2024届上海浦东新区高三下学期期中数学卷及答案

浦东新区2023学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1.本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2.请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，题每个空格填对得4分，题每个空格填对得5分，否则一律得零分．，集合Bx2x．A2AIB已知集合12izzz（i是虚数单位），则若复数z．a3aa16a7已知等差数列，．n4514.3x2的二项展开式中x4项的系数为．（用数值回答）x已知随机变量X服从正态分布N95,2PXPX．28fxxfyfx是奇函数，当x03．的值是1257.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6:3:120%16%和12%优秀的概率为．C2:x2y24y50a，若两圆相交，则实数的取值范8.已知圆1:x2y22axa210（a0），圆．fxx33的解集为．2x，则不等式f2x10.3A面的中心．当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过的面积为____________．x22y222π3213已知双曲线10ab的焦点分别为．F1、FMÐFMF=OM=b，212ab则双曲线的离心率为rra×a+AC=a×ABb×b+=b×，rurrrrrab()()SABC2棱AS3，rrab则的最大值为．184题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13.“a1”“220y与直线110xay”A．充分非必要条件．必要非充分条件．充要条件D．既非充分又非必要条件aR，则下列结论不恒成立的是（．已知）．1411a1a23A．a1a．a+³2C.D．sina0a2sina15.A克）的散点图．若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（A“每千克价格”“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关．“每千克价格”“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变．“每千克价格”“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大D“每千克价格”“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小1fxaxmam1xmLaxa(am10mZ)fxx(nL,mf16.设0m10mnn1零点的个数，则有以下两个结论：nL,m1有穷数列bfx为nn①，使得为常数列；fxn0②，使得为公差不为零的等差数列．fxn0那么（）．A．①正确，②错误．①错误，②正确．①②都正确D．①②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数yfx，其中fxx．π（fx43在x0,π上的解；2π212π2g(x)3f(x)fxfxfxπ，若关于x的方程在0,xgxm（2）已知时有解，求实数m的取值范围．．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在四棱锥P中，底面为等腰梯形，平面PAD底面，其中AD∥BC，AD2BC4，AB3,23E为PD中点．1）证明：EC∥；2）求二面角PABD的大小．．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．，，，…，某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：1000,1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800（800元的客户中共抽取66人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；（）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；1方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天3消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由．．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．x2已知椭圆C:y1F、F分别为椭圆的左、右焦点．2122（）若椭圆上点PFFPF的值；2121Tt,0SxS（A在取得最小值时点恰与点At重合，求实数的取值范围；（3）已知m为常数，过点F且法向量为m的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足2uOR（R），求的最大值．．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．yfxyfxyfxx,fx00已知函数及其导函数的定义域均为D0Dn1在点fx处的切线交轴于点n1x,0x切线交轴于点1,0yx,fxxnn称得到的数列为函数yfx的“N数列．xx0n1fxx，是函数的“N数列的值；xyfx01（nen2n2（fxx24是函数的“N数列”ax，yfx03annn3比数列，并求出其公比；xfxa，则对任意给定的非零实数，是否存在yfx，使得函数关于的“x00x0N数（3）若ax2”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．xnx0浦东新区2023学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．A2Bx2xAIB1.已知集合，集合．【答案】：21izzz（是虚数单位），则2.若复数z．【答案】：43.已知等差数列【答案】：a3aa16a7，．n45514.3x2的二项展开式中项的系数为4x．（用数值回答）x【答案】：N95,2P(75XP(X5.已知随机变量X服从正态分布．【答案】：823yfxfx0是奇函数，当的值是．f(x)x【答案】：47.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6:3:120%和是优秀的概率为．【答案】：1:x2y22a210（a0C2:x2y4y50，若两圆相交，则实28.已知圆），圆a数的取值范围为．【答案】：23)xf2x3|)3x，则不等式的解集为f(x)2．【答案】：13A面的中心．当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为．【答案】：2x22y22abF1F2MF为双曲线上一点，若1211.已知双曲线的焦点分别为、，，ab3b，则双曲线的离心率为．36【答案】：212.正三棱锥S中，底面边长2，侧棱3，向量a，ba(aAC)a，bbAC)bab的最大值为．【答案】：4184题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．a1”是“直线220yxay10平行”的（13.“与直线.充分非必要条件【答案】：C.必要非充分条件C.充要条件.既非充分又非必要条件aR，则下列结论不恒成立的是（14.已知1411aa).a2|a1||a23sina.0.C.a2sina【答案】：B15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：A千克）的散点图．若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小【答案】：Dmm1x(nL,m，n1fxaxam1xLaxa(am10mZ)fxf16.设0m10mnnnL,m1，则有以下两个结论：令有穷数列b为fx零点的个数为常数列；nnfx，使得b0fx，使得b那么（为公差不为零的等差数列．n0）．.①正确，②错误【答案】：C.①错误，②正确C.①②都正确.①②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数yfxfxx．π（）求fx43在x0,π上的解；2π212π2g(x)3f(x)fxfxfxπ，若关于的方程x在0,x（2）已知gxm时有解，求实数m的取值范围．1112,1.【答案】：（1）、；（）43【详解】：（1）由题，原式等价于求sinx在x上的解.2从而有或或112xkxk,kZx2kx2k,kZ434311xxx又，所以或.11π43xπfx在上的解为、.2π2（2）由题，gxsinxsinxπ3sinxsinx3sinxxsin2x31cos2xsin2x22π162sin2x12π2故g(x)m在x时有解ππ2msin2xx等价于在6时有解.ππ5π66π1622x,sin2x,1,61,1.2m所以，实数的取值范围是18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在四棱锥P中，底面为等腰梯形，平面PAD底面，其中//，AD2BC4，AB3,23E为PD中点．（1）证明：//；（2）求二面角PABD的大小．2【答案】：（1）证明见详解；（2）arccos.【详解】：解法1：（1）证明：取F，连接BF,，中，点E为的中点、点F为的中点，1∥，.212又∥,.∥，.所以，四边形为平行四边形.得∥FB在平面所以，.，垂足为G，连接（2）取HP作由题，23，H为的中点，所以.又平面，I，ABCD,.又.得ABGH.又，就是二面角PD的平面角.所经计算，在△22；在△3，12SABH2222221143又SABH3,得2.223因而，在△tan23所以二面角PD的大小.2解法2：（1）取中点O，23，O为中点，所以.又平面，I，，.取M，显然，.如图，以点O为坐标原点，分别以射线、、xy为轴的正半轴，建z立空间直角坐标系.E2C22,1,022,0,2.由题意得，、B22,P0,0,22A2,0又故、、，uu，.22,1,022r2v22w0的法向量nu,v,w，则有设平面2uv0r1v22，2n22,2,即.不妨取urr经计算得n0n..又在平面外，所以n，n22,2（2）由题（1）知，平面的法向量，平面的法向量12uunn2213131u1221,n2,1312PD的大小为arccos.因此，二面角19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．，，，…，某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：1000,1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；1方案二：消费金额每满10001次当天消3费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由．【答案】：（1）人；（2）；（3）选择第二种促销方，理由见详解.35（1）我们利用通过抽样获得的100名客户的样本信息来估计总体的分布情况可得：人.3（2）当日消费金额在和1000,1200（单位：元）的人数所占比例为:2:1，所以抽取的6人中有2人消费金额在1000,1200（单位：元），有4人消费金额在（单位：元）.C14CC12CC23记“抽到的2人中至少1人消费额不少于1000元”为事件APA+226=，2653所以抽到的2人中至少1人消费金额不少于1000元的概率为.5（3）若选方案一，只需付款1000503850若选方案二，设付款金额为X元，则X可分别取300、600、900、元，其中03111300600900100033PXC1，332712112923PXC1，3321114913PXC1，333011803PXC1，33271248EX=300840.7600900100027因为，9927所以应选择第二种促销方案.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．x2已知椭圆C:y1F、F分别为椭圆的左、右焦点．2122（1）若椭圆上点PFFPF的值；2121Tt,0SSxA在取得最小值时点恰与点At重合，求实数的取值范围；（3）已知m为常数，过点F且法向量为m的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足2uOR（,R），求的最大值．2m22322,；（）【答案】：（1）；（2）.2412【详解】：（1）由题得，F(1,0)，设点P(1,y)，代入椭圆方程，得y2，因而2.2PP22322由22.121x2x212211t（2）设动点S(x,y)(xt)2y2x2t2t21(xt)22221由题，取得最小值时点S恰与点A重合，即函数y(xt)1t在22x2处取得最小值，22又x[2,2]，因而2t2t.22因此，实数t的取值范围为,.2（3）设M(x,y)，N(x,y)，R(x,y)1122xx21y1y2x由,得，(xx)2yy)2，2R在椭圆上，代入得12122(12212)2(2222)(xx2yy)2，12122又点M、N在椭圆上，得22(122yy)2*221由题，可设直线l:(xmy0.xmy1x22y22联列直线与椭圆方程，得(m22)y2my.210m1故yy，yy12122m22m21m22m2m2m22xx2yy(2yy(m2m1.12121212m222m2代入（*）式，得224222,m22m2221，（等号当且仅当时成立）m22m22即（等号当且仅当时成立）.4m22所以，的最大值为.421．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．yfxyfxyfxx,fx0已知函数及其导函数的定义域均为D0D0n1fxxx,0处的切线交轴于点x切线交轴于点1,0yx,fxnnn1fxN的“数列”．xyx0称得到的数列为函数n1fxxxyfxx的“数列”，求的值；Nx，是函数n01en2n2fxx2fxNalog3a是n4xyx03，是函数nn等比数列，并求出其公比；xfxa，则对任意给定的非零实数yfx，使得函数x00x0N数ax2xx0为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．n2【答案】：（1）；（2）证明见详解，公比为2；（3a<0时，不存在x0,xn为周期数列；e3a