2022-2023学年江苏省宿迁市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省宿迁市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，又，所以，可得.故选：C2.若复数，则（）A. B. C.1 D.3〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则有，解得，所以，故选：D.3.在中，已知，，，则等于（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得：，，，则，.故选：A.4.等于（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗原式.故选：B5.如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗A〖解析〗由题设可得如下示意图，且，即，由图知：，则，又，所以，则海里.故选：A7.已知，则（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B8.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且，则的取值范围是（）．A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以由正弦定理可得：，即，因为为锐角三角形，所以，所以，即，，因为，所以，，所以，所以，即.故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的共轭复数是B.的虚部是C.D.若复数满足，则的最大值是〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，复数的虚部为，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，令，则，即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.故选：AD.10.已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.D.若且，则〖答案〗AD〖解析〗对A，在同一平面内向量均为非零向量，若且，则，即A正确；对B，若，则，又，所以，因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误；对C，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C错误；对D，若且，则，，即D正确.故选：AD．11.设…是半径为1的圆O内接正n边形，则由圆的旋转不变性知：．据此可推断下列结论正确的有（）．A.B.C.D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项，设，，由题意得，其中，所以，A正确；B选项，设，由题意得，其中，，B正确；C选项，设，，则①，②，则①+②得，C正确；D选项，设，，则③，④，③-④得，故不是定值，D错误.故选：ABC12.分别为内角的对边，已知，且，则（）A. B.C.的周长为 D.的面积为〖答案〗ABD〖解析〗由正弦定理得，整理得，即，A正确；由可得，则，B正确；由余弦定理得，又，可得，整理得，的周长为，C错误；由上知：，，可得，则的面积为，D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，即.故〖答案〗为：14.李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李-杨单位圆定理：设n为自然数且，给定，，，．则多项式的零点（多项式值为零的复数z的值）全部分布在单位圆上．其中，而，并约定．其特例：当时，设，．若取，则的一个零点为__________．〖答案〗（或）〖解析〗当时，，令，由求根公式可得.故〖答案〗为：（或）15.已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗单位向量与，则，向量在方向上的投影向量为，所以,由于的取值范围是，所以.故〖答案〗为：.16.兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为___________米．〖答案〗90〖解析〗在中，，所以，在，，所以，即，在中，，，由余弦定理，，即，解得或（舍去），即黄河楼的估计高度为米.故〖答案〗为：四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.若复数，复数．（1）若，求实数的值；（2）若，求．解：（1）由已知，则，解得.（2）当时，.18.已知向量与的夹角，且，．（1）求；（2）与的夹角的余弦值．解：（1）已知向量与的夹角，且，，则，所以；（2）由（1）知：，所以，所以与的夹角的余弦值为.19已知，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由题意可得：.（2）由（1）可知：，则，∵，，则，，可得，故20.如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.（1）若，求的长；（2）求四边形面积的最大值.解：（1）在中，，由余弦定理得，解得.（2）在中，，由余弦定理得.因为，.所以四边形的面积.因为，故，根据正弦函数的最值可知，所以，即当时，四边形面积取到最大值.21.在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．解：（1）由题可知，，在中，，，，在中，，，，．（2），，当，即时，，故当时，矩形的面积最大，最大值为．22.在中，（1）|，于D，，，求，.（2）如果（1）的条件下，中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角解：（1）以BC，DA分别为轴建立直角坐标系如图，，于D，，，可得，，可得，，，，，，，，，.（2）设与轴正方向成角，即向量与的夹角为，因为，，所以，当与方向相同时，即，时，取得最大值0，此时与的方向相同；当与方向相反时，即，时，取得最小值，此时与的方向相反.江苏省宿迁市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，又，所以，可得.故选：C2.若复数，则（）A. B. C.1 D.3〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则有，解得，所以，故选：D.3.在中，已知，，，则等于（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得：，，，则，.故选：A.4.等于（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗原式.故选：B5.如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗A〖解析〗由题设可得如下示意图，且，即，由图知：，则，又，所以，则海里.故选：A7.已知，则（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B8.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且，则的取值范围是（）．A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以由正弦定理可得：，即，因为为锐角三角形，所以，所以，即，，因为，所以，，所以，所以，即.故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的共轭复数是B.的虚部是C.D.若复数满足，则的最大值是〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，复数的虚部为，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，令，则，即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.故选：AD.10.已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.D.若且，则〖答案〗AD〖解析〗对A，在同一平面内向量均为非零向量，若且，则，即A正确；对B，若，则，又，所以，因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误；对C，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C错误；对D，若且，则，，即D正确.故选：AD．11.设…是半径为1的圆O内接正n边形，则由圆的旋转不变性知：．据此可推断下列结论正确的有（）．A.B.C.D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项，设，，由题意得，其中，所以，A正确；B选项，设，由题意得，其中，，B正确；C选项，设，，则①，②，则①+②得，C正确；D选项，设，，则③，④，③-④得，故不是定值，D错误.故选：ABC12.分别为内角的对边，已知，且，则（）A. B.C.的周长为 D.的面积为〖答案〗ABD〖解析〗由正弦定理得，整理得，即，A正确；由可得，则，B正确；由余弦定理得，又，可得，整理得，的周长为，C错误；由上知：，，可得，则的面积为，D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，即.故〖答案〗为：14.李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李-杨单位圆定理：设n为自然数且，给定，，，．则多项式的零点（多项式值为零的复数z的值）全部分布在单位圆上．其中，而，并约定．其特例：当时，设，．若取，则的一个零点为__________．〖答案〗（或）〖解析〗当时，，令，由求根公式可得.故〖答案〗为：（或）15.已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗单位向量与，则，向量在方向上的投影向量为，所以,由于的取值范围是，所以.故〖答案〗为：.16.兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为___________米．〖答案〗90〖解析〗在中，，所以，在，，所以，即，在中，，，由余弦定理，，即，解得或（舍去），即黄河楼的估计高度为米.故〖答案〗为：四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.若复数，复数．（1）若，求实数的值；（2）若，求．解：（1）由已知，则，解得.（2）当时，.18.已知向量与的夹角，且，．（1）求；（2）与的夹角的余弦值．解：（1）已知向量与的夹角，且，，则，所以；（2）由（1）知：，所以，所以与的夹角的余弦值为.19已知，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由题意可得：.（2）由（1）可知：，则，∵，，则，，可得，故20.如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.（1）若，求的长；（2）求四边形面积的最大值.解：（1）在中，，由余弦定理得，解得.（2）在中，，由余弦定理得.因为，.所以四边形的面积.因为，故，根据正弦函数的最值可知，所以，即当时，四边形面积取到最大值.21.在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；（2