13.已知向量a，b满足a-b=3，a【答案】【解析】法一：因为a+b=则a2+2a又因为a-b=则a2-2a法二：设c=a-由题意可得：c+2b2整理得：c2=b故答案为：.14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】28【解析】方法一：由于24=12，而截去的正四棱锥的高为所以正四棱锥的体积为13截去的正四棱锥的体积为13所以棱台的体积为32-4=28.方法二：棱台的体积为13故答案为：28.15.已知直线与⊙C:x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85【答案】2（2,-2,1【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案为：2（2,-2,116.已知函数fx=sinωx+φ，如图A，B是直线y=12与曲线的两个交点，若【答案】-【解析】设，由AB=π6可得由sinx=12可知，或x=ωx2+φ-ωx因为f23π=sin8π3所以f(x)=sin所以fx=sin又因为f0<0，所以f(x)=sin故答案为：-3四、解答题17.记△ABC的内角的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为，D为BC中点，且AD=1．（1）若∠ADC=π3（2）若b2+c【答案】（1）35；（2）b=c=2【解析】【1】方法1：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC=π3，则S△ADC=1在△ABD中，∠ADB=2π3，由余弦定理得即c2=4+1-2×2×1×(-12)=7sinB所以tanB方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC=π3，则S△ADC=1在△ACD中，由余弦定理得b2即b2=4+1-2×2×1×12=3，解得b=C=π6，过A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcos所以tanB【2】方法1：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得c2整理得12a2+2=b又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，则2AD=AB于是4AD2+CB2又S△ADC=12×3×1×所以b=c=A18.an为等差数列，bn=an-6,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn（1）求an（2）证明：当n>5时，Tn【答案】（1）an=2n+3；（2）【解析】【1】设等差数列an的公差为d，而b则b1于S4=4a1+6d=32T所以数列an的通项公式是a【2】方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)当n为偶数时，bn-1Tn当n>5时，Tn-S当n为奇数时，Tn当n>5时，Tn-S所以当n>5时，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)当n为偶数时，Tn当n>5时，Tn-S当n为奇数时，若n≥3，则T=32n2+52当n>5时，Tn-S所以当n>5时，Tn19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率pc=0.5％时，求临界值c和误诊率（2）设函数fc=pc+qc，当c∈95,105时，求【答案】（1）c=97.5，q(c)=3.5%；（2）f(c)=-0.008c+0.82,95≤c≤1000.01c-0.98,100<c≤105，最小值为【解析】【1】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95<c<100，所以c-95×0.002=0.5%，解得：c=97.5q(c)=0.01×97.5-95【2】当时，f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002；当时，f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002,故f(c)=-0.008c+0.82,95≤c≤100所以fc在区间95,105的最小值为0.0220.如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，（1）证明：BC⊥（2）点F满足EF=DA，求二面角【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【1】连接AE,DE，因为E为BC中点，DB=DC，所以DE⊥因为DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60∘，所以△ACD与∴AC=AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E，AE,DE⊂平面ADE，所以，BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，所以BC⊥【2】不妨设DA=DB=DC=2，∵BD⊥CD，∴BC=2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC,DE∩BC=E，DE,BC⊂平面BCD∴AE⊥平面BCD．以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设D(2设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1二面角D-AB-F平面角为θ,而AB=因为EF=DA=-2∴-2x1+2y2-2z所以，cos