2022-2023学年江苏省常州市联盟学校高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市联盟学校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：A2.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（）A.50 B.60 C.64 D.75〖答案〗B〖解析〗由题意，高二年级有学生1000人，三个年级共有学生3000人，因为用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，其中高二年级被抽取的人数为20，可得，解得．故选：B．3.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗D〖解析〗对于A选项，若，，则、或与相交（不一定垂直），A错；对于B选项，若，，则与平行或异面，B错；对于C选项，若，，则、或与相交（不一定垂直），C错；对于D选项，因为，，则，又因为，则，D对.故选：D.4.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗（为锐角），∴为锐角，，，故选：A．5.中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理，得，因为BC>AC，所以．故选：D6.某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（）A.圆锥的体积为 B.过圆锥两条母线的截面面积最大值为C.圆锥的侧面积为 D.圆锥的侧面展开图的圆心角为〖答案〗B〖解析〗圆锥底面半径，母线长为，如图，设圆锥高为，则，所以圆锥的体积为，故A错误；因为圆锥的轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值，所以顶角为钝角，所以过圆锥两条母线的截面面积最大值，故B正确；圆锥的侧面积为，故C错误；圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，故D错误.故选：B7.设，为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若，是对立事件，则B.若，是互斥事件，，则C.若，且，则，是独立事件D.若，是独立事件，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，是对立事件，则，故A错误；对于B：若，是互斥事件，且，，则，故B错误；对于C：因为，，则，，又，所以，是独立事件，故C正确；对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，，所以，故D错误；故选：C8.已知的内角所对的边分别为，下列说法中不正确的是（）A.，则的外接圆半径是2B.在锐角中，一定有C.若，则一定是等腰直角三角形D.若，则一定是钝角三角形〖答案〗C〖解析〗对于选项A，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即，故选项A正确.对于选项B，因为为锐角三角形，所以，故选项B正确.对于选项C，由正弦定理，可化为，即，即，因为，所以解得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项C错误.对于选项D，由得：，因为，所以，故，即为钝角，是钝角三角形.故选项D正确.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第四象限 D.是关于的方程的一个根〖答案〗BD〖解析〗因为，所以的虚部为，故A错误；，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；因为，，所以，故B正确；由，即，所以，所以，即，，故D正确；故选：BD10.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.频率分布直方图中B.估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400C.估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55D.估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为〖答案〗BC〖解析〗由频率之和为1得：，解得，故A错误；学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故B正确；由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是，故C正确；由，，故第25百分位数位于内，则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故D错误.故选：BC.11.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（）A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D.小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜〖答案〗ACD〖解析〗对于A，抛掷一枚骰子，向上点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平；对于B，恰有一枚正面向上包括（正，反），（反，正）两种情况，而两枚都正面向上仅有（正，正）一种情况，所以游戏不公平；对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平；对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．故选：ACD．12.已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面C.若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为D.若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为〖答案〗AC〖解析〗对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，底面积，所以，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，，若平面，则，，则，，解得，不符合，故B错误；对于C，，若，，即，所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；对于D，连接PQ并延长交DC的延长线于，连接交于，连接QF，延长QP交DA的延长线于，连接交于，连接PE，则五边形即为经过三点的正方体的截面，如图：正方体的棱长为2，则，则为等腰直角三角形，则，根据得，，则，则，，同理可得，而，则五边形的周长为，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________.322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345〖答案〗007〖解析〗从表中第2行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去），736（舍去），253（舍去），007，故得到的第4个样本编号是007.故〖答案〗为：00714.给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的中位数是________；方差是________.〖答案〗①.②.〖解析〗由题知，数据从小到大排列为，则这组数据的中位数是，平均数为，方差为.故〖答案〗为：；15.正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是________.〖答案〗〖解析〗由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，可得上、下底面面积为，如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点，分别连接，过点作，在直角中，可得，因为侧面积等于两底面面积之和，可得，可得.代入棱台体积公式：，得：故〖答案〗为：.16.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来常州旅游，若甲、乙2人中至少有1人来常州旅游的概率是，丙来常州旅游的概率是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙3人中至少有1人来常州旅游的概率为________.〖答案〗〖解析〗设甲乙来常州旅游的概率分别为，则，所以，甲，乙，丙3人都不来常州旅游的概率为，所以甲乙丙三人中至少有1人来常州旅游的概率为，故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）因为，所以，即所以；（2）因为，所以，即，所以，即，所以，所以.18.如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．解：（1），，，，，.；（2），19.在中，角所对的边分别为，．（1）求A的大小；（2）若，求边上的高．解：（1）由正弦定理得，，，，因为，所以，所以，因为，所以.（2）在中，因为，所以，所以.解得，或（舍），设边上的高为，因为，所以.20.如图，在长方体中，，点是的中点.（1）证明：；（2）在棱上是否存在一点，使得，若存在，求，若不存在，说明理由；（3）求到平面的距离.（1）证明：如图所示：连接交于点O，则O为的中点，由题意可知，四边形是正方形，∴.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，，∴平面，又平面，∴，即.（2）解：存在一点满足时，使得平面，当点满足，即为的中点，取的中点，连接，在中，为中点，∴，∵在长方体中，是的中点，∴且，∴且，∴四边形为，∴，又平面，平面，∴平面.（3）解：连接，设到平面所成的距离为，∵在长方体中，平面，∵矩形ABCD，点E是中点，∴，∴，在中，，在中，，平面平面，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，又，∴，，∴到平面所成的距离为.21.甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.（1）若选择方案一，求甲获胜的概率；（2）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.解：（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A甲获胜事件A包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为且互斥，且每局比赛相互独立.则，，∴所以甲获胜的概率为.（2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有36个样本点，为，它们是等可能的，故这是个古典概型.两点数之和不大于6的样本点有15个：,记事件C为“两点数之和不大于6”，所以.记事件D为“点数之和大于6”，所以.因为，所以方案二被选择的可能性更大。22.如图，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面，E、F分别为的中点.（1）证明：平面；（2）若P为底面内（包括边界）的动点，平面，且P的轨迹长度为，求三棱柱的体积.（3）在（2）的条件下，求二面角的正切值.（1）证明：取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.又平面平面，且平面平面，BD在面ABC内，所以平面.因为平面，所以.因为，平面,所以平面.（2）解：取BC的中点M，连接，因为分别为的中点，，D、M分别为的中点，，因为三棱柱，∴侧面为平行四边形，∴，∴，平面，平面，平面，因为三棱柱，∴侧面为平行四边形，分别为的中点，∴且，∴平行四边形，∴，平面，平面，平面，又，平面，所以平面平面．∵P为底面内（包括边界）的动点，当时，平面，∴平面，∴P的轨迹为，∴，∴，又因为是正三角形，∴由（1）知：三棱柱的高为，∴，∴三棱柱的体积.（3）解：取AB的中点H，连接CH，，∵是正三角形，H为AB的中点，∴CH⊥AB，∵平面，平面，∴⊥AB，又，平面，∵平面，又平面，∴，∴二面角的平面角为，在中，，，.∴二面角的正切值为.江苏省常州市联盟学校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：A2.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（）A.50 B.60 C.64 D.75〖答案〗B〖解析〗由题意，高二年级有学生1000人，三个年级共有学生3000人，因为用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演，其中高二年级被抽取的人数为20，可得，解得．故选：B．3.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗D〖解析〗对于A选项，若，，则、或与相交（不一定垂直），A错；对于B选项，若，，则与平行或异面，B错；对于C选项，若，，则、或与相交（不一定垂直），C错；对于D选项，因为，，则，又因为，则，D对.故选：D.4.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗（为锐角），∴为锐角，，，故选：A．5.中，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理，得，因为BC>AC，所以．故选：D6.某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（）A.圆锥的体积为 B.过圆锥两条母线的截面面积最大值为C.圆锥的侧面积为 D.圆锥的侧面展开图的圆心角为〖答案〗B〖解析〗圆锥底面半径，母线长为，如图，设圆锥高为，则，所以圆锥的体积为，故A错误；因为圆锥的轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值，所以顶角为钝角，所以过圆锥两条母线的截面面积最大值，故B正确；圆锥的侧面积为，故C错误；圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，故D错误.故选：B7.设，为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若，是对立事件，则B.若，是互斥事件，，则C.若，且，则，是独立事件D.若，是独立事件，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，是对立事件，则，故A错误；对于B：若，是互斥事件，且，，则，故B错误；对于C：因为，，则，，又，所以，是独立事件，故C正确；对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，，所以，故D错误；故选：C8.已知的内角所对的边分别为，下列说法中不正确的是（）A.，则的外接圆半径是2B.在锐角中，一定有C.若，则一定是等腰直角三角形D.若，则一定是钝角三角形〖答案〗C〖解析〗对于选项A，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即，故选项A正确.对于选项B，因为为锐角三角形，所以，故选项B正确.对于选项C，由正弦定理，可化为，即，即，因为，所以解得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项C错误.对于选项D，由得：，因为，所以，故，即为钝角，是钝角三角形.故选项D正确.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第四象限 D.是关于的方程的一个根〖答案〗BD〖解析〗因为，所以的虚部为，故A错误；，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；因为，，所以，故B正确；由，即，所以，所以，即，，故D正确；故选：BD10.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.频率分布直方图中B.估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400C.估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55D.估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为〖答案〗BC〖解析〗由频率之和为1得：，解得，故A错误；学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故B正确；由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是，故C正确；由，，故第25百分位数位于内，则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故D错误.故选：BC.11.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（）A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D.小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜〖答案〗ACD〖解析〗对于A，抛掷一枚骰子，向上点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平；对于B，恰有一枚正面向上包括（正，反），（反，正）两种情况，而两枚都正面向上仅有（正，正）一种情况，所以游戏不公平；对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平；对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．故选：ACD．12.已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面C.若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为D.若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为〖答案〗AC〖解析〗对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，底面积，所以，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，，若平面，则，，则，，解得，不符合，故B错误；对于C，，若，，即，所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；对于D，连接PQ并延长交DC的延长线于，连接交于，连接QF，延长QP交DA的延长线于，连接交于，连接PE，则五边形即为经过三点的正方体的截面，如图：正方体的棱长为2，则，则为等腰直角三角形，则，根据得，，则，则，，同理可得，而，则五边形的周长为，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________.322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345〖答案〗007〖解析〗从表中第2行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去），736（舍去），253（舍去），007，故得到的第4个样本编号是007.故〖答案〗为：00714.给定数6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则这组数据的中位数是________；方差是________.〖答案〗①.②.〖解析〗由题知，数据从小到大排列为，则这组数据的中位数是，平均数为，方差为.故〖答案〗为：；15.正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是________.〖答案〗〖解析〗由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，可得上、下底面面积为，如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点，分别连接，过点作，在直角中，可得，因为侧面积等于两底面面积之和，可得，可得.代入棱台体积公式：，得：故〖答案〗为：.16.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来常州旅游，若甲、乙2人中至少有1人来常州旅游的概率是，丙来常州旅游的概率是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙3人中至少有1人来常州旅游的概率为________.〖答案〗〖解析〗设甲乙来常州旅游的概率分别为，则，所以，甲，乙，丙3人都不来常州旅游的概率为，所以甲乙丙三人中至少有1人来常州旅游的概率为，故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）因为，所以，即所以；（2）因为，所以，即，所以，即，所以，所以.18.如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．解：（1），，，，，.；（2），19.在中，角所对的边分别为，．（1）求A的大小；（2）若，求边上的高．解：（1）由正弦定理得，，，，因为，所以，所以，因为，所以.（2）在中，因为，所以，所以.解得，或（舍），设边上的高为，因为，所以.20.如图，在长方体中，，点是的中点.（1）证明：；（2）在棱上是否存在一点，使得，若存在，求，若不存在，说明理由；（3）求到平面的距离.（1）证明：如图所示：连接交于点O，则O为的中点，由题意可知，四边形是正方形，∴.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，，∴平面，又平面，∴，即.（2）解：存在一点满足时，使得平面，当点满足，即为的中点，取的中点，连接，在中，为中点，∴