2024届武汉市武昌区高三年级上册期末质检数学试题含答案

武昌区2024届高三年级上学期期末质量检测

数学

本试题卷共4页，共22题.满分150分,考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，

并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为

A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形

C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是锐角三角形

2.若复数z满足z（i+l）=1,则z•云

A.iB.—iCXD——

22

3.已知正数Q,b满足Q+2b=1,则

A.ab)B.db>C.0Vab<春D.0VabV1

OOOO

4.已知收)=｛抵合晨[，则呜)=

A.2B.C.—D.1

与U

5.已知集合A={了巾=111久,久613},若411B=[0,e],则集合B可以为

A.(0,e]B.(0,1]C.(I,e]D.[l,e]

6.为了解决化圆为方问题,古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为y=

—0<允<1,则

tanl-X-J:）

A.y有最大值B.y有最小值

C.y随工的增大而增大D.y随z的增大而减小

7.已知函数/直）=sinQ+中），0V<p<n,若函数f（久）在[0,普）上存在最大值,但不存在最小值，则中的

取值范围是

A.(0,y]B.(f,f]C年第D.信片]

高三数学第1页（共4页）

8..已知0是坐标原点,过抛物线C:J=4z上异于0的点M（a,b）作抛物线的切线，交了轴于点N（b,0）,

则AOMN的外接圆方程为

A.(z+2)2+(》+6)2=40B.(X+2)2+6—6)2=40

C.(工+2)2+(y+6)2=20D.(工+2)2+6—6)2=20

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于随机变量X,下列说法正确的有

A.若E(X)=L则E(2X—1)=1B.若D(X)=1,则D(2X—1)=4

C.若X〜N(2,4),则E(x)=4D.若X〜B(10,0.5),则E(X)=5

10.已知不重合的直线加，n,I和平面a,B，则

A,若m//I,n//I,则m〃nB.若租_LZ,”_LZ,则加_Ln

C.若加Ua,wUa,m〃B,n〃B,则a〃BD.若则a_l_B

11.已知数列｛a,｝满足aj=1,—27--=1+工+—H-----1"--,数列｛b“｝满足bn=l+—+—H------1,

贝lj

A.ajfej=a2b2=a3b3

B.=a.+ib.+i

C.存在keN*,使得

D,数列｛bj单调递增，且对任意九eN*,都有句+庆+…+b“<2"+i

2

12.已知P（久「,抄），Q（xQ,yQ）是曲线C：6J?—6工+7/—21+|y+6a:—3|=0上不同的两点，O为坐

标原点，则

A.3+用的最小值为1

B.4WJ（久p—I）2+y（+J（马+1）2+646

C.若直线y=Mz—3）与曲线C有公共点，则ke[—净，寻]

D.对任意位于了轴左侧且不在式轴上的点P,都存在唯一点Q,使得曲线C在P,Q两点处的切线垂直

三、填空题;本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.设P为AABC所在平面内一点，满足Q•阮=尿•双=0,则3•期=.

14.若点A（0,1）在圆C：频—I）?+y=/&>0）上，则过八的圆的切线方程为.

15.楷书也叫正楷、真书、正书,是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条

平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度,《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.

楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机

选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法,不比较其它笔画，且短竖不

超过3处，则不同的写法共有种.（用数字作答）

16.棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为18V2cm3的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，

且水面是三角形,不考虑容器厚度及其它因素影响,则水面面积的最小值为cm2.

高三数学第2页（共4页）

四、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知a,b,c分别为Z\ABC的内角A,B,C的对边，且c(acosB—bsinA)=a2—b2.

⑴求A；

(2)若a=2,AABC的面积为2,求b+c.

18.(12分)

如图,在三棱柱ABC-AjBiCj中，CG，平面ABC,AC=CB=2,AAj=

3,ZACB=90°,P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA,BB1上，A©=2AQ,

BR=2KBj.

(1)求证；AC，PR;

(2)求平面PQR与平面AiBiG所成二面角的余弦值.

19.(12分)

数学运算是数学学科的核心素养之一,具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算

准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是

否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：

项目速度快速度慢合计

准确率高102232

准确率低111728

合计213960

(1)依据a=0.010的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？

(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3,3,4的三个小组

进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中,求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.

附：

a0.1000.0500.0250.0100.0050.001

久a2.7063.8415.0246.6357.87910.828

"(女穴其中-a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

高三数学第3页(共4页)

20.(12分)

已知数列｛4｝的前几项和为Sn,ai=?n(7nW0),［-=------.

Q/i+1

(1)求证:数列｛册｝是等差数列；

(2)若［句表示不超过z的最大整数，［Si。］=10,求实数m的取值范围.

21.(12分)

22

已知双曲线C:方一条=l(a>0,b>0),点F(4,0)是C的右焦点，C的一条渐近线方程为y=V3x.

(1)求C的标准方程；

(2)过点F的直线与C的右支交于A,B两点，以AB为直径的圆记为M,是否存在定圆与圆M内切?

若存在，求出定圆的方程;若不存在，说明理由.

22.(12分)

已知函数f(h)=4+ln(—x+m),meR.

e

⑴当机=1时，求曲线y=f⑺在(0,f(0))处的切线方程;

(2)若/(力有且仅有1个零点，求取的取值范围.

高三数学第4页(共4页)

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数学试题参考答案及评分细则

选择题：

题号123456789101112

答案BCCDDDDAABDADABDAD

填空题：

13.014.x-y+l=015.23216.9G

解答题：

17.（10分）

解：（1）由余弦定理，得ac------------------bcsinA=a2-b2,......................（1分）

2ac

z,2,2_2

化简，得sin/=---------------,所以sinZ=cos4,即tanZ=l....................（3分）

2bc

TT

因为/e（0,兀），所以/=；.........................................................（4分）

（2）因为△48C的面积为2,所以，bcsin/=2,即be=4夜..........（6分）

2

a2=b2+c2-2bccosA,所以/+廿二口，......................（8分）

所以3+c>=/+/+2bc=12+8&=（2+20>,

所以b+c=2+2VL.......................................................................（10分）

18.（12分）

解：（1）证明:

因为eq，平面MC,ZCu平面48C,所以ZC_LCC]..............................（1分）

又4c3=90°,即/CL3C,.............................................（2分）

且8cncq=c，5Cu平面8CC]4，C£u平面5CC4，

所以平面Bcqg.............................................................（3分）

因为尸Au平面BCC/i，所以网................................（4分）

（2）以。为原点，分别以启，刎，配为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐

标系，如图，则尺（0,2,1）,尸（0,1,3）,。（2,0,2）,

于是丽=（0,1,—2）,函=（—2,2,—1）..........................................（6分）

高三数学试题参考答案及评分细则第1页（共8页）

设tz=（x,y,z）是平面尸Q?的一个法向量,

,—»»

aJLPR,a-PR=0,v-2z=0,

则《__^即＜____.所以

aJLQR.a-QR=0,—2x+2,y—z=0.

x=3,

取z=2,贝1」＜；；=4,所以2=（3,4,2）.

z=2.

又豆二（0,0,1）是平面ARC的一个法向量,

所以，所求二面角的余弦值为?不_=二=2429

（12分）

㈤•⑺V2929

19.（12分）

解：（1）零假设笈。：数学考试中准确率与运算速度无关,

60（10x17—11x22）2311040匚…

--------------------------=----------«0A.424＜6.635=x（2分）

21x39x32x28733824n0n0i100

根据小概率值a=0.010的独立性检验，没有充分证据推断X。不成立，因此可以认为

%成立，即数学考试中准确率与运算速度无关.（4分）

（2）记事件/为“甲在3人一组”，则需从除甲以外的9人任选2人与甲形成一组,

再从剩下7人中任选3人形成一组，最后4人形成一组，

ccc

所以，P（A）=i\'i=~.（7分）

4

记事件为“甲在3人一组，乙在4人一组”，则需从除甲、乙以外的8人任选2人

与甲形成一组，再从剩下6人中任选3人与乙形成一组，最后3人形成一组，

所以‘P"屋裳（10分）

4

由条件概率公式，得P（8M）=口*=3

P⑷9

4

所以，甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为一.（12分）

9

20.（12分）

高三数学试题参考答案及评分细则第2页（共8页）

解：（1）证明：由」~=2_:_，得'=%"加..........（1分）

S”ana.2（%+]一%）

当〃》2时，S,_i..........................（2分）

2（%-%）

所以，%=S“—Si...................（3分）

2（a„+1-an）2（%-%_J

由%wO,得1=—a---------上—

化简得%+i+%T=2an.（4分）

2（%+1-%）2（凡一用1）

所以，数列｛%｝是等差数列.............................................（5分）

（2）由（1）可知，数列｛4｝是等差数列，设公差为d,且dwO,

则/=机，a2=m+d..............................（6分）

在士17—-二2中取〃=1,得」_1=*2—士2，

aa

S”nn+lS[6/

即L1=7_£_2_化简得加=小...............................（7分）

mmm+d

所以S"="（”；[tn,S10=55m.........................（9分）

71

由[5,io]=10,得10WSi。<11,BP10<55m<11,于是nVm<-............（11分）

所以，实数机的取值范围是[2A，31.....................................（12分）

21.（12分）

解：（1）由题可知c=4,-=V3,a2+b2=c2,..................（2分）

a

解得a=2fb=2A/3,c=4.

22

所以，C的标准方程为上一工=1................................（4分）

412

（2）存在定圆O]:（x-6）2+=16.

证明如下：因为直线N8与双曲线C右支交于N,B两点,所以直线的斜率不为0,

设直线48：x=my+4,A（xA,yA）,M（xM,yM）,

高三数学试题参考答案及评分细则第3页（共8页）

__)L_i

由<412—,得(3加之-l)j?+24叼+36=0.

x=my+4

LLt、I_2477736.144/21\/C八、

所以为+力=三丁7，为力=“A=l44(m-+l)............................(6分)

3m-I3m-I

乃+力-12m-4

所以==^y+4=

23m2-IM3m2-I

由直线与双曲线右支交于两点得，结力=乎<0，解得加2<上

AB3m2-I3

12(1+/)12(1+/)

又因为Z8=Jl+为\y-y|=Vl+w2—、-

修A।B13m2-I|13加2一11l-3m2

所以圆M的方程为：(x+一一)2+(y+当5/6(1+加?]...............(8分)

3m2-1,3m2-11l-3m2J

由对称性可知：若存在定圆Q与圆M相内切，则定圆圆心Q必在x轴上，不妨设定

22

圆Ox：(x-〃)2+y=r(r>0).

则由圆M与圆。1相内切得：IW6(1+")一

l-3m

即:(10分)

整理得：[9/-(3r+6)2]m4+[6M(4-〃)+144-2(3r+6)(6-r)]m2+(4-n)2-(6-r)2=0.

因为上式与机无关，所以

9«2-(3r+6)2=0,

<6〃(4一〃)+144-2(3r+6)(6-r)=0,解得

(4—〃y—(6—厂)2=0,

所以存在定圆q:(x—6『+「=16................................................(12分)

22.(12分)

Y1—Y1

解：(1)当加=1时，/(x)=—+ln(—x+1),f'(x)=--+——...............(2分)

e*e*x-1

因为/(0)=0,/'(0)=0,所以，切线方程为了=0............................................(4分)

(2)①当切=1时，/(x)==+ln(—x+1),定义域为(-8,1),八》)=一~~，

ee(x-1)

高三数学试题参考答案及评分细则第4页(共8页)

设g(x)=e，—(x—1)2,xe(-00,1),则g(x)=e'—2(x—1)>0,

所以g(x)=e=(x—l)2在(一8,1)单调递增.又g(0)=0,eXx-l)<0,

所以，当0<x<l时，g(x)>0,f\x)<0,/(x)单调递减；当x<0时，g(x)<0,

/'(x)〉0,/(x)单调递增.

所以/(x)〈/(0)=0，即“尤)有唯一零点x=0,满足题意...............(7分)

Y

②当加<1时，/(%)=一+ln(-x+m),定义域为(一8,加).

ex

XX

由①可得f(x)=—+ln(-x+m)<—+ln(-x+l)<0,

exex

所以，加)无零点，不合题意，舍................................(9分)

Y

③当加>1时，/(%)=一+ln(-x+m),定义域为(一8,加)，且/(0)=ln加>0.

---1rn---1

所以/(加一J_)=——3+ln^=——冬―

em—em—

eeee

1

11tn—

e

由/»x+l，得e>m一一+1>加一一，所以----e<0.

eem--

ee

所以/(机一:)<0,所以/(0)/(机一:)<0.

ee

由零点存在性定理，“X)在(0,加-3至少有1个零点.

e

一加

又f(-m)=-+In2m=-mem+Inm+In2.

e

因为ln2<l,-mem<-em，

所以/(一加)=一加《一"+Inm+In2<-e"+lnm+l.

由加+1，得一e"(一加一1，e"T>相，Inm<m-1,

所以一e"+Inm+1<—m—1+m—1+1=—1<0，即/(一冽)<。，所以/(一加)/(0)<。.

由零点存在性定理，/(、)在(-九0)至少有1个零点.

所以/(%)至少有2个零点，不合题意.

综上，m=1.........................................................................(12分)

高三数学试题参考答案及评分细则第5页(共8页)

其它参考解法:

21.

22

（2）由（1）可知，双曲线标准方程为^—=1,设弦的中点为M,

412

/（盯，为），BQB，YB），M{XM,yM），

由焦半径公式|MB|="；”I=2（D；2（x「l）=2x“_2.①

2222

因为4B在双曲线上，所以比一上£=1,强—丝=1.

412412

两式作差得（X，—XB）（X/XB）_（九一为X为+力）=0

……412

由3'

所以〃点的轨迹方程为也.上』=3,

XM“一4

即(%-2)-_应=]

412

所以，点M在以。乙为实轴，以2为离心率的双曲线Ci上，。的方程为

（“[2）-*=1,其右焦点为。[（6,0）.

②

由焦半径公式得：|=2（x”-3）=2XM-6.

由①②，得BPIW|-4=|MQ|.

所以，两半径之差4等于圆心距次/qI，故两圆内切.

即以q（6,0）为圆心，以4为半径的圆0]:（x—6>+y2=16与M内切,

因此，存在定圆O]：（x-6）2+y=16与圆M内切.

另解：设定圆的方程为（X-加）2+3-〃）2=/,解出加=6,〃=0/=4.

22.

由/⑴=》14+"得/’（上士一^1

(2)

高三数学试题参考答案及评分细则第6页（共8页）

_111_1

当x〉l时，上r」〉0,又一^<0,所以/'(%)=」——r—<0.

exx-mx-mex

1r_i1r_9

当x<l时，令g(x)=--------—，g，(x)=------+―—<0.

x—me(x-m)e

ir_i

所以g(x)=--------1在(一8/)C(—8,加)单调递减.

xe

Ix—11

当机>1时，x^-co,------------>+co,g(l)=----<0,所以g(x)在

x-me1-m

xe(—s,l)存在唯一零点

、[,..1x-l]%_]

当加«1时，x—>—GO,--------------------,+co,x->m,------------>—8,