重难点专题11 轻松搞定立体几何的轨迹问题(三大题型)-2024学年高一数学同步学与练(苏教版)(解析版)_第1页
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文档简介

第第页重难点专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题【题型归纳目录】题型一:轨迹图形题型二:轨迹长度题型三:轨迹面积【典型例题】题型一:轨迹图形【典例1-1】(2024·高一·山西太原·阶段练习)如图,在正四棱锥中,是的中点,点在侧面内及其边界上运动,并且总是保持平面.则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】分别取、的中点、,连接,,,又∵是的中点,∴,,又∵面,面,∴面,面,又∵,平面,∴面面,∴当在上移动时,面,此时能够保持平面,则动点的轨迹与组成的相关图形是选项A故选:A.【典例1-2】(9-10高二下·重庆·期末)在正方体中,点P在侧面及其边界上运动,并且总保持,则动点P的轨迹是()A.线段B.线段C.中点与中点连成的线段D.中点与中点连成的线段【答案】A【解析】连接,因为,且,所以平面,平面,所以,因为,且,所以平面,平面,所以,且,所以平面,平面,所以,点的轨迹为面与面的交线,故选:A.【变式1-1】(2024·高三·北京·开学考试)在棱长为1的正方体中,分别为,的中点,点在正方体的表面上运动,且满足平面,则下列说法正确的是(

)A.点可以是棱的中点 B.线段的最大值为C.点的轨迹是正方形 D.点轨迹的长度为【答案】B【解析】如图,取棱的中点,连接,因为分别为,的中点,所以,在中,,由于平面,平面,所以平面,因为,所以,四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以,平面,因为,平面,所以,平面平面,由于为体对角线的中点,所以,连接并延长,直线必过点,故取中点,连接,所以,由正方体的性质易知,所以,四边形是平行四边形,,,因为,,,所以,共线,即平面,所以,四边形为点的轨迹,故A选项错误;由正方体的棱长为,所以,四边形的棱长均为,且对角线为,,所以,四边形为菱形,周长为,故CD选项错误,由菱形的性质知,线段的最大值为,故B选项正确.故选:B题型二:轨迹长度【典例2-1】(2024·高二·浙江杭州·阶段练习)已知菱形的边长为2,.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点,F为三棱锥表面上动点,且总满足,则点F轨迹的长度为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点,连接,因为菱形的边长为2,,所以,均为等边三角形,故⊥,⊥,且,为二面角的平面角,则,故为等边三角形,,又,平面,所以⊥平面,又E为的中点,取的中点,的中点,连接,则,且,因为平面,平面,所以平面,同理得平面,因为,平面,故平面平面,所以⊥平面,故点F轨迹为(除外),故点F轨迹的长度为.故选:A【典例2-2】(2024·高一·江苏连云港·阶段练习)如图,在直三棱柱中,是边长为2的正三角形,,N为棱上的中点,M为棱上的动点,过N作平面ABM的垂线段,垂足为点O,当点M从点C运动到点时,点O的轨迹长度为(

A. B.C. D.【答案】A【解析】取AB中点P,连接PC,,如图:因为,,且,平面,平面,所以平面,又平面,所以平面平面,过N作,又平面平面,平面,所以平面,当点M从点C运动到点时,O点是以PN为直径的圆Q(部分),当点M到点时,O点到最高点,此时,,,所以,从而,所以弧长,即点O的轨迹长度为.故选:A.【变式2-1】(2024·高二·广东佛山·期中)如图,正方体的棱长为1,点P为正方形内的动点,满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为(

A. B. C. D.【答案】B【解析】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角,连接,因为⊥平面,平面,所以⊥,故为直线BP与上底面所成角,则,因为,所以,故点P的轨迹为以为圆心,为半径,位于平面内的圆的,故轨迹长度为.故选:B题型三:轨迹面积【典例3-1】(2024·高二·浙江·学业考试)如图,已知直三棱柱的底面是边长为的正三角形,侧棱长为.,分别是侧面和侧面上的动点,满足二面角为直二面角.若点在线段上,且,则点的轨迹的面积是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】∵二面角为直二面角∴

平面平面,又∵

点在线段上,且,平面,平面平面∴平面,连接,∴

,∴在以为直径的球上,且在三棱柱内部,∴

的轨迹为以为直径的球在三棱柱内部的曲面,又∵

三棱柱为正三棱柱,∴

的轨迹为以为直径的球面,占球面的,∴

点的轨迹的面积是.故选:B.【典例3-2】(2024·高一·四川雅安·期末)棱长为2的正方体中,为正方体表面上一个动点,且总有,则动点的轨迹所围成的面积为(

)A. B. C.6 D.【答案】D【解析】如图,易知直线平面,故动点的轨迹所围成图形为,因为为边长为的正三角形,所以其面积,故选:D.【变式3-1】(2024·高二·上海黄浦·期中)棱长为1的正方体中,为正方体表面上的一个动点,且总有,则动点的轨迹所围成图形的面积为(

)A. B. C. D.1【答案】C【解析】在正方体,显然平面.证明如下:在上底面中,又平面,平面,又平面,同理可证:又,平面,平面.故的轨迹为,所以故选:C【变式3-2】(2024·高三·广西贵港·阶段练习)正三棱柱的底面边长是4,侧棱长是6,M,N分别为,的中点,若点P是三棱柱内(含棱柱的表面)的动点,MP∥平面,则动点P的轨迹面积为(

)A. B.5 C. D.【答案】C【解析】取AB的中点Q,连接MQ,CQ,MC,由M,N,Q分别为,,AB的中点可得,平面,平面,所以平面,同理得平面,,平面,则平面平面,所以动点P的轨迹为△MQC及其内部(挖去点M).在正三棱柱中,△ABC为等边三角形,Q为AB的中点,则,平面平面,平面平面,则CQ⊥平面,平面,所以.因为,所以,因为侧棱长是6,所以.所以,则△MQC的面积,故动点P的轨迹面积为.故选:C【过关测试】1.(2024·高一·福建莆田·期末)几何中常用表示的测度,当为曲线、平面图形和空间几何体时,分别表示其长度、面积和体积.是边长为4的正三角形,为内部的动点(含边界),在空间中,到点的距离为1的点的轨迹为,则等于(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面的视角下看,如图所示:其中,,区域内的几何体为半圆柱,,,区域内的几何体为被平面截的部分球,球心分别为A,B,C,区域内的几何体为棱柱,其高为2.由,,为矩形,所以,,是正三角形,,则有,同理,,则,所以,,这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球,体积为;,,这三个区域内的半圆柱体积为(其中表示半圆底面);区域内的棱柱体积为.所以几何体L的体积等于.故选:D.2.(2024·高一·江西抚州·期末)在正方体中,是棱的中点,是四边形内的动点,且平面,下列说法正确的个数是(

)①点的轨迹是一条线段②与不可能平行③与是异面直线④当与不重合时,平面不可能与平面平行A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】取中点M,中点N,连接,易得,则平面平面,所以当点F在线段上,即有平面,所以点F的轨迹是一条线段,故①正确;当点F与点M重合时,与平行,故②不正确;与既不平行也不相交,所以直线与是异面直线,故③正确;假设平面与平面平行,因平面平面,则平面与平面表示同一个平面,与已知矛盾,所以平面不可能与平面平行,故④正确.故选:C3.(2024·高三·北京昌平·阶段练习)设正方体的棱长为1,,分别为,的中点,点在正方体的表面上运动,且满足,则下列命题:①点可以是棱的中点;②点的轨迹是菱形;③点轨迹的长度为;④点的轨迹所围成图形的面积为.其中正确的命题个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】连接,交于,则为中点,因为为的中点,所以,由正方体的性质可知平面,所以平面,因为平面,所以,过点作,分别交于,过点分别作,分别交于点,连接,所以,四点共面,且,所以,四边形为平行四边形,因为平面,所以平面,平面,所以所以,四边形为矩形,因为,平面,所以平面,因为点在正方体的表面上运动,且满足所以,当面时,始终有,所以,点的轨迹是矩形,如下图,因为,所以,,所以,,因为,所以∽,所以,即,即所以,,所以,点不可能是棱的中点,点的轨迹是矩形,轨迹长度为矩形的周长,轨迹所围成图形的面积为故正确的命题为③④.个数为2个.故选:B4.(多选题)(2024·高一·山西运城·期中)已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱,为上底面上的动点(包括边界),则下列结论中正确的是(

)A.若,则满足条件的点不唯一B.若,则点的轨迹是一段圆弧C.若∥平面,则的最大值为D.若∥平面,且,则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为【答案】BCD【解析】由题意在上底面内,与上底面垂直,因此有,选项A,,则,但上底面矩形中,对角线,因此不存在符合条件的点,A错;选项B,由上可知,因此点轨迹是一段圆弧,B正确;选项C,连接,由与平行且相等得是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,同理平面,又,平面,所以平面平面,∥平面,所以平面,从而,在中,,因此的最大值是,C正确;选项D,连接,交于点,连接,由正四棱柱性质可得,取中点,由与平行且相等可得是平行四边形,即,且,而平面,平面,因此平面,所以该点为满足条件的点,平面即正四棱柱的对角面,它截正四棱柱的外接球的截面即为该球的大圆,由正四棱柱性质知其外接球直径等于四棱柱对角线长,因此截面面积为,D正确.故选:BCD.5.(多选题)(2024·高一·重庆沙坪坝·期末)已知异面直线相互垂直,点分别是上的点,且,,动点分别位于直线上,直线与直线所成角为,,则下列说法正确的是(

)A.B.若连接点构成三棱锥,则三棱锥的体积最大值为C.若点为线段的中点,则点的轨迹为圆D.若连接点构成三棱锥,则其外接球的表面积为【答案】ACD【解析】以为长方体的两边可构造如图所示的长方体,其中直线,直线,作,交于点,直线与直线所成角为,,对于A,平面,平面,,又,,,A正确;对于B,设,,则,又平面,;,即,,即(当且仅当时取等号),,B错误;对于C,取中点,中点,连接,,,,,,,四边形为平行四边形,,点轨迹是以为圆心,为半径的圆,C正确;对于D,若为中点,连接,平面,平面,,;同理可得:,点即为三棱锥外接球的球心,半径,三棱锥外接球的表面积,D正确.故选:ACD.6.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知正方体的棱长为1,E,F,G分别是,,的中点.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形;②P在直线上运动时,;③Q在直线上运动时,三棱锥的体积不变;④M是正方体的面内到点D和距离相等的点,则M点的轨迹是一条线段.【答案】②③④【解析】以三棱锥为例(如图(1)),则此三棱锥的4个面均为直角三角形,故①错误;,过点、、的截面为矩形,,,平面,当在直线上运动时,平面,,故②正确;当在直线上运动时,△的面积为定值(如图(2)),到平面的距离为定值,的体积是定值,故③正确;连接,则平面,的轨迹是线段,故④正确.故答案为:②③④.7.(2024·内蒙古呼和浩特·一模)如图,在棱长为1的正方体中,点E、F、G分别为棱、、的中点,P是底面ABCD上的一点,若平面GEF,则下面的4个判断①点P的轨迹是一段长度为的线段;②线段的最小值为;③;④与一定异面.其中正确判断的序号为.【答案】①③【解析】分别连接,所以,又因为,则,同理,,故平面平面,又因为平面GEF,且P是底面ABCD上的一点,所以点在上.所以点P的轨迹是一段长度为,故①正确;当为中点时,线段最小,最小值为,故②错;因为在正方体中,平面,又平面,则,故③正确;当与重合时,与平行,则④错.故答案为:①③8.(2024·高二·浙江·阶段练习)在正方体中(如图),已知点在直线上运动,则下列四个命题:①三棱锥的体积不变;②直线与平面所成的角的大小不变;③二面角的大小不变;④

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