2022－2023学年河南省郑州市重点学校高三（上）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022—2023学年河南省郑州市重点学校高三(上)期末数学试

卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={X|CW4},B={x\logvc<2},则加8=()

111

AWO<X<-AW<X<CW

-J4--2)4-

4-<x<16]D.{x|0<x<2}

2.已知复数Z=i+i2+i3+-+12。23。为虚数单位)，则复数z+i在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

,%—y+2>0,

3.已知实数x,y满足x+y—3W0,则目标函数z=2x+4y的最大值为()

X—3y—3<0,

A.6B.8C.10D.11

4.在区间[0,兀]上随机取一个数，则事件“sinx+qcosx〉/?”发生的概率为()

A-|B.|C.|D.*

5.点(4,0)到双曲线八三一与=19>0/>0)的一条渐近线的距离为蓝，则双曲线的离心

ab3

率为()

A.货B.gC.ID.5

6.已知函数/(%)=ln(ax)+g的最小值为2,则的值为()

i

A.e-lB.eC.2+-D.e+1

7.在AABC中，满足9sin2/l+6cos4=10,且48=3,BC=则AC=()

A.3B.4C.5D.6

8.把函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向

右平移;个单位长度，得到函数y=cos(x-》的图象，则f(x)=()

A.sin(1x+|^)B.sin(2xC.sin(2x+覆D.sin(1x-y1)

9.已知函数/(x)=cos2x—cosx,xE,[0,2TT],对于下述四个结论：

①函数y=/(x)的零点有三个；②函数y=/(x)关于％=兀对称；③函数y=f(x)的最大值

为2；④函数y=f(x)的最小值为0.

其中正确结论的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

，点B在椭圆

上且满足耳7=5窃，则椭圆的离心率为()

CD.?

A号-t

12.已知函数/(x)=9—ax+alnx,若/(x)＞0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为

()

A.(-co,e2]B.[e2,+oo)C.(-oo,e]D.1]

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设数列｛即｝的前n项和%=n2＞则&8=.

14.已知点。为坐标原点，0A=(1,1)＞丽=(一3,4),点P在线段4B上，且|而|=1,则点

P的坐标为.

15.己知点4(一2,1),8(-1,0),C(2,3),D(a,2)四点共圆,则点。到坐标原点。的距离为

16.在长方体中4BCD中，AB=AAt=1,AD=2,M是棱/G的中点，过点B,

M,劣的平面a交棱4。于点N,点P为线段QN上一动点，则三棱锥P-BBiM外接球表面积的

最小值为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

2023U.I.M.F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29EI~30日在郑东新区龙湖

水域举办.这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤遍的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了

郑州现代化国家中心城市的活力与魅力.为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学

社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的

频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数(同一组数据用该组区间的中点值代替)；

(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在［80,90),［90,100］的学生中共抽取6人，再从这6人中随

机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中恰好有一人的成绩在［90,100］的概率.

18.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PCJ_底面4BCD,AB//DC,ADLAB,PD=DC=4,AB=

AD=2.

(1)证明：平面PBC_L平面PBO；

(2)求点。到平面PBC的距离.

19.(本小题12.0分)

n_1

已知数列｛an｝满足：臼=3,an=an_x+2(n>2,nG/V*).

(I)求数列｛aj的通项公式；

n

(口)令bn—an-1+(―l)log2(dn-1)>求数列｛brt｝的前葭项和卜.

20.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=xlnx+a—ax(aG/?).

(1)若a=1,求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)在区间［Le］上有且只有一个零点，求实数a的范围.

21.(本小题12.0分)

已知抛物线C：丫2=轨上一点4(4,4)关于动点时(科0)(>1<12)的对称点为8,过点B的直线I

与抛物线C交于D,E两点，且B为D,E的中点.

(1)当直线/过坐标原点0时，求直线/的方程；

(2)求△ADE面积的最大值.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为x=J—f+2>,曲线C2的参数方程为

(X=4COSW+Cs讥勿(为参数).以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G，C2的极坐标方程；

(2)若曲线C3：0=a分别交曲线G，Q(不包括极点)于A、B两点，求端+而加的最大值.

23.(本小题12.0分)

已知正实数a,b,c.

(1)若x,y,Z是正实数，求证：包+日+弓之妇处。!；

xyzx+y+z

⑵求捻+高+磊的最小值•

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由题意可得：CW4nxe[0,16]』og/W2=log!!nxe百,+8),

所以a={x|0<x<16},B={x|x>)，

故4nB=枕弓W尤W16},即C正确.

故选：C.

依次解不等式求集合A、B,再求交集即可.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：1.,i1=i,i2=—1,i3=—i,i4=1,

i1+i2+i3+i4=0,且2023+4=505余3,

二复数z=i+i2+i3+•••+i2023=i-1-i=-1,

复数z+i=—l+i,在复平面内对应的点为(—1,1),位于第二象限.

故选:B.

根据复数的性质以及复数的几何意义求解即可.

本题考查复数的几何意义，考查复数的运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由约束条件作出可行域如图所示：

x-y+2=0

x+2y=0

由图可知，由沅广仁:,解得混卷),

I人IV—D-ULL

由z=2x+4y,得'=

由图可知，当直线y=一#3过4点时，

直线在y轴上的截距最大，即z有最大值为1L

故选：D.

由约束条件作出可行域，将问题转化为求直线y=+(在y轴上的截距的最大值即可.

本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：sinx+，3cosx>V_3=2sin(x+5)>V-3,

解得xe(2E(+2/c7T)(k6Z),

则在区间［0,兀］上，(05)满足条件，

n

故事件l<sinx+\/~3cosx>y/_3"发生的概率为p=-1=1.

7T3

故选：A.

根据三角函数的性质及几何概型计算即可.

本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意可得双曲线的一条渐近线为：ay—bx=0,

所以(4,0)到ay-bx=0的距离为d=?=冷若=.,

不妨设b=4rn(m>0),

贝k=5m,a=Vc2—b2=3m=>e=^=|.

故选：C.

由双曲线的性质计算即可.

本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：显然a^O,若a<0,则x<0,不合题意,

故a>0,

则定义域为(0,+8),

/⑺=aq一昼=昼，

令r(x)=。，解得*=1,

当0<%Vl时•，f(x)<0,此时/(%)单调递减，

当%>1时，f(x)>0,此时/(%)单调递增，

故当X=1时，f(X)min=/(D=，几Q+1=2,

解得a=e,则/(%)=ln(ex)+

则/(；)=ln(ej)+；=e.

故选：B.

首先分析出a>0,然后求导得尸(x)=妥，得到/(I)="a+1=2,解出a值，得到函数解析式,

代入即可得到答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：9sin2A+6cosA=9(1—cos2?l)+6cosA=9—9cos2A+6cosA=10,

即9cos2a—6cosA4-1=(3cosA—l)2=0,

解得C0Si4=I，

由余弦定理可知COSA=g+/田2=9+/24=空X,

2ABAC6AC6AC

则--15」,

6AC3

整理得3AC2-6AC-45=(34C-15)Q4C+3)=0,

解得AC=5或4c=-3(舍).

故选：C.

由同角三角函数的平方关系化简9sin24+6cosA=10求出cosA,再利用余弦定理即可求解AC.

本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可设y=/(x)=sin3%+(p),

则函数y=/(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得、=$皿g3%+0),

再向右平移得个单位长度，得到函数y=sin(1o)x-+@)=cos(x-9

则23=1,

解得3=2,

所以sin(ga)x—co+(p)=sin(x-/+w+5),

故sp+需=]+2kn,kEZ,

解得9=瑞+2kn,kEZ,

根据选项可知k=0时，9=瑞，故C正确.

故选：C.

利用三角函数的图象变换计算即可.

本题考查三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】解：由/(%)=2cos2x-cosx-1=(2cosx+l)(cosx-1),令f(%)=0,

所以cos%=或cos%=1,又x6[0,2TT],故x=一学或x=一号或％=0或%=2兀，

所以y=/Q)的零点有四个，①错；

f(2n-%)=cos2(2n—%)—COS(2TT-%)=cos2x—cosx=/(%),y=/(x)关于x=TT对称，②对;

由f(%)=2cos2%-cosx-1=2(cosx一；)2-1，而cosxG[-1,1],且含cosx的二次函数开口向

上，

又|一1一[|>|1一外故y=/(%)的最大值：的%=一1时有)7=2,③对；

"=/(%)的最小值：cos%=[时有y=④错.

故选：B.

利用倍角余弦公式得f(%)=2cos2x-cosx-1,令/(%)=0判断①;根据/(2兀-%)=/(%)是否

成立判断②；利用二次函数、余弦函数性质求函数最值判断③④.

本题主要考查三角函数的最值，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：由题意/(乃=德=八一为+/(吗=灌+德=0,

即/Q)为奇函数，可排除C项，

而e*+e-工22A/e**L=2,当且仅当e*=即x=0时，取等号，

且sinx€=x6[0,2]时，0<-^j<1,可排除B、。选项.

故选：A.

由函数的奇偶性及值域分析即可.

本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：由互5=5顺且4为椭圆的上顶点，则而，|无？|=5|布|，若下顶点为C,

根据椭圆对称性知：直线F2B必过下顶点C,且|可了|=|配故B不可能为下顶点，

所以，如上图有再=5百，

而C(0,-b),Fz(c,0),若

则(c,b)=5(x-c,y),

故「一晨即B<c[)在椭圆上,

所以'+三=1，

25az25//

可得e2=S=?而0<e<l,

az3

则e=邙.

故答案为：D.

由题设及椭圆对称性，若下顶点为C,则直线必过下顶点C,且I及7|=|皿I，进而有恒=

5磨，设B(x,y),根据向量数量关系的坐标表示求坐标，再由点在椭圆上得到参数关系，即可求

离心率.

本题考查椭圆的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题.

12.【答案】C

【解析】解：由f(x)20在定义域内恒成立，得?一。久+(1伉%20。:>0)恒成立，

即靖-加工>a(x—恒成立.

令2=%一仇%,x>0,则e±N@3F=1—工=^1,

XX

当0<%<1时，f<0,函数t=x-Inx单调递减；

当%>1时，t'>0,函数t=%—Znx单调递增.

所以当％=1时，tmin=1，

所以te[1,4-00).

所以awj

令m(t)=9，te[1,4-00),

则加(t)=华迫20,

所以m(£)min=m(l)=e,

所以Q的取值范围为(一8,司.

故选：C.

n

由f(%)N0在定义域内恒成立，得e"-'"N-bur)恒成立，令t=%-m％,则QW£,求函数

m(t)的最小值即可得到实数Q的取值范围.

本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】15

2

【解析】解：•・,an=Sn—Sn_i(?iN2),Sn=n

a8=S8—S7=64-49=15

故答案为15

根据数列前n项和的定义可得他=Sg-s7再代入计算即可.

本题考查利用数列通项册与前几项和%的关系：=Sn-Sn_i(71>2)求劭,解题的关键是要分析

出@8=Sg—Sj.

14.【答案】(疾)

【解析】解:由题知，0(0,0),设4(勺,%)，B(x2,y2),

"OA=(1,1)，OB=(-3,4)-

•••(%i-0,y1-0)=(1,1)>(x2-0,y2-0)=(-3,4),

.俨i=1俨2=-3

"bi=1'卜2=4，

・・・4(1,1),B(-3,4),kAB=-1,

则直线4B方程为y=-,x+3

设P点坐标为(和,—,x()+务—3<%o<1,

=

求解可得X。=

y0=I-即P点坐标为感〉

故答案为：

设4,B点坐标，根据己知得出4(1,1),5(-3,4),利用直线4B方程，解设P点坐标，再根据|而|=1，

得出答案即可.

本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于中档题.

15.【答案】3

【解析】解：设过4，B,C的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,

4+l-2D+E+F=0；D=0

贝(],1-0+F=0，解得E=—4,

.4+9+2。+3E+F=0、F=-1

所以过4,B,C的圆的方程为：x2+y2-4y-l=0.

又因为点。在此圆上，所以。2+4-8-1=0,解得。2=5,

所以点。到坐标原点。的距离为，+4=3.

故答案为：3.

待定系数法求得过4B,C的圆的方程为/+y2-4y-1=0,从而可得a?+4-8-1=0,解

得a?=5,再根据两点距离公式即可求解.

本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题.

Q1

设球心。G，m，2),m>0,

又斯=(-1,0,1)>

设而=4西=(-4,0,4),A6[0,1]>

则P(1—尢0,1),

2

由R=OP=OB,得R2=(1+A)+巾2+(尹Q2=(1)2+(1—m)2+(1)2；

则m=1-A2,

由；Ie[0,1],m>0,可得0<771=2，

又R2=(1-m)2+p

所以当m时，R2取最小值，最小值为本

所以三棱锥P-BBiM外接球表面积的最小值为4兀x|=3不

故答案为：3兀.

设三棱锥P-BBiM外接球球心为。，半径为R,则点。在过直角ABBiM斜边的中点E与平面SB】“

垂直的直线上，建立空间直角坐标系，设球心。(|,机［),沛=入电,由R=OP=0B求解参数

之间的关系，结合二次函数求最值得出结果.

本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知：

平均成绩i=0.02X45+0.16X55+0.22X65+0.30x75+0.20X85+0.10x95=73.

因为0.02+0.16+0.22=0.4<0.5,0.02+0.16+0.224-0.3=0.7>0.5,

所以中位数落在［70,80)内，设中位数为X,

则0.4+0.030X(%-70)=0.5,

解得x=73*

(2)因为成绩在［80,90),［90,100］的学生人数所占比例为0.020：0.010=2：1,

所以从成绩在［80,90),［90,100］的学生中应分别抽取4人，2人，

记抽取成绩在［80,90)的4人为：a,b,c,d,抽取成绩在［90,100］的2人为：E,F,

从这6人中随机抽取2人的所有可能为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(a,F),(b,c),(b,d),(b,E),

(瓦F),(c,d),(c,E),(c,F),(d,E),(d,F),(E,F),共15种，

抽取的2名学生中恰好有一人的成绩在［90,100］的是(a,E),(a,尸),(b,E),(b,F),(c,E),(c,F),

(d,E),(d,尸)只有8种,

故做培训的这2名学生中恰好有一人的成绩在［90,100］的概率P=盘.

【解析】(1)利用平均数和中位数的定义求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：ADLAB,AB=AD=2,

则BD=VAB2+AD2=V22+22=24，ABDC=也

ABC。中，BC2=BD2+CD2-2DB•DC•cos：=8+16-2x2<7x4x?=8，

故如+叱=8+8=16=。。2,故BDLBC.

又因为PDJ•底面4BCD,BCu底面ABC。，所以PD1BC.

又因为PDnBC=。，PD,BCu平面PBD,BC1平面PBD.

又BCu底面P8C,故平面PBC1平面PBD.

(2)解：设点。到平面PBC的距离为d,

根据/)_pBC=^P-BCD,即§SAPBC,d=§SABC£>'PDJ

因为BC1平面PBD,PBu平面PBD,所以BC1PB,

△PBC中,PB=2y/~6,BC=2>J~2,

所以，PBC="x2>J~6x2V-2=4/3,

故gx4c-d=|x|x2V_2x2<2x4,解得d=殍.

即点。到平面PBC的距离为殍.

【解析】(1)根据已知求出BD=2/2NBDC=：,从而8。2+8。2=oc2得出BD1BC,再根据

PDJ■底面2BCD,得出PD1BC,从而BC1平面PBD,由此能证明平面PBC1平面PBD；

(2)设点。到平面PBC的距离为d,由/_PBC=5-8CD，能求出点D到平面PBC的距离.

本题主要考查面面垂直的证明，点到平面距离的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于

中档题.

n

19.【答案】解：(I)•••an-斯-i=2-\n>2),

由条件，当nN2时，

a

0Tl=%+(。2一%)+(。3一。2)+…+(册-1-即-2)+(an-n-l)

=3+2+22+...+2n-2+2n-1=2+^-=-=2n+1，

1-z

检验知当n=1时，结论也成立，

故斯=2n+1,n&N*.

(口)♦••%=2n+(-l)nn,

n

当n为偶数时，Tn=(2+4+8+...+2)+[—1+2—3+4+…一(n—1)+n]=2(；手+卷=

2n+1-2+p

nnnn+1

当n为奇数时，Tn=—+2-n=2-2++2-n=2-2-詈.

i号，兀为奇数

所以，„2

12n+i-2+*n为偶数

【解析】(I)由数列的恒等式和等比数列的求和公式，计算可得所求；

(口)求得%=2n+(-1)”，讨论般为奇数和偶数，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，

可得所求和.

本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查转

化思想和运算能力，属于中档题.

20.【答案】解:(1)由题可得，函数的定义域为(0,+8),f(x)=lnx+l-a.

若Q=1,/'(%)=Inx,

当OVxVl,广(x)<0,f(%)在(0,1)上单调递减;

当%>1,//(%)>0,/(%)在(L+8)上单调递增.

所以/(%)成小焦=f(l)=/nl+1-1=0,无极大值.

(2)/(%)=xlnx—ax4-a,易知/(l)=0,

所求问题等价于函数/(%)=xlnx-QX+Q在区间(l,e］上没有零点，

因为/'(%)=Inx+1—a,

当0<x<ea-1,f(x)<0,所以/(x)在上单调递减，

当》〉ear,((％)>0,在+8)上单调递增.

①当於-141,即。时，函数g(%)在区间(1,可上单调递增，所以f(%)>/(l)=O,

此时函数f(x)在区间(l,e］上没有零点，满足题意.

②当1Vea-1Ve,即1VQV2时,f(x)在区间上单调递减,在区间(eaT,e］上单调递增,

要使/(%)在(l,e］上没有零点，只需/(e)<0,即e-ea+a<0,解得Q>岩，

所以岛VaV2.

③当eWe。-］,即a22时，函数fQ)在区间(l,e］上单调递减,

在/(x)区间Qe］上满足f(x)</(I)=0此时函数f(x)在区间(l,e］上没有零点，满足题意.

综上所述，实数a的范围是｛a|a<1或a>喜｝.

【解析】(1)求导，判断函数的单调性，即可求得函数的极小值；

(2)将f(x)在区间［l,e］上有且仅有一个零点，由/'(1)=0转化为函数/(X)=以71%—。％+(1在区间

(l,e］上没有零点，通过导数分情况讨论a的取值范围，判断函数单调性，解不等式，求得参数范

围.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴因为B为4(4,4)关于动点M(m,0)(m<12)的对称点,

所以B(2ni—4,—4).

设直线心x=n(y+4)+2m—4,

联立修=蓝；+4)+2m-4'整理得丫一0-16n-8m+16=0f

则4=(4n)2—4(—16n—8m+16)=16(n2+4九+2m—4)>0,

=

4-y24九,y1y2——16n—8m+16

B为D,E的中点，得△/=2n=-4,

故n=-2,

由4>0,解得4<zn<12.

当直线，过坐标原点。时，得4n+2m-4=0,m=6.

此时直线，方程为x+2y=0.

(2)如图所示：

由(1)可知，直线八x+2(y+4)-2m+4=0,

\DE\=Jl+(-2)2|yi-y2\=4y/~5-V2m-8.

A到直线八x+2(y+4)-2m+4=0的距离为d=弊押.

则4ADE面积S=；\DE\d=4V2m-8|12-m|=4V2m-8(12-m).

S，_4(20-3m)

V2m-8，

由S，=0,解得租=3

当mW(4,算S单调递增；当me督,12),S单调递减.

故m=争寸，UOE面积的最大值驾口.

【解析】(1)首先根据题意得到B(2m—4,—4),设出直线/：x=n(y+4)+2m-4,与抛物线联

立结合题意得到n=-2,再根据直线，过坐标原点0,即可得到机=6,从而得到直线，方程为x+

2y=0.

(2)首先根据题意得到△ADE面积S