适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数高考解答题专项二三角函数中的综合问题课件

三角函数中的综合问题高考解答题专项二考情分析三角函数是高考的必考内容,在近几年的高考试卷中,三角函数解答题可能是常规考题,也可能是结构不良试题或开放型问题,形式灵活,但以考查三角函数的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,对学生的综合素养要求较高,一般处在解答题的前两个题目位置,对逻辑推理、数学运算、数学建模等多个数学核心素养都有较深入的考查.考点一三角函数的图象与性质问题方法总结三角函数图象与性质问题的解法(1)基本策略:首先通过恒等变换将函数解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体换元思想解决相应的性质问题.(2)易错提醒:①求单调区间时,如果系数ω<0,应先利用诱导公式,将系数化为正数,再进行求解;当A<0时,原函数的单调区间与函数y=sin(ωx+φ)的单调区间恰好相反,应注意转换.②求函数在区间[a,b]上的最值和值域时,不能错误地认为最大值和最小值就是1和-1,也不能认为最值一定在区间端点a,b处取得,而应该依据x∈[a,b]求出ωx+φ的取值区间,然后结合正弦函数的图象来确定函数的最值以及取得最值时自变量的值.(1)试写出满足题意的2个条件的序号,并说明理由;(2)求函数g(x)=f(x)+6cos2x的值域.考点二三角恒等变换与三角函数的综合例2.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).方法点拨利用恒等变换研究三角函数性质在研究三角函数的周期、最值、奇偶性、单调区间等性质时,通常先利用和差倍角公式以及其他三角函数公式,进行恒等变换,对函数解析式进行化简整理,化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再根据正弦函数的性质得出结论.其中恒等变换的关键步骤有二:(1)降次:化为asin

ωx+bcos

ωx的形式;(2)化一:化为

sin(ωx+φ)的形式.(1)求函数图象的对称轴方程;(2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.考点三利用正余弦定理解三角形问题例3.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2)若b2+c2=8,求b,c.方法总结利用正余弦定理解三角形的基本策略

考点四三角形的中线与角平分线问题例4.(2023福建厦门二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-c=2bcosC.(1)求B;(2)A的角平分线与C的角平分线相交于点D,AD=3,CD=5,求AC和BD.解

(1)因为2a-c=2bcos

C,由正弦定理得2sin

A-sin

C=2sin

Bcos

C.所以2sin(B+C)-sin

C=2sin

Bcos

C,所以2sin

Bcos

C+2cos

Bsin

C-sin

C=2sin

Bcos

C.所以2cos

Bsin

C=sin

C,因为sin

C≠0,方法总结三角形中的中线、角平分线问题的处理策略

对点训练4锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1)求A;(2)若b=2,D为AB的中点,求CD的取值范围.考点五三角函数与解三角形的综合问题技巧点拨三角函数与解三角形综合问题的解法步骤

即cos

Acos

B=sin

B(1+sin

A),∴cos

Acos

B=sin

B+sin

Asin

B,∴sin

B=cos

Acos

B-sin

Asin

B=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos

C>0.考点六三角变换与解三角形的综合问题例6.(2023新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.(2)过点C作AB的垂线,垂足为点D,则CD为AB边上的高.规律方法在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如cos

A=将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制,还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.对点训练6(2023全国甲,文17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

在△ABC中,A+B+C=π,则sin

C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin

Acos

B+co