2020-2021学年嘉兴市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年嘉兴市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.定义集合的商集运算为9={x\x=-,mGAneB),已知集合4={2,4,6},B={x\x="l,k€

n2.

A},则集合（UB元素的个数为（）

A.7B.8C.9D.10

2.己知sin(a-E)=5则cos（a+壬的值等于（）

D越

BD--3C---2

3

3.已知函数/（%）是定义在R上的奇函数，/（2）=0,当x>0时，有唠豌./螳y电成立,则不

等式昌•舞蹴>期的解集是（）

A.C-WUXMB.G鸣TL猴瀚

c.玛-阳讨络笄晦D.G即年3孰激

4.8.下列命题为真命题的是

A.己知&bwR,则“二二《一？”是且b<。”的充分不必要条件

ab

B.已知数列2分为等比数列，则“处<％<%”是的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面（x,P，若两条异面直线加，方满足肛二比,苏u尸且耀//p,w//a,则

a//P

D.3x0e（-x,O）,使3*，<4成立

a+log2x,当xN2时，

5.已知函数=h」在点x=2处连续，则常数a的值是（）

------，当x<2时

.x-2

A.2B.3C.4D.5

6.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成

一个三棱锥形的铁架，贝M的取值范围是（）

A.(0,&+血)B.(1,272)

C.(a一显，巫+&)D.(0,2盘)

7.在AABC中，b2=a2+c2-ac,若AC=26,则△ABC面积的最大值为()

A.V3B.2V3C.3V3D.473

8.函数y=simi(2x+V)的最小正周期是()

A.1B.JiC.2兀D.47r

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知a,b为正实数，则下列命题正确的是()

A.若。2-/?2=1,则a-b<1B.若5=1，则a—b<1

C.若e。—eb=1,则a—b<1D.若，na—Inb,贝i］a—b<1

10.已知函数/(%)=cos2x+>/5sin2x,贝鼠)

A./(x)的最小正周期为兀

B.是奇函数

C.当*=1兀+，(卜€2)时，/(%)取得最大值

D./(%)在［*币上单调递增

11.设z为复数，则下列命题中正确的是()

A.\z\2=z'z

B.Z2=|z|2

C.若|z|=1,则|z+i|的最小值为0

D.若|z-l|=l,MO<|z|<2

12.某同学在研究函数/(x)=V^TT+-4x+5的性质时,受两点间距离公式的启发，将/(%)

变形为/(x)=_0)2+(0_1)2+7(x-2)2+(0-l)2.则下列关于函数f(无)的描述正确的

是()

A.函数在区间［1,+8)上单调递增

B.函数〃乃的图象是中心对称图形

C.函数/(%)的值域是［2&,+8)

D.方程f(/(x))=1+有无实数解

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.log23-log34+(第三+72x78=

14.已知角a终边上一点P(-4,3),求s讥a的值.

15.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张

大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是.

「、口△A

①②③④

16.已知函数/(%)=M+3%-Q,若对任意％G[l,+oo),/(%)>。恒成立，则a的取值范围为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知全集(/=/?,集合4={泪1<2><4},集合B={y|y+8)}.

(1)当。=1时，求An(QB)；

(II)若4nB=4且4U(Q；B)=U,求实数a的值.

已知/(x)=一贬sin(2x4--^)4-6sinxcosx-2cos2x+lxeR

18.20、

-.7T.

⑴求“X)的最小正周期(2)求在区间99最大值与最小值。(13')

19.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是北，经过一段时间

f后的温度是r,则有7一1=(%-1)•(；)『，其中「表示环境温度，内称为半衰期且方=1D

.现有一杯用89汇热水冲的速溶咖啡，放置在25。(：的房间中20分钟，求此时咖啡的温度是多少度？

如果要降温到35。(2,共需要多长时间？dg2«0,301，结果精确到0.1)

20.已知函数f(x)=V3sin((ox+尹)+2cos2丝券-l(w>0,0<cp<兀)为偶函数，且f(x)图象的相

邻两个最高点的距离为小

⑴当％6[-也曾时，求/(X)的单调递增区间；

(2)将函数/(X)的图象向右平移3个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的“纵坐标不变)，得到

函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在区间[-a金上的最大值和最小值.

21.已知函数f(x)=谟+3(a>0,a丰1)的图象经过点(1,7).

(I)求y=/(x)的解析式；

(H)用函数单调性的定义证明：函数/。)=/0)-/(-乃是/?上的增函数.

22.已知函数/⑺=2(初+1)9+4洗x+2四一卜

(1)物为何值时，函数的图象与x1轴有两个交点？

(2)如果函数的一个零点在原点，求欢的值.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

求出B={x|x=号一l,k64}={0,1,2),从而5=[0,；1)，由此能求出集合多U8元素的个数.

本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

解：•••集合的商集运算为2==

D71

集合4={2,4,6},B=(x\x=^-l,kEA}={0,1,2),

：•一={0,-,一,-,一，1},

AI2346)

—UF=[0,1,2}.

Al2346)

・・.集合元素的个数为7个.

A

故选：A.

2.答案：B

解析：解：sin(a-力=1,

:.cos(a+中)=cos(a+〈+兀)=—cos(a+〈)=_sin碎—(a+^)]——sin((—a)=sin(a—^)=|.

故选：B.

利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解.

本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题.

3.答案:B

解析：试题分析：解：因为当X＞0时，有唠’獭二典嚏Y旗恒成立,即逡了3：刚

息产窸

恒成立，所以典峻在(0,+8)内单调递减.因为/(2)=0,所以在(0,2)内恒有负崎＞0；在(2,+8)

案

内恒有，电力＜0.又因为，事。是定义在R上的奇函数，所以在(一8,—2)内恒有，事砥＞0；在(一2,0)内

恒有舞感＜o,又不等式虚观磷〉0的解集，即不等式舞感〉o的解集.所以答案为(_8,-2)U(0,2).

故选B.

考点：函数单调性与导数

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征

4.答案：C

解析:

选项「中，C+"4-2="+“+2=0+以W0=a6<0是a>0且b<0的必要不

ababab

充分条件，所以4错；

选项3中，由得‘①或’：°,，可以推出>但若。4<。5,则该

'q>\0<q<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1•“…，此时推不出

所以3错；选项。中，当x0<0时，|^=(1)X4>(1)0=l«3x«>4IS所以。错.

故答案为C.

5.答案：B

——4

=x+24,

解析：=~~~lim()=/(2)=a+iog22=a+i,由函数的连续性

12XTZ五一222

定义知/⑵=lim八力=4,可得a=3.

XT2

6.答案：A

解析：由于本题是选择题，所以我们不妨采取特殊值法，在图(1)中，当48，面8。。时，Q=2%，

因此2血是可以取到的，所以排除B、。两项，下面考虑4、C两项的情况，在图(2)中，a是可以无

限小的，所以必然存在0<。<指+血的部分，所以可以再次排除C项，选择4项.

(1)(2)

7.答案：C

解析：解：炉=a?+0?-ac,AC=2V3=b,

12>2ac-ac,即acW12,当且仅当a=c=2g时取等号，此时B=60。.

ABC面积=^acsinB<|x12xsin60°=3V3.

故选：C.

利用基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出.

本题考查了基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，属于基础题.

8.答案：B

解析：解函数y=sinn(2x+匀的最小正周期是7=与=心

故选：B.

直接利用正弦型函数的周期公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，

属于基础题型.

9答案:AC

解析:解:对于4：若a?-b2=1,且a和b都为正数，所以a+b>a-b>0,所以a+b>l,a-b<1,

故4正确；

对于8：若看一3=1，令a=10，匕=当符合题意，此时。-6=詈>1,故8错误；

对于C：若e。—e〃=l,则a—b=ln(e。+1)—b=ln(l+e")由于b>0,

所以0<e-b<l,所以a-b<仇2e=1,故C正确；

对于若Ina—Inb=1,则a—b=eb—b=(e—l)b>0,不能确定a—b<l,故£>错误.

故选：AC.

直接利用不等式的性质，赋值法，作差法的应用判断4B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于基础题.

10.答案:ACD

解析：

先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，解题的关键是正弦函数性质的熟练掌握.

解：/(x)=cos2x+y/3sin2x=2sin(2x+

6

故T=7i,A正确;

/。*)=2$讥(2》*)不是奇函数，8错误；

OO

当》=/^+?时，函数/")：2sh,(2k7T+~)2,此时取得最大值，C正确；

Oi

令-m+2kit<2x4-+2fc7r,k£Z,

262

得—5+kn<%<^4-ku,kEZ,

3o

当k=0时，得函数的单调递增区间[一支勺，。正确.

5o

故选：ACD.

11.答案：ACD

解析：解：由于Z为复数，设2=。+6(。”€/?),

对于4：|z『=a?+£»2=z•Z,故A正确；

对于B：z2=(a+bi)2=a2+2abi—b2,\z\2=a2+b2,故8错误；

对于C：由于a2+f)2=l,所以|z+i|=Ja2+(b+1)2e[0,2],故C正确；

对于。：若|z-l|=l,BP(a-l)2+b2=l,所以0=1—1WJ(a—0)2+(b—0)2s1+1=2,

故D正确；

故选：ACD.

直接利用复数的运算，复数的模，共轨，圆的方程，圆与圆的位置关系的应用判断4、B、C、。的结

论.

本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，共规，圆的方程，圆与圆的位置关系，主要考查学

生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

12.答案:ACD

解析：

本题考查了函数表达式的几何意义，函数图象的性质，函数的单调性与最值，属于中档题.

函数f(x)=7(%-0)2+(0-1)2+—2)2+(0—1)2,如图表示点P(x,0)到点4(0,1)的距离|P4|

与到点B(2,l)的距离|PB|之和；结合图形可知，在x=l处，取得最小值，进而判断函数值域和单调

性，利用函数关于x=l对称判断B,利用值域判断C.

解：函数/(x)=—0)2+(0-1尸+7(x-2)2+(0-l)2

如图表示点P(x,0)到点4(0,1)的距离|P*与到点B(2,l)的距离|PB|之和，

B点关于x轴对称点为C(2,-l),

则/(x)>\AC\=V(2-0)2+(-l-l)2=2V2,

直线4c交x轴与点(1,0)，

则函数/(乃在区间［l.+oc)上单调递增，A正确，

函数/(x)的值域为12V£+x),C正确，

因为f(x)=Vx2+1+y/(x-2)2+1>

/(2-%)=7(2-x)2+1+J(~x)2+1,

则/(x)=/(2—X)，

即函数/(x)关于直线x=l对称，函数/(x)的图象不是中心对称图形，故B错误;

设/(x)=3则方程/(/(©)=1+后，等价为f(t)=1+V5，

即VFTT+7(t-2)2+i=1+V5,

所以t=0,或1=2.

因为函数/'(x)>2或，

所以当t=0或t=2时，/。)=£不成立，所以方程无解，故。正确；

故选ACC.

13.答案：y

解析：解：原式=2,0出3"。以？+：+四=2+：+2=g.

故答案为：

进行对数、指数和根式的运算即可.

本题考查了对数、指数和根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.

14.答案：|

解析：解：由题意可得，x=-4^y=3、r=\0P\=5,故sina=菱=|，

故答案为，

由题意可得，为=-4、y=3、r=|0P|=5,再由sina=S运算求得结果.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

15.答案:©

解析：解：由图形可知，张大爷的行走是：

开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，④符合：

①：行走路线是离家越来越远，不符合；

行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；

③：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；

故答案为：④.

由图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然

后离家越来越近，结合图象逐项排除.

本题主要考查了识别图象及利用图象解决实际问题的能力，还要注意排除法在解题中的应用.

16.答案:(-00,4)

解析：解：函数/'(x)=x2+3x-a,若对任意x6[1,+8),/(x)>0恒成立

等价于/+3x-a>0对任意xG[1,+oo)恒成立，

即a</+3x对任意xG[1,+8)恒成立，故只需求出刀2+3x在x6[1,+8)的最小值，

记函数g(x)=x2+3x=(x+1)2一支可知g(x)在(一8,-|)上单调递减；

在(一|,+8)单调递增，即在[1,+8)上单调递增，

故g(x)在x=1处取到最小值g(l)=4,可得a<4

故答案为：(-oo,4)

原命题恒成立等价于a<%2+3x对任意x6[1,+8)恒成立，只需求出g(久)=x2+3%在x£[1,+<»)

的最小值即可.

本题为函数的恒成立问题，分离变量然后求出构造函数的最值是解决问题的关键，属中档题.

17.答案：解：已知4={%|1<2，<4}=(0,2),B=[y\0<y<a2],

(I)当£1=1,时，B=[y\y=:,xG(l,4-oo)}=(0,1),

所以QB={y\y>1或y<0},

所以anCuB=UN)；

(n)B={y|0<y<a2],所以CuB=(y\y<0或y>a2},

由力ClB=4且AuCuB=U可得：\a2,-2,则a2=2,

(a/<2

所以a=+V2.

解析：先求出集合4B,然后对应各个问题根据交并补的运算性质以及集合间的关系即可求解.

本题考查了交并补的混合运算的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题.

V/(x)=-72(^y-sin2x+-^-cos2x)+3sin2x-cos2x=2我sin(2x-$,

(1)T=K；

18.答案：

(2)xe[0,"2x-^€[-^,^]：.sin(2x-5)€[-^-,l],：./(x)e[-2,272],

244442

即氏x)的最小值为-2,最大值为2点.

解析：本题主要考查三角函数问题，考查了和差角公式、倍角公式、三角函数的图像和性质等知识

点，正确掌握三角函数的图像和性质以及灵活运用公式是做题的关键。

由所给函数式利用和差角公式及倍角公式变形整理成正弦型函数，再由周期公式及所给x的取值区间

结合图像可得结果。

19.答案：解:由条件知，4=89%=25,£20，

1£1卫

代入:一尸得T_25=(89_2»q)%，

解得T=41℃.

11

如果要降温到35冤,则35-25=(89-25).(-)10，

则—lg—=l-81g2,

102

解得E26R

答：此时咖啡的温度是41。。要降温到35。(2,共需要约26.8分钟.

解析：本题考查了指数函数的综合题，通过研究指数函数的性质解释实际问题.

根据题意，先将题目中的条件代入公式7-<=(片-q).q)a,求解就可得到半衰期人的值.再利

用公式丁-雹=(耳-<)弓尸中T。的值，半衰期/I的值，7=35,代入就可解出此时需要多少分钟.

20.答案：解：(1)由题意，函数f(x)=Bsin(3x+伊)+cos(3X+伊)=2s讥(cox+0+》，

因为函数/(x)图象的相邻两个最高点的距离为兀，所以7=兀，可得3=2,

又由函数/'(X)为偶函数，得0+£=々兀+1，k€Z,则8=k〃+或k&Z.

因为0<3<兀，所以k=0时，(p=%,所以函数f(x)=2cos2x,

令2/CTT-TT〈2xW2/CTT,kEZ,解得/ot-1W尤</ot,kEZ,

又xG［—2由，可得函数f(x)的单调递增区