2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）定时训练数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）定时训练数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若二次根式a−1有意义，则a的取值范围为(

)A.a≥1 B.a>1 C.a≤1 D.a≠12.图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在(

)

A.区域①处 B.区域②处 C.区域③处 D.区域④处3.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若|a|=|c|，则下列结论中正确的是(

)

A.a+c>0 B.a−b>0 C.|a|>b D.ab>04.下列命题中，正确的命题有个．(

)

①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角

②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°

③有理数和数轴上的点一一对应

④若在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足xy=0，则点P在原点上A.1 B.2 C.3 D.45.估计42×A.14到14.5之间 B.14.5到15之间 C.15到15.5之间 D.15.5到16之间6.如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，连接BD，DE，FG，若DE=GF，且∠BDE=α，则∠BFG=(

)A.45°−α

B.2α

C.2α−45°

D.45°+α7.若x−1x+1=0，则x3A.2025 B.2024 C.2023 D.20228.观察并找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是(

)

A.3037 B.3036 C.3035 D.30349.如图，在△ABC中，S△ABC=24，BD：CD=2：1，AC=BD，∠ACB的角平分线CE交AB于E，则△ADE的面积为(

)A.8.2

B.7.8

C.6.4

D.5.610.定义“[]”是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数.例如：[1.6]=1，[−1.4]=−2，在式子1.1+2.3−1.3−3.1+0.5中，对相邻的两个数字间任意添加一个或两个“[]”，然后得出式子运算结果，称此为“取整操作”．

例如：1.1+2.3−[1.3−3.1]+0.5=1.1+2.3−[−1.8]+0.5=5.9，

[1.1+2.3]−1.3−[3.1+0.5]=[3.4]−1.3−[3.6]=−1.3⋯．

下列说法：

①不存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；

②存在“取整操作”的运算结果为整数；

③所有的“取整操作”共有6种不同运算结果；

其中正确的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若代数式m2−km+1是一个完全平方式，则实数k=______．12.若一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的图象经过点(−3,0)，则关于x的方程k(x−7)−b=0的解为x=______．13.若关于x的一元一次不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程14.如图，在△ABC中，AC=7，AB=6，BC=5，点D是线段AB上一点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点是B′，当点B′恰好落在△ABC的边上时，BD的长是______．

15.有一种把整数分类的方法，指定一个整数n，把所有除以n后得到的余数相等的整数分为一类.例：当n=3时，0，3，6，…除以3，余数为0，这是一类：1，4，7，…余数为1，这也是一类；2，5，8，…是最后一类.定义：一个整数对称位置上的数字为同一类整数(按除以n的余数分类)，则称其为“n的对称同余数”.例：整数54340，是“5的对称同余数”，但不是“3的对称同余数”.已知一个四位整数，既是“4的对称同余数”，又是完全平方数(即是某个整数的平方)，则满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为______．三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG．

(1)如图1，若EF与CD交于点H，且∠EHD=125°，求∠BAG的度数；

(2)连接DG，求证：C、D、G三点共线；

(3)如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长．17.(本小题15分)

阅读材料：

材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.例如：(6−2)(6+2)=6−2=4，我们称6−2的一个有理化因式是6+2．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如：46−18.(本小题15分)

阅读材料：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，应得多少肉？(所带的钱买16两肉还差40文，买9两肉又多出16文，问所带钱能买多少肉？)”这又是一个歌谣体的古算题，见明程大位《算法统宗》书中．

古算法解盈朒(nǜ，亏损)问题，另立专法，将两次所买肉的两数同两次盈脑的数列成下式：

前所买数后所买数×朒数盈数，交叉相乘，两积相并(相加)，得数为被除数，又盈相并，得数为除数，两数相除即得．

前题若依古法计算，列式：

前买肉16两后买肉9两×朒40文盈16文，哑子应得肉6×16+9×4040+16=11两.同新法比较，简易而又别致．

——许莼舫《古算趣味》

(1)将原题改为“十两多八文，十三少十六”(所带的钱买10两肉多出8文，买13两肉还差16文)，用古法解决这个问题；

(2)将原题改为“八两多廿四，九两多十六”(所带的钱买8两肉多出24文，买9两肉又多出1619.(本小题15分)

定义运算max{a,b}：当a≥b时，max{a,b}=a；当a<b时，max{a,b}=b；如：max{4,0}=4；max{2,2}=2；max{−3,−1}=−1．

(1)若max{3x−1,−x+3}=3x−1，求x的取值范围；

(2)过y轴上的动点A(0,a)，作平行于x轴的直线，分别与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于B、C两点(点B在点C的左侧)，若BC=3AB，求a的值；

(3)若一次函数y=12x+k图象与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于D、E两点，DE≤3520.(本小题15分)

直角坐标平面xOy内，有一条曲线C，曲线C上任意一点P的坐标(x,y)满足方程4x−y2=0，平面xOy内，还有一条直线l：x=−1，一个点F(1,0)．

(1)如图1，过曲线C上任意一点P，作直线l的垂线段，垂足为H(−1,y)，求证：PF=PH；

(2)如图2，动直线y=kx−k为与曲线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作直线l的垂线段，垂足分别C、D，作∠BAC的平分线AT，交直线l于T，连接BT，求证：BT平分∠ABD；

(3)如图3，P(x,y)是曲线C上一动点，Q(5,5)是曲线C外部一点，R(−1,y0)是直线l答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵二次根式a−1有意义，

∴a−1≥0，

∴a≥1，

故选：A．

根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．

2.【答案】B

【解析】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，

这个正方形应该添加区域②处，

故选：B．

根据中心对称图形的概念解答．

本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：∵|a|=|c|，

∴原点在a，c的中间，

如图：

由图可得：|a|>|b|，

∴a+c=0，a−b<0，|a|>b，ab<0，

故选项C正确．

故选：C．

根据|a|=|c|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．

本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．4.【答案】A

【解析】解：①如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，故原说法错误；

②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°，正确；

③实数和数轴上的点一一对应，故原说法错误；

④若在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足xy=0，则x=0或y=0，故点P在x轴或y轴上，故原说法错误；

故选：A．

根据对顶角的定义，直角三角形的性质，实数与数轴的关系，数轴上点的特点逐项判断即可．

本题考查了判断命题的正确性，判断每个命题是否正确，即可求解；掌握判定方法及相关知识点是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：42×7+1=414+1，

∵414+1=224+1，14.5=210.256.【答案】D

【解析】解：过A作AM//GF交DE于N，交BC于M，

，

∵正方形ABCD，

∴AD//BC，∠DAB=∠ABM=90°，AD=AB，∠ABD=45°，

∴四边形AMFG是平行四边形，

∴GF=AM，

又DE=GF，

∴AM=DE，

∴Rt△ADE≌Rt△BAM(HL)，

∴∠AED=∠AMB=45°+α，

∵AM//GF，

∴∠BFG=∠AMB=45°+α，

故选：D．

过A作AM//GF交DE于N，交BC于M，利用平行四边形的判定与性质可得出GF=AM，利用HL证明Rt△ADE≌Rt△BAM，得出∠AED=∠AMB=45°+α，然后利用平行线的性质即可求解．

本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握正方形的性质是关键．7.【答案】A

【解析】解：∵x−1x+1=0，

∴x+1=1x，1x−x=1，

则x3+2x2+2024=x(x2+2x+1−1)+2024=x(x+1)2−x+2024，

把x+1=1x，1x−x=1代入上式，得8.【答案】B

【解析】解：∵第一个图黑色正方形的数量为1+1+12=2(个)；第三个图黑色正方形的数量为3+3+12=5(个)；第五个图黑色正方形的数量为5+5+12=8(个)；

∴当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为(n+n+12)个，

∵第二个图黑色正方形的数量为2+22=3(个)；第四个图黑色正方形的数量为4+42=6(个)；

∴当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为(n+n29.【答案】C

【解析】解：如图：分别过点E作EM⊥BC，EN⊥AC，△BED，△EDC，△AEC的面积分别记S1，S2，S3，

∵∠ACB的角平分线CE交AB于E，

∴EM=EN=ℎ，

∵S△ABC=24，BD：CD=2：1，AC=BD，

则S1S2=12BD×ℎ12DC×ℎ=BDDC=21，S3=12AC×ℎ，S△ADC+S△ADB=S△ADC+2S△ADC=24(同高，底边比就是面积比)10.【答案】B

【解析】解：依题意，原式：1.1+2.3−1.3−3.1+0.5=−0.5，

[1.1+2.3]−1.3−3.1+0.5=3−1.3−3.1+0.5=−0.9，

1.1+[2.3−1.3]−3.1+0.5=1.1+1−3.1+0.5=−0.5，

1.1+2.3−1.3−[3.1+0.5]=1.1+2.3−1.3−3=−0.9，

[1.1+2.3]−[1.3−3.1]+0.5=3−(−2)+0.5=5.5，

1.1+[2.3−1.3]−[3.1+0.5]=1.1+1−3=−2.9，

∴存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；故①是错误的；

∴不存在“取整操作”的运算结果为整数；故②是错误的；

∴所有的“取整操作”共有6种不同运算结果，分别是5.9，−1.3，−0.5，−0.9，5.5，−2.9；故③是正确的；

故选：B．

先根据题意，把所有的情况列式并运算出来，再逐项分析，即可作答．

本题考查了新定义运算，关键是正确理解题意列式计算．11.【答案】±2

【解析】解：∵代数式m2−km+1是一个完全平方式，

∴−k=±2×1=±2，

∴k=±2，

故答案为：±2．

利用平方项来确定这两个数．利用完全平方公式进行求解．12.【答案】10

【解析】解：依题意，把(−3,0)代入y=kx+b，

得0=−3k+b，

∴0=3k−b，

∵0=k(x−7)−b，

即x−7=3，

∴x=10，

故答案为：10．

先把(−3,0)代入y=kx+b，得0=−3k+b，整理得0=3k−b，与方程0=k(x−7)−b作比较，即可作答．

本题考查一次函数与x轴的交点问题、与一元一次方程的解的关系，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．13.【答案】−6

【解析】解：解关于x的一元一次不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1，得x≤m−1x>−6，

∵关于x的一元一次不等式组x−m≤−1x+12−x4>−1有解且至多有4个整数解，

∴−6<m−1<−1，

∴−5<m<0，

解关于y的分式方程1y−1=my1−y−3，得y=2m+3，

∵分式方程的解为整数，−5<m<0且2m+3≠1，

∴满足条件的整数m的值为−4，−2，

∴所有满足条件的整数14.【答案】1或52【解析】解：当点B′在AB上时，

此时CD⊥AB，

设BD=x，

∵AC2−AD2=BC2−BD2，

∴72−(6−x)2=52−x2，

解得x=1，即BD=1；

当点B′在AC上时，过B作BH⊥AC于H，过点D作DG⊥AC于点G，做DN⊥BC于点N，

∵AB2−AH2=BC2−CH2，

∴62−(7−CH)2=52−CH2，

解得CH=197，

∴BH=BC2−CH2=1267，

依据翻折的性质，且点B′在AC上，得∠BCD=∠B′CD，BD=B′D，

∴DG=DN，

∵12AC⋅DG+12BC⋅DN=12AC⋅BH15.【答案】10890

【解析】解：∵一个完全平方数(即是某个整数的平方)四位整数，完全平方数(即是某个整数的平方)，

∴31×31=961，32×32=1024，33×33=1089，

∵961<1000，32×32=1024不满足“4的对称同余数”这个条件，(1除以4的余数是1；4除以4的余数是0，不对称，故舍去)，

∴33×33=1089满足“4的对称同余数”这个条件，(1除以4的余数是1；9除以4的余数是0，0除以4的余数0；8除以4的余数是0，对称)，

∴最小的四位数为1089；

同理100×100=10000不是4位数，故舍去；

99×99=9801满足“4的对称同余数”这个条件，(1除以4的余数是1；9除以4的余数是0，0除以4的余数0；8除以4的余数是0，对称)，

∴最大的四位数是9801，

∴满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为9801+1089=10890，

故答案为：10890．

先根据完全平方数(即是某个整数的平方)，得到最小满足一个四位整数，是“4的对称同余数”，即33×33=1089，因为100×100=10000，99×99=9801，且最大的数：9801满足一个四位整数，是“4的对称同余数”，即可作答．

本题考查了新定义以及完全平方数的应用，解答本题的关键要明确应用完全平方公式时，①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式．16.【答案】(1)解：∵四边形AEFG是正方形，

∴∠AEF=∠EAG=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAE=360°−∠ADC−∠AEH−∠EHD=360°−90°−90°−125°=55°，

∴∠BAE=90°−55°=35°，

∴∠BAG=∠EAG+∠BAE=90°+35°=125°；

(2)证明：连接DG，

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∠B=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG(SAS)，

∴∠B=∠ADG=90°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G三点共线；

(3)解：过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，

则∠EKF=90°，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE=EF，∠B=∠AEF=90°，

∴∠B=∠EKF，

∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEK=90°，

∴∠BAE=∠FEK，

∴△AEB≌△EFK(AAS)，

∴BE=FK，AB=EK=5，

∵点E是线段BC的中点，

∴BE=EC=12×5=52，

∴FK=CK=52，

∵∠CKF=90°，

∴△CFK【解析】(1)由正方形的性质求出∠DAE=55°，得出∠BAE=90°−55°=35°，则可得出答案；

(2)连接DG，证明△BAE≌△DAG(SAS)，得出∠B=∠ADG=90°，证出∠ADC+∠ADG=180°，则可得出结论；

(3)过点F作FK⊥BC，交BC的延长线于点K，连接CF，证明△AEB≌△EFK(AAS)，得出BE=FK，AB=EK=5，由等腰直角三角形的性质可得出答案．

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．17.【答案】解：(1)原式=(25)2−12+4(3+1)(3−1)(3+1)

=20−1+2(3+1)

=20−1+23+2

=21+23，

(2)∵12025−2024=2025+【解析】(1)利用平方差公式和分母有理化计算即可；

(2)分别取倒数，然后把两数分母有理化，然后比较即可；

(3)等式两边分别乘以a2+1−a，18.【答案】解：(1)依古法计算，列式：

哑子应得肉前买肉10两后买肉13两×朒8文盈16文=10×16+13×88+16=11(两)．

(2)能，将所带的钱买8两肉多出24文，看作所带的钱买8两肉少−24文，

列式为：前买肉8两后买肉9两×朒【解析】(1)根据公式进行计算即可求解；

(2)根据公式进行计算即可求解；

(3)设肉价为每两x文，他所带钱数为y文，解关于x，y的二元一次方程组，即可求解．

本题考查了二元一次方程组的应用，分式的除法，有理数的混合运算；19.【答案】解：(1)∵max{3x−1,−x+3}=3x−1，

∴3x−1≥−x+3，

解得x≥1；

(2)当x−3<−x−1时，解得x<1，

∴y=−x−1；

当x−3≥−x−1时，x≥1时，

∴y=x−3；

过y轴上的动点A(0,a)，作平行于x轴的直线，

∴B(−1−a,a)，C(a+3,a)，

∵BC=3AB，

∴(a+3+1+a)=3|−1−a|，

解得a=−75或a=1；

(3)画出函数y=max{x−3,−x−1}的图象如图，

∵一次函数y=12x+k图象与函数y=max{x−3,−x−1}的图象相交于D、E两点，

∴12x+k=−x−1，12x+k=x−3，

解得x1=−23k−23，x2=2k+6，

设D(x1,−x1−1)，E(x2,x2−3)，

∴DE=(x1−x2)+2