2021年高考数学解答题专项练习-数列（含答案）

2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》一

1，数列｛a｝的前n项和为S=33n-n2.

nn

(1)求｛”｝的通项公式；

(2)设b=|aI,求数列｛b｝的前n项和S/.

nnnn

2•已知数列(%)为等差数列，其中%=L%=13.

(I)求数列｛a,)的通项公式；

(II)若数列色J满足为=―-—，看为数列0”)的前以项和，当不等式

外■%与

肛。+8(-(«FW)

恒成立时，求实数4的取值范围.

3•已知｛£是等差数列，叼是等比差数列，且耍3,b「9,m』力.

(I)求｛aj的通项公式；

(II)设c=a+b,求数列｛c｝的前n项和.

2

4.已知数列｛a｝的前n项和S=n2+1,数列｛b｝中，b=.,且其前n项和为T,设c二T—

nnnna十1nn2n+l

n

T.

d）求数列｛b｝的通项公式；

⑵判断数列％｝的增减性.

n

5.等差数列｛a｝的各项均为正数,a=3,前n项和为S,｛b｝为等比数列,b=l,且Sb=64,Sb=960.

n1nn12233

(1)求a与b；

nn

1111

⑵求一+—+——+...+—.

5SSS

123n

6•已知数列｛a｝的前n项和为S,且S=2a-2.

n"RR

（I）求数列｛a｝的通项公式；

n

（ID他=飒+噂缘，数列｛bj的前n项和为工，若不等式（"1泡”一口才十%对

任意力•恒成立，求实数t的取值范围.

7•设S,T分别是数列｛a｝和｛b｝的前n项和，已知对于任意nGN*,者B有3a=2S+3,数列｛b｝是

nnnnnnn

等差数列，且T=25,b=19.

510

(1)求数列｛a｝和｛b｝的通项公式；

nn

(2)设9=萼不，数列｛c｝的前n项和为R,求使R>2017成立的n的取值范围.

n(n+1)nn

8.已知数列｛a｝的前n项和S=2a-2.

⑴求数列｛aj的通项公黑°

⑵令b=aToga，求数列｛b｝的前n项和T.

nn2nnn

9.在数列｛a｝中，a=6,且。一。=—+^+1(nN*,n22),

n1nn-1几

(1)求a,a,a的值；

234

(2)猜测数列｛a｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

n

1°•等差数列的前n项和为S.,且做+/=a+7,$n=10。.

(1)求｛a｝的通项公式；

n

(2)求0】+同+的+…+的g值.

11.设数列｛a｝的前n项和为S,点(a,S)(n£N*)在直线2x—y—为0上.

⑴求证；数列词｝是等比数列，笄莱其通项公式；

(2)设直线x二a写函数f(x)=x2的图象交于点A,与函数g(x)=logx的图象交于点B,记

nn2n

b=OA-OB(其中0为坐标原点)，求数列｛b｝的前n项和T.

nnnnn

12.等差数列｛a｝中，的+%+牝=27,%+&+即=39,

n

(1)求｛a｝的通项公式；

n

⑵若包=(_炉火,且T“为｛bj的n项和，求T5。的值.

13・已知等比数列｛a｝的前n项和为S=a•20+b且a=3.

nn1

(1)求a、b的值及数列｛a｝的通项公式；

n

⑵设b=&,求｛b｝的前n项和T.

nnn

14,等比数列｛a｝中,已知a=2,a=16.

n14

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)数列｛b｝直等差数列，a=b,a=b试求数列｛b｝的通项公式.

n3355n

15.设数列｛a｝的前融项积为T,且T+2a=2(ndN*).

nnnn

1

⑴求证：数列｛广｝是等差数列.

n

⑵设b=(1-a)(1-a),求数列｛b｝的前n项和S.

nnn+1nn

答案解析

16.解：

试题解析：⑴当心2时，勺=S「4i=34-2",

又当？3=1时，%=&=32=34-2x1满足2=34-2找.故4｝的通项公式为&=34-2*.

(2)由⑴知,当.417时,外20；当.218时,%<0,

所以当B£17时，&=4+4*I2i=1%I+1叼I+…+111=%+%+,“+%=g=33»-?:2.

当附218时，

耳=1引+|引+”,+|47|+|维|+“-+|%|=。1+&2+”・+%厂〔—+。19+”，+%)

=+-区_%)=2%-£”=.'-33四+544•

,[33«-«2,»<17

故E=2

[,-33〃+5443218

-.⑴a,=2«-l.(2)(-00,-21).

18.

【答案】解;设Qn｝是公差为d的等差数列，

｛、｝是公比为q的等比数列，

由b2=3,bg=9r可得q=与=3,

n2r2n1

bn=b2q'=3-3'=3-;

即有a1=bi=l,ai4=b4=27,

则~=号=1,

则an=ai+(n-1)d=l+2(n-1)=2n-1

n1

【答案】;cr=an+bn=2n-l+3-,

则数列(d｝的前n项和为(1+3+...+(2n-l))+(l+3+9+...+3n-1)

=4n・2n+兵=n2+军

-1-3J

19.解：

(l)Va=S=2,a=S-S=2n—l(n22),

/1nnn-1

2

7n=l，

<6

.*.b二

n1、

、一n22.

n

,,,

(2)由题意得c=b+b++b=।,+।Q+,,,+Q।q?

nn+1n+22n+ln+111+22Y1~T1

111111-1

,P--p_—I—------

n+in2n+22n+3n+12n+32n+22n+32n+2

・・・cjc,・,•数列｛c｝为递减数列.

n+1nn

20•答案略;

21.

解析：（I）当x=LB寸，囚=2珥-2,解得e=2；

当匕之2时，见=Sn-11=2a.-2-2）=2a-2al，

a=,故数列SJ是以勾=2为首项，2为公比的等比数列，故a.=2.2"-1=2".

（II）由（I）得，"="2+1。曳2"=MTf,

・'・4=4十%十…十"=（2+2-22十3・7十…十小2”）一（1+2+’”•十冷

令月=2+2,2。+31+…+小2]贝112尺=22+2，才+3・？+・,叶62-1,

两式相减得一耳=2+2?+胃+…+Tf.2-“=器2-«2-R=(n-1)2-+2,

故工=4+%+…+又由(I)得，2=2q-2=2"i-2,

不等式S-g+2)TG+*即为5-1)7*-6-叱-2+巴宇6

31

即为t》-不”？+5M-2对任意”N，恒成立，

JuZ

役/S)=一焉"十:甚一2J贝l]f(n)=-1)2-J

4343

•・•一N•…・JS)»=[◎)=-，，故实数t的取值范围是(一圣3)・

22.

解:

解：《I)由风=封+3内埼犷，得，当”=1时，有[=3；当心2时，为z=4i+3,

从而3《-3J=融，即4=猊1一”.，&另=J,所以数列⑷是公比为3的等卜檄列，因此《=3,.

设数列间的公差为d,由4=254=L9,得解得4=皿=?，因此4=2"1.

[44-Va=iy,

⑺由⑴可削「牛注=:工

"M(M41]M(n+1]H4-1K

13

所用以门*PW.'F=[1字7一3)讯(7v一7寸〕…+f扃r一为汁应rT7上

因为《=匚M+JJ‘°,所以麴列｛RJ里调速场，

又因为鸟=817」25coi7,鸟=2124>20"所以使R.>2。L7成立的”的取值范围为132a.

23.解：

⑴当n=l时，a[=2a|—2,所以a：2.

当n22时，S=2a：-2,

n-1n-1

S—S二(2a—2)—(2a—2),即a=2a.

nn—1nn-1nn—1

所以数列｛aj是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以a：2n.

(2)由⑴得b=2nlog22n二n•2n,

所以T=1X21+2X22+3X23d——F(n-l)X2n-i+nX2n,

2T=lX22+2X23+3X24+,・++(n—1)X2n+nX2n+i,

n21—2n

两式相减，得一T=21+22+23+…+2n—nX2n+i='"—nX2n+i=(l—n)2n+i—2,

n1—2

所以T=(n—1)2n+i+2.

n

24•解:

-at

(l)n=2时，a:-a,=—+2+1,；.a：=12.同理可得&=20,a.=3O.

2

C2)猜测&=(n+l)(n+2).下用数学归纳法证明:

①当n=l,2,3,4时,显然成立；

②假谀当n=k(kN4,kW『)时成立，即有.=(k+l)(k+2),则当n=k+l时,

aI]

由且，一,・4n1〜乜「得a=^—ayi-41+l)

nn口m

故外十a^+k+l+l=£，(k+l)(k+2)+k+2=(k+2)(k+3)>

1c十ik+1氏k+1

故所k+l时等式成立；

由①②可知；%=(n+1)(n+2)对一切nWM均成立.

25.解:

(1)设数列的公差为d,由a+a=a4+7,得2%+6(1=%+3d+7①.

1

由51rl=100，得10,+45次=100②得al=l,d=2,所以a：a]+(nT)d=2nT.

30x29x6

(2)新数列依然等差，公差6,首项1,共30项，原式=30X1+=2640

2

26.解:

⑴证明：：点(a“，S》在直线2x—y—2=0上，

2a—S—2=0.①

当n=l时,2a—a—2=0,a=2.

111

当n22时，2a-S-2=0,②

n-1n-1

①一②,得a=2a.

nn—1

数列｛aj是首项为2,公比为2的等比数列，

贝Ua=2n.

(2)由⑴及已知易得A⑵，&),B(2n,n),

nn

b=OA,OB,；.b=(n+l)•4”.

贝!Jj=2攵4I/’3X42,4X43H|-(n+l)•4n,③

4T=2X42+3X43+4X44H|-(n+l)•4»+i,④

③二④，得

—3T=8+4?+43+…+4»—(n+1)•4»+i

.16(1—4nT)

=8+1.—(n+1)•4n+i,

n.28

••・Eg•4n+i-9-

27解：a„=4M-3

7；0=-1+5-9+13-17+..+197=(-l+5)+(-9+13)+(-17+21)+,+(-193+197)

=4+4+4++4=4x25=100

28.

(1)由已知，得御=2a+b=3,①;3+a：=4a+b②;3+a：4西=8a+b③

解得a5=2a,a尸4a,.,.公比q=—=2.粤=军=2,：.a=3代入①得b=-3；.&=3-