2023年高考数学真题（全国卷） 函数的概念与性质（解析版）

2023年高考数学真题题源解密(全国卷)

专题05函数的概念与性质

目录一览

①2023真题展现

考向一函数的零点

考向二由函数的奇偶性求参数

②真题考查解读

③近年真题对比

考向一函数的最值

考向二函数的奇偶性、对称性、周期性

考向三判断函数图像

考向四指对数互化

考向五由函数的奇偶性求参数

④命题规律解密

⑤名校模拟探源

⑥易错易混速记

[2023年真题展现

考向一函数的零点

1.(2023•全国乙卷文数第8题)函数/(x)=V+以+2存在3个零点，则。的取值范围是(

A.(-co,-2)B.3)C.D.(—3,0)

【答案】B

【详解】f(x)=x3+ax+2,则洋(x)=3f+a,

若〃x)要存在3个零点，则“X)要存在极大值和极小值，则。＜0,

令f'(x)=3x2+a=0,解得

时,/'(x)>0,

故〃x)的极大值为了,极小值为一

若f(x)要存在3个零点，则a<-3,故选：B.

考向二由函数的奇偶性求参数

2.(2023•全国乙卷理数第4题)已知/(幻=套］是偶函数，则”=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【详解】因为/(力=洛为偶函数，则〃X卜〃一)=上一七立二=上士口=0,

e-1J\)e5一］一1

又因为X不恒为0,可得e'-e("T)，=o,即e*=e(f

贝！|x=(a-l)x,即1=。一1,解得”=2.故选：D.

二、填空题

1.(2023•全国甲卷理数第13题)若〃x)=(x-l『+ax+sin(x+5)为偶函数，贝!1"

【答案】2

【详解】因为>=/(x)=(x-l)2+ax+sin(x+5)=(x-l)2+or+cosx为偶函数，定义域为R,

兀7C

所以/+—tz+cos—

22

兀1

贝！J71CI=—4-1

2

此时/(%)=(x-1)2+2%+cosX=X2+1+cosx,LU/(-x)=(-x)~+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R,故为偶函数，所以4=2.故答案为：2.

d一

真题考查解读

【命题意图】

(1)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

(2)会运用函数图象理解和研究函数的性质.

【考查要点】

高频考点：函数的概念、图像与性质以及指数函数、对数函数与幕函数

低频考点：函数与方程

【得分要点】

函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有重要意义，每年高考卷都将其作为必考题，题目分

布在选择题和填空题。本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，对函数内容

和性质进行考查，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法及性质(单调性、就行、对称性、周期性)、

图像等，常与导数、不等式、方程等知识交汇命题，考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程

等思想方法。

近年真题对比

考向一函数的最值

1.(2022.全国乙卷文数第II题)函数〃x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2司的最小值、最大值分别为

()

兀冗一3兀兀一兀兀c-3兀兀八

A.—,-B.----,-C.—,—F2D.----,—F2

22222222

【答案】D

【详解】//(x)=-sinx+sinx4-(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以/(X)在区间(0马和仔同上盟x)>o,即/(X)单调递增；

在区间(碧)上小)<0,即〃x)单调递减，

又〃0)=/(2兀)=2'/图=尹2'/图=一怎+1>1=等

所以f(x)在区间［0,2兀］上的最小值为-费，最大值为5+2.故选：D

2.(2022•全国甲卷理数第6题)当x=l时，函数f(x)=alnx+2h取得最大值一2,则八2)=()

A.—1B.—C.D.1

22

【答案】B

【详解】因为函数〃x)定义域为(o,+孙所以依题可知，/(i)=-2,r⑴=o,而r(x)子城，所以

b=-2,a-h=0,即a=_2,b=_2,所以/”(“:一彳+皆，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,e)上递减，

x=l时取最大值，满足题意，即有了'(2)=-l+；=-g.故选：B.

考向二函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

1.(2022•全国乙卷理数第12题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则£/优)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)T(D=7,所以g(x+2)—/(x—2)=7,即g(x+2)=7+f(x—2),

因为f*)+g(2-x)=5,所以八x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+f(x-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以〃3)+/(5)++/(21)=(-2)x5=-10,

/(4)+./(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因为f(x)+g(2—x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以/(2)=-2—〃0)=-3.

因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为f(x)+g(2-x)=5,

联立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g⑶=6

因为f*)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g(3)=T.

22

所以(幻"⑴+f(2)+卜⑶+〃5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24.

女=1

故选：D

1—x

2.(2021•全国乙卷理数第4题)设函数/")=1一，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A.f(x—1)—1B.f(x—1)+1C.f(x-f-1)-1D.f(x+l)+l

【答案】B

1_r7

【详解】由题意可得/(X)=F=T+4，

\+x1+x

2

对于A,〃工-1)-1=：-2不是奇函数；

对于B,〃x-l)+l=：是奇函数；

2

对于C,/x+l)-l=^--2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

x+2

对于D,/(x+l)+l=康，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B

3.(2021•全国甲卷文数第4题)下列函数中是增函数的为()

A.〃x)=—xB.=C.,/'(x)=x2D.f(x)=^/x

【答案】D

【详解】对于A,/(x)=-X为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,/(》)=图为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(x)=Y在(-双0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,〃x)=取为R上的增函数，符合题意，故选：D.

4.(2021•全国甲卷文数第12题)设/(X)是定义域为R的奇函数，且/(l+x)=/(r).若=则

/(CH)

5「1C-1口.|

A.——B.——

33

【答案】C

【详解】由题意可得：

而呜卜川-扪《卜-((H，故/图《故选:c.

5.(2021•全国甲卷理数第12题)设函数的定义域为R,/(x+1)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当xw［l,2］

时，/(x)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,则/)

A-4B-4D-1

【答案】D

【详解】［方法一］:

因为/(X+1)是奇函数，所以/(—X+l)=—〃X+1)①；

因为“X+2)是偶函数，所以/(x+2)=〃-x+2)②.

令x=l,由①得:〃0)=-〃2)=-(4“+6),由②得：〃3)=〃l)=a+。,

因为/(0)+/⑶=6,所以-(4。+6)+。+6=6=。=一2,

令x=0,由①得：41)=—/⑴n/(l)=0n6=2,所以f(x)=_2d+2.

思路一：从定义入手.

［方法二］:

因为/(X+1)是奇函数，所以/(—X+l)=-/(X+1)①；

因为/(X+2)是偶函数，所以/(x+2)=〃-x+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=—/(2)=-(4〃+/7),由②得：/(3)=/(1)=«+/7,

因为/(0)+/(3)=6,所以-(4“+匕)+。+〃=6=。=-2,

令x=0,由①得：/(1)=-/(1)=>/(1)=0=>&=2,所以〃%)=—2/+2.

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(x)的周期T=4.

.故选：D.

考向三判断函数图像

1.（2022.全国甲卷理数第5题）函数y=（3'-3f）cosx在区间的图象大致为（）

【详解】令f（x）=（3-3-，）cosx,xe,

贝!lf（-x）=（3T-3，）cos（-x）=—（3'-3-'）cosx=—f（x）,所以为奇函数，排除BD;

又当时，3，-3-*>0,cosx>0,所以/（x）>0,排除C.故选：A.

考向四指对数互化

1.（2021•全国甲卷文数第6题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用

五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据K的满足L=5+lgV.已

知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（痫al.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【详解】由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0」，

则y=10"=10$=矗。高。0.8.故选：C.

考向五由函数的奇偶性求参数

1.（2022•全国乙卷文数第16题）若/'（X）=Ina+J—+/?是奇函数，则。=____,b=____.

1-X

【答案】一:；In2.

【详解】［方法一］:奇函数定义域的对称性

若4=0,则/*）的定义域为{x|x*l},不关于原点对称

a工0

若奇函数的小）=如"占法有意义，则E且a+占片。

."W1且"1+1,

函数/（X）为奇函数，定义域关于原点对称,

・•・i+L-1,解得"一之,

a2

由/(0)=0得，*+b=0,

:.b=l〃2,故答案为：-5；In2.

［方法二］:函数的奇偶性求参

/(x)=Ina+-----|+b=ln\------------=ln\-----------------+b

1—x1—x1-X

czx+a+1

f(~x)=In+b

1+x

函数为奇函数

ax-a-li.s+a+1,a2x2-(a+1)2..八

z.f(x)+f(-x)=In-----------+/〃-------------+2b=0In--------------------F2/?=0

1-xl+x9x-1

a2(a+l)26八1

—=--------=2a+l।=0na=——

112

—2b=In—=—2ln2=>b=ln2

4

1,，c

ci=——

2

［方法三J:

因为函数〃x）=lna+---+。为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

由〃+占可得'（一）（"「人。，所以x=?r解得…=4即函数的定义域为

.c.|l+xl

(-a),-l)u(-l,l)u(l,+«>),再由."0)=0可得，力=ln2.即f(x)=ln+乙+In2=In--,---在定义域

21-X

内满足/（-x）=-/（x）,符合题意.故答案为：-；；ln2.

命题规律解密

函数主要以课程学习情景为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题,

也有中档题，更有困难题，而且常考常新。考生在备考时注意以下两点。

(1)指数函数、对数函数、基函数及一次函数、二次函数的图像和性质是基础，要求考生要在理解的基础

上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本质，会处理分段函数与抽象函数的相关

问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识点，考生应加强对公式的理解及应用的

训练。

(2)函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的就行、单调性的综合应用，注

重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。

预计2024年主要还是考查与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性有关的内容。

名校模拟探源

一、单选题

1.(2023•北京海淀三模)下列函数中，在区间(-8,0)上是减函数的是()

A.y=/B.y=Cy=logJTD,1尸

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.

【详解】对于A：y=/在定义域R上单调递增，故A错误；

对于B：y=’=2,在定义域R上单调递增，故B错误；

对于C：尸蜒式-)定义域为(-8,0),因为广T在(—,0)上单调递减且值域为(0,+8),

2

又y=log;在定义域上单调递减，所以y=iog；(-x)在(一,0)上单调递增，故c错误；

对于D：y=/=(,函数在(-8,0)上单调递减，故D正确；故选：D

2.(2023•天津滨海三模)函数,(x)=eW的图象大致为()

【答案】D

【分析】取特值排除即可.

【详解】因为"）=1>0,故A、C错误;

_11

又因为〃0）=e=故B错误；故选：D.

3.（2023•湖北武汉三模）函数八力=粤、的部分图象可能为（）

e+e

A-

B•一4一

一。：

【答案】A

【分析】根据奇偶性排除D；根据特殊区间上函数值的符号排除BC可得答案.

【详解】/⑸的定义域为R,关于原点对称，

又因为5TL*=-%

0,所以/（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确

当xw（0,2时，sinx>0,则/（x）>0,i致B不正确；

当xw（兀,2兀）时，sinx<0,故/（尤）〈。，故C不正确.故选：A

普在［-2,2］上的大致图象是（）

4.（2023・贵州遵义三模）函数/（x）=

ej

A-

;;

：i

【答案】D

【分析】先确定函数的奇偶性，排除C,代入特殊点的函数值，排除AB,得到D正确.

【详解】/(')=爵定义域为R，又/(—)=喏?=尚=-/(切，

故"司=蠢为奇函数，排除c选项，

又〃1)=誓=£^>0,排除B选项，

''4e4

,(2)一/⑴-，2$也2_e.sinl_e.(esin2-sinl)

因为尸sinx在阻上单调递增，在与兀)上单调递减，且关于x=5对称,

又所以sin2>sinl,故/(2)-/(1)=也小辿>0,

即排除A选项，故D正确.故选：D

5.(2023•山东德州三模)函数〃力=孚次的图象大致是()

e+e

【答案】D

【分析】根据函数/(x)为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到XT+8

时，〃x)f0,可排除C选项，即可求解.

【详解】由函数/(》)=孚也，都可其定义域为(f,0)U(0,E)关于原点对称，

e+e

又由-二典=-f(x),所以函数/(X)为奇函数，

e'+ee+e

所以函数.“X)的图象关于原点对称，可排除A、B选项；

当xe(0,l)时,/(x)<0；当x=l时，/(x)=0；当xe(l,+(»)时，/(x)>0,

根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得Xf+00时，/(x)fO,可排除C选项.故选：D.

6.(2023•山东淄博三模)若函数/(x)=a'+〃'(a>0,b>0,"1，匹1)是偶函数，则，+；的最小值为()

A.4B.2c.2V2D.2石

【答案】A

【分析】根据/(x)为偶函数求出必=1,再利用基本不等式求解.

【详解】由"X)为偶函数可得/(—x)=/(x),即，+，=优+凡

所以(/+〃')[(")—]=0.

因为xeR,且a>0,b>0,a#l,bwl,所以所以必=1,

则1+822、口4=4,当且仅当』=?,即。=1b=2时，取最小值4.故选：A

ah\abab2ab

7.(2023•山东潍坊三模)已知函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为偶函数，/(x+4)=/(—x),则()

A.函数〃x)为偶函数B.43)=0

。・吗卜一/图D-〃2。23)=°

【答案】A

【分析】由函数的对称性，周期性求解即可.

【详解】因为/(x+1)为偶函数，所以〃x+l)=/(-x+l),

所以〃x)的图象关于x=l对称.所以/(X+2)=〃T)

又因为〃x+4)=〃—x),所以〃x)的图象关于x=2对称，

所以由得〃x+2)=〃x),所以f(x)是周期为2的函数.

/(x+2)=f(x]/、/、/、

由+=得/(—x)=/("，所以f(x)为偶函数•故选：人

8.(2023•云南•校联考三模)设函数/(x)在R上的导数存在，且则当xe(a,b)时,()

A.of(/?)</y(a)B,xf^x)+b<bf(lj)+x

C.xf(x)+a<af(a)+xD.af(lj)>bf(a)

【答案】B

【分析】依题意令g(x)=#(x)-x,求出函数的导函数，即可得到g(x)在R上单调递增，即可判断.

【详解】因为解，(x)+/(x)>l,

令g(x)=V(x)-x,则g，(x)=f(x)+H(x)-l>0,

所以g(x)在R上单调递增，

当x«a,6)时,g(a)<g(x)<g(6),^af[a)-a<xf{x)-x<bf(b')-b,

所以犷<x)+a>4(a)+x且.矿(x)+8</(A)+x.故选：B

9.(2023•江西九江三模)已知定义在R上的函数/(x)在［0,1］上单调递增，/(x+1)是奇函数，/(x-l)的图

像关于直线x=l对称，则f(x)()

A.在［2020,2022］上单调递减B.在［2021,2023］上单调递增

C.在［2022,2024］上单调递减D.在［2023,2025］上单调递增

【答案】C

【分析】根据/(x+1)是奇函数，得到/(x)的图象关于点(1,0)对称，由/(尤-1)图像关于直线x=l对称可知

Ax)为偶函数，结合函数/*)在［0,1］上单调递增，得到/(x)在［2,4］上单调递减，再求出函数的周期性得到

答案.

【详解】/(X+D是奇函数，

f(x+l)=-f(-x+l),即/(X)的图象关于点(1,0)对称，

又f(x)在［0,1］上单调递增，

/(X)在［1,2］上单调递增，即"X)在［0,2］上单调递增.

由于(x+1)=-f(-x+1),可得/(2-x)=-f(x),

由/U-D图像关于直线x=l对称可知fM为偶函数，

二/5)在［2,4J上单调递减，

f(2-x)=f(x-2)=-f(x),/(x+4)=/(x),

・・•/(x)是周期函数，最小正周期为4,

:2022=4x505+2,2024=4x505+4,

二Ax)在［2022,2024］上的单调性和在⑵句上的单调性相同，

二./(处在［2022,2024］上单调递减.故选：C.

10.(2023•黑龙江哈尔滨三模)已知函数f(x),对任意的xeR,都有/(x)+〃-，当xe［0,M)时，

广(力一%—1<0,^/(2-a)>/(a)+4-4«,则实数。的取值范围为()

A.［。,+8)B.［l,+oo)C.(YO,0］D.(-oo,l］

【答案】B

【分析】令8(力=/(力-；1-尤,求得g(x)+g(_x)=0,得到g(x)为R上的奇函数,根据题意求得g，(x)<0,

进而得到函数g(x)在R上为减函数，把不等式/(2-a)Z/(a)+4-4〃，转化为g(2-a)2g(a),即可求解.

【详解】令8(力=〃"-!犬-x,贝1Jg(-x)=〃-x)-r+x,

可得g(x)+g(-x)=/(x)+/(—x)-y=0,

即g(-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数，

因为xW。,+00)时,/(x)-x-l<0,可得g'(x)=/'(x)-x-l<0,

所以g(x)在[0,+时为单调递减函数，且g⑼=0,

所以函数g(x)在(―,y)上为单调递减函数，

由不等式〃2-a)N〃a)+4-4a,

RT^/(2-a)-1(2-a)2-(2-a)>/(a)+4-4i/-1(2-a)2-(2-«)

整理得到/(2-a)-；(2-a)2-(2-<7)>/(a)-^672-a,

BPg(2-a)>g(a),可得2-aWa,解得“21,所以实数。的取值范围为[1,+8).故选：B.

11.(2023•北京大兴三模)已知函数“X)对任意xeR都有4x+2)=-/(x),且〃—x)=—"X),当xe(—1,1]

时，/(x)=V.则下列结论正确的是()

A.函数y=〃x)的图象关于点化0)(AeZ)对称

B.函数y=的图象关于直线x=2A(AcZ)对称

C.当x«2,3]时,f(x)=(x-2)3

D.函数y=|/(x)|的最小正周期为2

【答案】D

【分析】根据〃x+2)=—/(可得到〃x+2)="x—2),所以的周期为4,根据/(-司=-/(力得到

〃%)关于户-1对称,画出〃可的图象,从而数形结合得到人1?错误；再根据〃“=-〃》-2)求出兀6[2,3]

时函数解析式；D选项，根据y=f(x)的最小正周期，得到y=|/(x)|的最小正周期.

【详解】因为〃x+2)=—/(x),所以〃x)=-“x-2),故〃x+2)=/(x—2),

所以/(x)的周期为4,

又〃T)=-"x)，所以=2),故关于4-1对称，

又时，/(x)=x3,故画出了(x)的图象如下：

A选项，函数y=/(x)的图象关于点(1,0)不中心对称，故A错误;

B选项，函数y=/(x)的图象不关于直线x=2对称，B错误；

C选项,当xe[2,3]时，x-2e[0,l],则〃x)=—/(x-2)=-(x—2。C错误;

D选项，由图象可知y=/(x)的最小正周期为4,

X|/(x+2)|=|-/(x)|=|/(x)|,故y=|〃x)|的最小正周期为2,D正确.故选：D

12.(2023•广东广州三模)已知可导函数/5)的导函数为广⑺，若对任意的XGR,都有/(x)>/'(x)+l,

且f(x)-2024为奇函数，则不等式/(x)—202先,<1的解集为()

A.(-oo,0)B.(e，e)C.(e,+oo)D.(0,+oo)

【答案】D

【分析】根据〃x)>r(x)+l构造函数8(幻=/竽，利用导数判断其单调性，将不等式〃x)-2023e'<l

化为g(x)<g(0),利用g(x)的单调性求解可得结果.

【详解】设g(x)=W，由题设条件，得g(x)=--------77?-----=------f------<°，

e(e)e

故函数g(x)在R上单调递减.

由/(幻一2024为奇函数，</(0)-2024=0,得/(0)=2024,

所以g(0)=/(0)-1=2023,

不等式“力-202对<1等价于一/⑴><2023,即g(x)<g(0),

eA

又函数g(x)在R上单调递减，所以x>0,故不等式/(x)-2023e'<l的解集是(0,y).故选：D.

13.(2023•安徽阜阳三模)设函数y=/(x)的定义域为R,g(x)=/(x+l)为偶函数，g(2x-2)为奇函数,

则一定有()

20222022

A.£/(/,)=0B.£g(i)=0

i=\/=1

20232023

c.£/(0=-/(0)D.Zg(i)=AD

1=11=1

【答案】C

【详解】由g(x)为偶函数，故g(—x)=g(x),即/(I-x)=/(l+x),所以/(X)图像关于X=1对称;

g(2x-2)为奇函数，故g(x-2)为奇函数，g(x)图像关于(-2,0)对称，“X)图像关于(-1,0)对称.

/(x)是周期为T=8的函数./(-I)=/(3)=/(7)=0,

则可得函数〃x)的大致图像，如图所示，

2022

£/(/•)=/(1)+/(2)+，⑶++/(6)=/(6)*0,

<=1

202。

£g(i)=_A2)+〃3)++/(7)=/(5)+/(6)^0,

1=1

2023

£f(i)=./■⑴+/(2)+/(3)++/(7)=-/(8)=-/(0),

»=i

2023

Zg(i)=A2)+〃3)++f(8)=-f(l).故选:C.

J=1

14.(2023•山东德州三模)已知函数,f(x)及其导函数尸(x)的定义域均为R,且f(x-l)为奇函数，

-5024

r(2-x)+r(x)=2,尸(-1)=2,则2r(21)=()

z=l

A.2025B.2024C.1013D.1012

【答案】B

【详解】由/'(2-x)+r(x)=2,令x=l,得2-⑴=2,所以八1)=1.

由/(x-1)为奇函数，得/。-1)=一/(一工一1),

所以「(x-1)=f\-x-1),故f'(x)=f'(-x-2)①，

又f(2-x)+f(x)=2②，由①和②得f'(2-x)+r(-x-2)=2,

即((47-2)+f\-x-2)=2,所以尸(x)+/'(x+4)=2③，

令x=—l,得/'(—D+八3)=2,得/(3)=0；

令x=l,得/'⑴+/'(5)=2,得八5)=1.又广(x+4)+/(x+8)=2④，

由③-④得f'M-f\x+8)=0,即f\x)=f\x+8),

所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，故/⑺=尸(-1)=2,

所以r(D+f(3)+尸(5)+/(7)=1+0+1+2=4,

2024

所以⑵-1)=:⑴+/'(3)+/⑸+八7)++:(4047)

/=!

=506[r(l)+八3)+/'(5)+八7)]=506X4=2024.故选：B.

15.(2023•重庆•校联考三模)已知定义在R上的函数“X),g(x),其导函数分别为f'(x),g'(x),且

"x)+g〈x)=5,f(2-x)-g'(2+x)=5,且g(x)为奇函数，则下列等式一定成立的是()

A."2)=0B./'(x+6)*'(x)

c.g(x+4)=g(x)D.g'(8r)=g'(x)

【答案】D

f(x)+g'(x)=5〃2-x)+g〈2-x)=5

【详解】由

〃2-x)-g'(2+x)=5f(2-x)-g'(2+x)=5

.•.g，(2-x)=W(2+x),关于(2,0)中心对称，则g，(4+x)=-g<r),

g(x)为奇函数，.•.g(-x)=-g(x),左右求导得：-g，(-x)=-g〈x),

.•.g'(x)=g'(r),.卬(力为偶函数,图象关于轴对称，

g'(x+8)=-g1-(x+4))=-g1x+4)=-[-g，(-x)]=g1T)=g，(x),

••・g'(x)是周期为8的周期函数，

.•.g'(8-x)=g'(x—8)=g'(x),D正确；

.,/(x)+g，(x)=5,.•.〃2)+g<2)=5,又g1—2)=g，(2)=0,

.•■/(2)=5,A错误；

令/2(x)=g'(x),贝(j〃(x+8)=〃(x),.,.//(x+8)=7?/(x),

又Mx)=5—4x),/2(X+8)=5-/(X+8),••.一r(x+8)=—/(%),

即r(x+8)=/'(x),B错误；

g'(x+4)=-g，(x),.,.g,(x+4)+g,(x)=0,

设尸(x)=g(x+4)+g(x),则产'(x)=g'(x+4)+g'(x)=0,.-.F(x)=C(CeR),

又g(x)为奇函数，，尸(-2)=g⑵+g(—2)=0,.•.F(x)=0,

即g(x+4)=-g(x),C错误.故选：D

二、填空题

16.(2023•上海嘉定三模)函数y=/(x),xeR满足/(x+2)=/(x),当0<xV2,/(x)=log2(x+l),

贝厅(-2023)=.

【答案】1

【详解】因为xwR满足〃x+2)=〃x),所以y=〃x)的周期为2,

7(-2023)=/(1)=log?(1+1)=1.故答案为：1.

17.(2023•陕西榆林三模)若奇函数/。)=丁+(4-5)/+奴。€9，则〃1)=.

【答案】6

【详解】依题意/(X)=*3+3-5)*2+ax(xeR)为奇函数，

-X3+(<2-5)X2-ax=-x3-(a-5)X2-ar,BP(a-5)x2=0,(xeR),

可得。一5=0,即。=5,故/(x)=/+5x,则/⑴=「+5=6,故答案为：6

18.(2023•广东茂名三模)已知函数〃x)=(e，—£卜os'x是偶函数，则。=.

【答案】-1

【详解】因为/(》)=卜-£卜os1是偶函数，

所以f(r)=八幻，即(e-'—pbos3(-x)=(e，-^cos3x

所以tze'jcos3x=(e*-£卜os?x,所以cos3x(e*-£-"+ae]=0,

cos3x.(l+«)^e'-^=0,因为上式恒成立，所以1+。=0,得a=-l,故答案为：-1

2v_2~x

19.(2023♦河南•襄城三模)已知函数f(x)=/,、、—是R上的奇函数，则实数。=____.

]n(e+\J-ax

【答案】1

2X-2~x

【详解】因为函数“X=-2,—―是R上的奇函数，

ln(e+1l-or

2~X-2X2X-2TX

则"-x)=_〃x),即[亚口+1)+奴=—皿6+1)_犷

所以，In(e-2v+1)+or=In(e2x+1)-ar,

_./2J..\,/_2，..\.4-1.e-'+1.2r-

uut、i2a¥=ln(e+l)-ln(e+l)=ln----=ln----z—=Ine=2x.

所以，'，')14l+e2A,所以，a=l.故答案为：1.

2t2t

ee

20.(2023•广东东莞三模)已知定义在{XGR|XH。}上的函数〃x)具备下列性质，①〃x)是偶函数，②f(x)

在(0,+巧上单调递增，③对任意非零实数X、)都有/3)=〃x)+〃y),写出符合条件的函数/(x)的一

个解析式(写一个即可).

【答案】/(x)=ln|^(答案不唯一)

【详解】函数〃x)=m|H的定义域为{xeR|xw0},

对任意的XG{XGR|X*0},/(-X)=In|-x)=In|x|=/(x),

即函数〃x)=ln|乂为偶函数，〃x)=ln|M满足①；

当x>0时，/(x)=lnx,则函数/(x)=lnN在(0,+8)上为增函数，/(x)=ln|x|满足②；

对任意的非零实数X、九/(肛)=ln|孙|=]川乂+ln|y|=/(x)+/(y),/(司=1巾|满足③.

故满足条件的一个函数解析式为〃司=1川办故答案为：/(x)=ln|x|(答案不唯一).

21.(2023•河南安阳三模)已知函数〃x)=6+寸U(a>0)的图象关于坐标原点对称，则4+匕=.

【答案】|3

【详解】依题意函数f(x)是一个奇函数，

又2*-"0,所以xNlog?”,

所以/(x)定义域为｛xlxHlogzd,

因为“X)的图象关于坐标原点对称，所以log24=0,解得a=l.

X/(-x)=-/(%),所以"生丁-小+已力，

所以匕-春=--即力=上------=—=1,

2-1I2r-iJ2X-12r-l2X-1

133

所以b=],所以"+》=].故答案为：j.

22.(2023•四川南充三模)已知函数/(x)=sing,有以下说法：

①f(x)的值域为[-1』；

②/(X)是周期函数；

③/(X)在+8)上单调递减；

④对任意的机e[-U],方程〃力=m在区间(0,1)上有无穷多个解.

其中所有正确的序号为.

【答案】①@④

【详解】对于①，设〃=43*0),由正弦函数的性质可知，y=sin”3*0)的值域为「1,1],故①正确；

X

对于②，假设/(X)的周期为7(7工0),于是/(x+T)=/(x),显然％=-7处有定义，故/(-7)=〃0),但/。)

在x=0处无定义，于是/(x)没有周期，故②错误；

对于③，设〃=4(〃=0),由于xe2,+8]，故"根据正弦函数的单调性和复合函数的单调性，

y=sin〃，y关于“在"J。,[上递增，u=~,“关于x在xe2,+8],故y关于x在尤e士+②]上递减，

12」xL"JL")

故③正确；

对于④，设"=1,由xe((),l)得贝ljy=sin"(〃>l),由①，y=sinwG[-1,1],根据正弦函数的性

X

质，V/WG[-1,1],而“=加在〃€(1,”)有无数多个解，也就是无数多个“满足该方程，而"=4(〃>1),也

X

就是有无数多个X可以使得/(力=加成立，故④正确.故答案为：①③④

23.(2023•山东聊城三模)已知函数“X)及其导函数/'(x)的定义域均为R,若/。+1)是偶函数，

g(x)=(x-l)f(x)-l恰有四个零点，则这四个零点的和为.

【答案】4

【详解】将函数g(x)向左平移1个单位，所以g(x+l)=(x+l-l)r(x+l)-l=4'(x+l)-l,

因为/(x+1)是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，/'(x+1)是奇函数，

且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则y=4'(x+l)为偶函数，

所以g(x+l)=#〈x+l)-l为偶函数，

又因为函数g(x)恰有四个零点，即函数g(x+l)恰有四个零点，

且这四个零点一定是两组关于y轴对称，其四个零点之和为0,

而g(x+l)是由g(x)向左平移了1个单位，所以g(x)的四个零点之和为4.故答案为：4

)(P3

24.(2023・山东烟台三模)已知定义在R上的偶函数〃x),满足"x+2)=—〃x),若£/(幻=T,则“0)

*=|

的值为.

【答案】1

【详解】因为〃x+2)=—/(力，所以f(x+4)=-f(x+2)="x),所以的周期为4,

所以〃2)=_〃0),/(3)=-/(1),/(4)=-/(2)=/(0),

即/(l)+/(2)+/(3)+J(4)=〃l)-/(0)-/⑴+/(0)=0,

2023

若无)=一1，则〃1)+〃2)+〃3)+八4)+4-/(2023)=-1,

&=1

即505x[/⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+〃1)+/(2)+/(3)=-1,

可得〃1)+〃2)+〃3)=〃1)一〃0)-〃1)=—1,所以"0)=1.故答案为：1.

25.(2023•上海嘉定三模)设函数y=〃x),xeR的导函数是/'(x),〃-力+/(力=/,当x>0时，

/'(x)>x,那么关于。的不等式/(2—a)-/(a)N2-2。的解是.

【答案】«<1

【详解】构造F(x)=f(x)-；x2,则尸(_*)=〃_力一；/，其定义域为R,

因为F(X)+F(T)=〃X)+/(T)-炉=。所以尸(x)是奇函数，

又因为当x>0时，F(x)=r(x)-x>0,所以结合尸(x)是奇函数可知F(x)在R上单调递增，

原不等式〃2-a)-〃a)»2-2a可转化为“2-a)-；(2-a)&/(a)—；a2,即-尸⑷，

所以2-a2。，解得故答案为：a<1

26.(2023♦江苏镇江三模)写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集R的函数/(x)=.

①最小正周期为2；0/(-x)+/(x)=2；③无零点.

【答案】；sin(口)+1(答案不唯一)

【详解】〃x)=；sing)+l的定义域为R,

最小正周期为7=—=2,

兀

/(-x)+/(X)=gsin(-7tr)+l+gsin(xr)+1=-；sin(nx)+1+gsin(7tt)+1=2

i