2020-2021学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.若集合A={x|lWxW3},8={x[(x-l)(x-2)20},则AUB=()

A.{x|KW2}B.{x|2«}C.{x|KW3}D.R

2.己知aeR,若(2+出)(a-2i)=-4i(i为虚数单位)，贝！Ia=()

A.-1B.0C.1D.2

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

俯视图

4.若〃>0,*>0,则“a>6”是“Ina-b>bib-a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数/（x）=（，­£-1）cosx（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）

l+ex

A.

C.

1

6.已知随机变量？满足P（E=x）=ax+h（x=-1,0,1）,其中a,呢R.若£G）

3

则£>(&=()

.28D・卷

A.一BC.

9-i9

7.已知(]2+1)(2x-1)7=幽+〃](x-1)+〃2(X-1)2+・・・+〃9(X-1)9(xER),贝!J

)

A.-30B.30C.-40D.40

8.已知实数a,b满足族|<2-a,且〃N-1,则2a+6的最小值为（）

A.-7B.-5C.-3D.-1

+8）恒成立，则旦的

9.设函数/(x)=lnx---2nu+nf若不等式/(x)WO对xG(0,

xm

最大值为（）

A.—B.—C.<?D.2e

42

a2+g

10.设数列｛〃〃｝满足m=3,。2=6,an+2=-------(〃WN*),()

A.存在吒N*,a择Q

B.存在p>0,使得｛丽i-pa〃｝是等差数列

C.存在〃WN*,期=病

D.存在p>0,使得｛m+i-pm｝是等比数列

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.计算lg2Tg^=_____;41og：3=_______.

5

JT

12.在△ABC中，A==-,b=4,a=2y[2,则5=,ZSABC的面积等于.

13.若〃>02>0,且a+h=\,则〃+乂的最小值等于,«+加的最大值等于.

14.已知tana=cosa,贝cos2a+cos4a=_____,----------------1—=_____.

1-sinGsina

15.一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不

同排法的种数是.

16.平面向量之，1的夹角为60。，且|2-5|=1，则（2+2口的最大值为.

17.在棱长为&的正方体A8CD-48iG£>i中，棱BBi,BCi的中点分别为E,凡点尸在

平面BCGBi内，作PQJ_平面ACZ）i,垂足为Q.当点尸在△EFB内（包含边界）运动

时，点。的轨迹所组成的图形的面积等于.

B

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

JTJT

18.已知函数/(X)=sin(3X+—)cos(ou+—)(o>>0)的最小正周期为m

63

(I)求函数/(x)的单调递增区间；

(II)在锐角△ABC中,若sinAsinC-sin2C=sin24-sir>2B,求/(B)的值.

19.已知函数/(x)—X2-ax-\ax-2\(a>0).

(I)若a=2,解不等式/(x)<0；

(II)设为，X2,X3,X4是函数(X)+1的四个不同的零点，且XI<X2<X3<X4.问是

否存在实数“，使得尤2,X3,后成等差数列？若存在，求出所有”的值；若不存在，说明

理由.

20.在三棱锥A-BCO中，△BCO为等腰直角三角形，点E,G分别是线段8。，CO的中

点，点尸在线段A8上，KBF^IFA.若AO=1,AB=«,CB=CD=近.

(I)求证：AG〃平面CEF；

(II)求直线与平面CEF所成的角.

C

21.在数列｛〃〃｝中，<21=1,Q2A-I,a2kf42A+1(依N*)成等比数列，公比为班>0.

(I)若qk=2,求。］+。3+。5+…+。2八1；

(II)若侬，侬+i,aik+2(kEN*)成等差数列，公差为以，设加=

^k-1

①求证：出"｝为等差数列；

②若4=2,求数列｛4｝的前上项和£>&.

2

22.已知函数/(x)^xlnx-(x+1),“eR恰好有两个极值点xi,及(xi<x2).

(I)求证：存在实数机e(y,1),使0<。<机；

(II)求证：.

4e

参考答案

一、选择题：本大题共1()小题，每小题4分，共4()分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={x|lWxW3},8={x|(x-1)(x-2)20},则AUB=()

A.{x|l«}B.{x|2WxW3}C.{x|KW3}D.R

解：：A={x|lWxW3},8={x|xWl或x22},

：.AUB=R.

故选：D.

2.已知aeR,若(2+az)(a-2i)=-4i(i为虚数单位),则a=()

A.-1B.0C.1D.2

解：因为(2+ai)(a-2i)=-4z,

所以4a+(a2-4)i-—43

贝！］有4“=0,a2-4—-4,

解得”=0.

故选：B.

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

T/KK

俯视图

解：由三视图知几何体是一个四棱锥，

四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四

边形，

四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1,

•••四棱锥的体积是春X1X1X1].

故选：B.

4.若”>0,b>0,则“a>b"是'（Ina-b>lnb-an的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当a>0,6>0时，若a>b,则/仍，此时力成立，即充分性成立,

设/（x）=x+lnx,当x>0时，/（%）为增函数，

则由“+/”a>6+/，仍得/（4）>/（/?）,即4>匕，即必要性成立，

则是"a+lna>b+inb”的充要条件，

故选：C.

2

5.函数/（X）=（---1）cosx（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）

1_X.X_[

贝=J—・cosx=£-----,cosx=-/(无)，则/(x)是奇函数，排除4,C,

l+e-xex+l

7?

当0<x<5时，f(x)<0,排除B,

故选：D.

6.已知随机变量[满足P(g=x)—ax+b(x=-1,0,1),其中a,b&R.若E(:),

3

则。(p=()

A.—B.—C.—D.—

9999

解：由已知可得：P(2=-1)=-a+b,P(孑=0)=b,P(《=1)=a+bf

贝(J-a+b+b+a+b=1,EPb=—f

3

又E(E)=-1X(-a+b)+0X8+1X(a+b')=—,所以a=—,

36

所以S的分布列如下:

-101

P工工

632

()2(o)2ci)2

所以")4-44444v

故选:B.

7.已知(N+l)(2x-l)7=制+〃1(X-1)+。2(X-1)2+・・・+〃9(x-1)9(XGR),则a\

=()

A.-30B.30C.-40D.40

解：*.*(x2+l)(2x-1)7=〃o+〃](x-1)+ai(X-1)2+…+〃9(x-1)9(XGR),

令/(x)=(x2+l)(2x-1)7=ao+ai(x-1)+〃2(x-1)2+***+t?9(x-1)9(xGR),

则f(x)=2x=a\+a2(x-1)]+…+〃9(x-1)8,

f(x)=2x・(2x-1)7+(P+l)-14(2x-1)6,

：.a\=f(1)=2X1+2X14X(2-1)6=30

故选：B.

8.已知实数。，人满足依W2-m且〃2-1,则2〃+方的最小值为()

A.-7B.-5C.-3D.-1

解：不等式⑶<2-。可化为-2+。〈6・2-。，且。2-1,

设z=2a+b,平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值;

由("1，求得4(-1,-3),

lb=_2+a

所以z=2a+b的最小值为加=2X(-1)+(-3)=-5.

故选：B.

9.设函数/(x)=lnx---若不等式/(x)WO对，(0,+°°)恒成立，则旦的

xm

最大值为()

A.—B.—C・eD.2e

42

解：不等式/(x)<0对xW(0,+8)恒成立，

即为Inx---2/nr+〃<0,BPIwc--(x-工-)对x>0恒成立，

xx2m

设g(x)=lnx-且,由g'(x)=工号>0,可得g(x)在(0,+8)递增，且g(e)

XXX

=0,

当尤-*0时，g(X)■*-8；x-4-oo,g(x)-*+oo,作出y=g(x)的图象，

再设%(%)=2m(尤-旦)，X>O,可得〃(x)表示过(旦，0),斜率为2m的一条

2m2m

射线(不含端点)，

要求旦的最大值，且满足不等式恒成立，可求品的最大值，由于点(井，0)在x轴上

m2m2m

移动，

只需找到合适的，">0,且与g(x)=/，犹一且切于点(J-,0),如图所示：

x2m

此时q_=e,即有二•的最大值为2e,

2mm

故选：D.

a2+9

n+1

10.设数列｛a.｝满足m=3,G=6,an+2=-----(nGN*),()

an

A.存在〃6N*,a雇Q

B.存在p>0,使得｛如+i-pa“｝是等差数列

C.存在〃CN*,“"=遍

D.存在p>0,使得｛m+i-p斯｝是等比数列

a2+99

2

解：由a“+2=-^±l----(neN*),nJWan+2an=arr(.1+9@，

an

则an+Jn-广a/+9②

22

①-②可得，。〃+2。”-atl+\an-1=an+\-aw,

所以跖？(Cln+2~^Cln)=Cln+i(Cln+\^~Cln-1)，

则%+]+=-]_arH-2+an

an

9

+a+

n^rd-1^n-laq+a^an+9

由此可得*_2-=-2tl~LL=…二一L,22_1;

an+lana23al

an+2+an15+3c

所以---------=---=3>

an+l6

贝！]an+2=3an+\-斯且ai=3eZ,a2=6eZ,

所以a„GZ,

故选项A,C错误;

由an+3—3an+2-an+\,可得an+3-an+2—5an+i-2%不是常数,

所以不存在p>0,使得｛%+i-pa”｝是等差数歹J,

故选项B错误;

假设存在p>0,使得｛如+LP斯｝是等比数列，公比为4,

则有an+\-pan—q(a“-pan-1)，

所以。卅=(p+q)an-pqan-\,

由an+2=3cin+\~Un

喜3解得答,

则4

所以存在上但>0,使得｛“卅一04“｝是等比数列，

P2

故选项力正确.

故选：D.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.计算1口-及!•=1;41og：3=_9_.

5

解：lg2-lg±=/g2+/g5=/g10=1；

5

lo9

41og23=4S4=9.

故答案为：1；9.

jrjr

12.在△ABC中，A=—b=4,(7=2^3，则8=_ZVIBC的面积等于_2y.

jr

解：因为在△ABC中，A=-—,b=4,。=2日，

o

.2734

由正弦定理可得料=/r，可得sinB=l,

sinAsino---sinb

2

因为Be(0,IT),

则B=彳TT,

所以c=Vb2-a2=V16-12=2,

所以S^BC=-^cic=-^-X2V3X2=2，§.

故答案为：—

13.若。>0">0,且a+h=\f则宗+按的最小值等于4+加的最大值等于

解：Va>0,b>09a+b=1,

••・2V^U<Lab4],

•*-a2+b2=(a+b)2-2ab=l-2ab^^~»

.♦.岸+分的最小值等于微;

7(VaWb)2=a+b+2Vab=l+2Vab<2>

Va^4Vb<V2,

•••孤轮的最大值等于加.

故答案为：、•，A/2,

2V,

14.已知tana=cosa,则cos2a+cos4a=^J_,“1--------=1

1-sinQsina

解：因为tana=sina=—sa,

cosa

可得sina=cos2a,

则cos2a+cos4a=cos2a+sin2a=1,

]_1_sinCl-(1-sina)2sina-l2cus'a-1一

1-sinQsinCL(1-sinl)sinCLsinCl-sin2CLcos21-sin2Cl

cos2a

------=1.

cos2a

故答案为：i,i.

15.一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不

同排法的种数是44.

解：根据题意，分2种情况讨论，

①两个都在左边的4个座位或右边的4个座位就坐，有2XA22X3=12种排法，

②两个人一人在左边4个座位，一个在右边4个座位就坐，有2XC44iXC/=32种排法,

则一共有12+32=44种不同的排法，

故答案为：44

16.平面向量之，3的夹角为60°,且则？(京23)的最大值为_2遮+3_.

3

解:设匚l=a,可=6，

则由平方得1:2+后2-21芯=1,

即a2+b2-2abX2•=I,即a2+h2-ab—\,

2

则7(；+20=m+22"=。2+",

1上

220

a

...a2+ab=a+ab=2-察一

1a2+b2-abi+2)2a

aa

令m=—,则加>0,

a

]

1+m一—2-

则原式=

l+m2-m-m-m+1

1+m

再设/=l+〃2,则f>L则机=f-l.

_111____]]]

2

则』1.=_________________-t-3t+3=计"五1一3=软百=

l-4ntttVt

2,+3_2愿+3

12-93'

当且仅当t=3,即取等号，

即7。+2芯）的最大值为2零+{

故答案为：2仔3

3

17.在棱长为企的正方体中，棱BBi,BCi的中点分别为E,凡点P在

平面8CGS内，作PQJ_平面AC。，垂足为Q.当点尸在内（包含边界）运动

时，点。的轨迹所组成的图形的面积等于_近_.

解：连结8。交AC于点0,连结ODi,BQ交于点、H,设G为CDi的中点,

因为AC_LB£>,ACLBB\,BBiCBD=B,BB\,BZ>u平面

所以ACJ_平面BB\D,

因为8Qu平面88Q,所以BiO_LAC,

同理可证8i£）_LA£）i,又ACnAG=A,AC,Adu平面ACDi,

所以丛。，平面AC",即点Bi在平面AC"的投影为”，且£>iH=2H0,

同理，点E,F在面ACD的投影分别为。，G,

所以AEFBi在平面ACD\的投影为△0GH,

XAC=V2AB=2,所以氏=眸/耍事（：呼妻,

所以点°的轨迹所组成的图形的面积s卡H・HG・sinl2。。噜

故答案为：返.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

KK

18.己知函数/(x)=sin(u)x+--)cos(u)x4——)(u)>0)的最小正周期为n.

63

(I)求函数/(x)的单调递增区间；

(II)在锐角△ABC中，sinAsinC-sin2C=sin2A-sin2B,求「(8)的值.

jrK

解：(/)函数/(x)=sin(o)x+——)cos(CDX+——)

63

_/-v3•.1\/1V3•、

=(2L^sinon+—COSOJX)(—COSOJX--^-smoyx)

2222

_1l+cos2Wx3l-cos2Wx

-----ZvX--------------------_---ZvX-------------------

4242

因为函数f(x)最小正周期为n,

2兀

由T==71，且3>0,解得3=

所以/(x)=-^cos2x--,

24

令2Zn-TTW2XW2E:,keZ,解得&TT-------WxWkr,&eZ,

2

IT

可得函数f(x)的单调递增区间为：1加--，加J,依Z.

(//)由sinAsinC-sin2C=sin2A-siMB得：ac-c2—^-b2,B|Ja2+c2-b2—ac,

•a2+c2-b2ac1

..cosDB==----=—,

2ac2ac2

又8为锐角，可得8=二JT-,

12兀

."(B)=­cos1-1yzlv1

242'2"42

19.己知函数/(x)=N-奴-依-2|(〃>0).

(I)若Q=2,解不等式/(x)<0；

(II)设冗1，X2,%3,X4是函数y=f(兀)4-1的四个不同的零点，且X|Vx2Vx3VX4.问是

否存在实数〃，使得X2,X3,X4成等差数列？若存在，求出所有。的值；若不存在，说明

理由.

解：(I)当a=2时,不等式/(%)<0,即x2-2x-\2x-2\=\x-1|2-2|x-1|-KO,

所以OWQ1|V1+我，

解得-&<x<2+血,

故不等式f(x)<0的解集为｛x|-&〈x<2+J9；

(II)因为/(x)=x2-cue-\ax-2\(6T>0),

x2-2ax+3,

则f(x)+l=|ca,

21/2

x-1，x<一

a

又y=f(x)+1有四个不同的零点，

所以△=4.2-12>0且2>1,解得北<a<2,

a

因为X1<X2<X3<X4,

当时，f(X)+1=X2-1=0,可得》=-1,及=1,

a

所以K3,工4是9-2or+3=0的两个根，

"2X3=1+X4

若X2,X3,X4成等差数列，贝M,

x3+x4=2a

所以x2用尹，代入方程尤2-2以+3=0可得，(空L)2-2a•组工+3=0，

J333

解得•或-2(舍)，

4

综上可知，存在a］使得X2,X3,X4成等差数列.

20.在三棱锥力-BC。中，△BCD为等腰直角三角形，点E,G分别是线段BD,CD的中

点，点尸在线段A8上，3.BF=2FA.若AC=1,AB=«,CB=CD=a.

(I)求证：AG〃平面CEF；

(II)求直线40与平面CEF所成的角.

D

il

\y/G

c

【解答】(I)证明：连接8G交EC于”，连接FH,

则点H为△BC£＞的重心，有瞿•uZ

HG

v=:.FH〃AG,且尸”u平面CEF,4GC平面CER

FAHG

贝ijAG〃平面CEF；

(II)解：-：BF=^&,BE=1,ZABD=30°,

3

22

：.EF=BF^+BE-2BE«BF-COSZABD=A+1_^Z1x1X—1

313123

故B尸=8尽+£：尸，：.BE±EF,

又由已知，CELBD,CECEF=E,则8QJ_平面CEF,

过F作AO的平行线FP,交8。于P,则PE±CEF,

91

故NPFE为直线AO与平面CEF所成的角，且FP==,EP==,NFEP=9Q°,

33

i

.".sinZPFE=4＞得直线AD与平面CEF所成的角为K一.

26

A

B

C

21.在数列｛〃〃｝中，0=1,〃2h】，。2匕侬+1(隹N*)成等比数列，公比为俗〉0.

(I)若qk=2,求。】+。3+〃5+…+。2b1；

1

(II)若侬，侬+1,侬+2(依N*)成等差数列，公差为或，设从=

Qk-1

①求证：｛儿｝为等差数列；

②若4=2,求数列｛4｝的前上项和Dt.

【解答】(I)解：因为“1=1,aik-\yaibaik+\(keN*)成等比数列，公比为次＞0,

所以------=qv=4，

a2bl

贝!)a\+ai+as+•••+aik-\—.1'(4.).=.4.~1-,；

1-43

(II)①证明:因为”2haik+\>aik+2(keN*)成等差数列,

a^ob+2i

所以2a2火+1=aik+aik+i,即2=-----+------=---+q*1，

a2kHa2k+l%

----1---=----1--=---1--+1

则口卜+1-11，B|Jhk+\-bk=1,

不

所以数列｛为｝为等差数列，公差为1;

②解：若“1=2,所以“3=42+2,则有a22=lXa3=a2+2.

所以02=2或<22=-1；

]

当“2=2时，qi=2,所以6i=1,则bk—\+(%-1)X1—k,即=k,解得qk」等

qjKK

a2k+l(k+1)2a2k+la2k-la3

所以则，a

2*2k+l3n一ai1

a2bl(k-1)a2k-la2k-3l

(k+1产k222n

---7T=(k+1)2>

k2(k-1)2l2

a2kH(k+1)2

所以a2kqkk+1~k(k+l)

T"

则或=。2*+1-42*=%+l,故D[=~*,

k2

若02--1时，q\—~1，所以b]=—^"，则bk=131,3

+(k-l)Xl=k方,即TTf,

2

k」

解得qkT

k方

(k-y)2(k-y)2(y)2

aaa

2k+l2k-l32

贝mil」a2k+l=------------------------------41Xl=(k-y)«

2kHa2k-la2k-3al(k-y)2(k得产(得)2