押新高考第3题 排列组合与二项式定理-备战2024年高考数学临考题号押题（全解全析）

第第页押新高考3题排列组合与二项式定理考点4年考题考情分析排列组合与二项式定理2023年新高考Ⅰ卷第13题2023年新高考Ⅱ卷第3题2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2024年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【答案】64【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种.故答案为：64.2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-284．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第5题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B1.分类计数原理（加法原理）.2.分步计数原理（乘法原理）.3.排列数公式==.(，∈N*，且)．注:规定.4.组合数公式===(∈N*，，且).5.排列数与组合数的关系.6．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.8.二项式定理;二项展开式的通项公式.1．（2024·福建漳州·一模）的展开式中的系数为（

）A．48 B．30 C．60 D．120【答案】C【分析】根据题意结合二项式定理分析求解.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得，可得的系数为.故选：C.2．（2024·浙江·一模）展开式中含项的系数为（

）A．30 B． C．10 D．【答案】B【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.【详解】由题意得，展开式中含的项为，所以展开式中含项的系数为.故选：B3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）的展开式中，的系数为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】利用二项式定理，结合多项式的乘法法则，列式计算即得.【详解】依题意，，，所以的展开式中，的系数为.故选：B4．（2024·浙江温州·二模）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（

）A． B．64 C． D．32【答案】A【分析】设，利用赋值法计算可得.【详解】设，令可得，令可得，所以，即在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为.故选：A5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（

）A．15 B．1215 C．2430 D．81【答案】B【分析】根据题意，令，求得，化简得到展开式的通项，进而得到答案.【详解】因为的展开式的各项系数和为，令，可得，解得，即二项式为，可得其通项为，令，可得，所以展开式中的系数为.故选：B.6．（2024·福建龙岩·一模）的展开式中的系数为（

）A． B． C．14 D．49【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可.【详解】的展开式的通项为，则，，则展开式中的系数为，故选：D.7．（2024·广东·模拟预测）二项式的各项系数之和为（

）A．512 B． C．2 D．【答案】B【分析】令进而求解即得.【详解】令，则二项式的各项系数之和为，故选：B8．（2024·辽宁丹东·一模）的展开式中常数项为（

）A．24 B．25 C．48 D．49【答案】D【分析】利用二项式定理连续展开两次，然后令，从而满足题意的数组可以是：，将这些数组回代入通项公式即可运算求解.【详解】的展开式通项为，令，得满足题意的数组可以是：，规定，故所求为.故选：D.9．（2024·广东汕头·一模）展开式中项的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】的展开式通项为，因为，在中，令，可得项的系数为；在中，令，得，可得项的系数为.所以，展开式中项的系数为.故选：A.10．（2024·河北邯郸·三模）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C．6 D．192【答案】A【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．故选：A.11．（2024·山东聊城·一模）设，其中，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】展开后找到不能被7整除的项，求出被7整除的余数.【详解】在所有的展开项中，只有不能被7整除，故，其中，故选：D12．（2024·山东烟台·一模）若，则（

）A．100 B．110 C．120 D．130【答案】C【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.【详解】在中，，，所以.故选：C13．（2024·江苏·一模）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用赋值法，分别令可得.【详解】令，则，；令，则；.故选：C.14．（2024·湖南常德·三模）已知，则=（

）A．9 B．10 C．18 D．19【答案】D【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得.【详解】由得，分别对两边进行求导得，令，得，得，故选：D15．（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（

）A．680 B． C．1360 D．【答案】B【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】令，则，即令，则，即，两式相加可得，故选：B16．（2024·江苏徐州·一模）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.故选：A17．（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（

）A．20种 B．10种 C．8种 D．6种【答案】D【分析】根据排列数的定义和公式，即可求解.【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有种方法.故选：D18．（2024·安徽池州·二模）甲乙两人分别从五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（

）A．30种 B．60种 C．45种 D．90种【答案】B【分析】利用先选后排可得不同的选法数.【详解】两人恰好有两项科目相同的选法为.故选：B.19．（2024·辽宁·一模）某表彰会上3名男同学和4名女同学从左至右排成一排上台领奖，则女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻的排法种数为（

）A．194 B．240 C．388 D．480【答案】D【分析】由题意，将女生甲与女生乙和女生丙与女生分别捆绑起来算作两个元素，再与3名男同学全排列即可.【详解】解：因为女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻，则捆绑起来算作两个元素，与3名男同学构成5个元素，则排法共有：种，故选：D20．（2024·辽宁·一模）第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（

）A．15种 B．31种 C．46种 D．60种【答案】C【分析】可用“间接法”解决问题.【详解】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为.故选：C21．（2024·湖南邵阳·二模）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（

）A．240种 B．120种 C．156种 D．144种【答案】D【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法，故不同的安排方法共有种.故选：D.22．（2024·湖南·二模）将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（

）A．36种 B．24种 C．18种 D．16种【答案】A【分析】把4个人按分成3组，再分配到三个不同地区即可.【详解】依题意，三个地区中必有一个地区有2人，先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，与其他2个人一起分配到三个地区，共有种.故选：A23．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（

）A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种【答案】B【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下名男选手和名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法，余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有．故选：B24．（2024·浙江金华·模拟预测）将1至8这8个整数排成一列，要求任意相邻两项互质，则不同的排列方法有（

）A．1296种 B．1728种 C．2304种 D．2592种【答案】B【分析】任意相邻两项互质，采用插空法，由排列组合的知识求解即可【详解】由于任意相邻两项互质，所以偶数必须隔开，所以先把四个奇数排成一列有种方法，然后把偶数插空进去，四个偶数中只有不能与相邻，其他偶数可以随意插空，所以先考虑把插空，有种选择，剩下的个偶数在剩下的个空中随意插空，所以共有：.故选：B.25．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（

）A．48种 B．36种 C．24种 D．12种．【答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域有种方法，第二步，摆放区域有3种方法，第三步，摆放区域有2种方法，第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，故选：A.26．（2024·湖南·二模）2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（

）A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种【答案】B【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法，所以一共有种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法，其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法，所以一共有种排法；综上可知共有种不同排法.故选：B.27．（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为个，将两类情况的方法总数相加即可.【详解】将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式，当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为种.故选：A.28．（2024·湖北·一模）已知今天是星期三，则天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五【答案】A【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.【详解】．即除以7的余数为5，所以天后是星期一.故选：A.29．（2024·河北·模拟预测）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（