湖北省阳新县兴国高级中学2024届高一下数学期末教学质量检测模拟试题含解析

湖北省阳新县兴国高级中学2024届高一下数学期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知关于的不等式的解集为，则的值为（）A．4 B．5 C．7 D．92．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距离为502m，∠ACB=45∘，∠CAB=105A．100m B．50C．1002m3．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A． B．C． D．4．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是()A． B． C． D．5．对于一个给定的数列，定义：若，称数列为数列的一阶差分数列；若，称数列为数列的二阶差分数列．若数列的二阶差分数列的所有项都等于，且，则（）A．2018 B．1009 C．1000 D．5006．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为()A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5）C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5）7．圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是（）A．4 B．6 C．16 D．368．已知函数的图像如图所示，则和分别是（）A． B． C． D．9．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．10．直线与直线平行，则实数a的值为（）A． B． C． D．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．12．已知两点，则线段的垂直平分线的方程为_________.13．函数的最小值为____________．14．在四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面体A-BCD的最大体积为，则四面体A-BCD外接球的表面积为________．15．设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上的解析式是16．已知向量，，且，则_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.（1）若，求点P的坐标；（2）求证：经过A，P，三点的圆必经过异于的某个定点，并求该定点的坐标.18．在等差数列中，已知．（1）求通项；（2）求的前项和．19．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中0为原点。（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程.20．已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.21．已知数列满足，，其中实数.（I）求证：数列是递增数列；（II）当时.（i）求证：；（ii）若，设数列的前项和为，求整数的值，使得最小．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得的值，进而求得的值.【详解】由得，依题意上述不等式的解集为，故，解得（舍去），故.故选:D.【点睛】本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.2、A【解析】

计算出ΔABC三个角的值，然后利用正弦定理可计算出AB的值.【详解】在ΔABC中，AC=502m，∠ACB=45∘，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin【点睛】本题考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于基础题.3、A【解析】

一元二次不等式大于零解集是，先判断二次项系数为负，再根据根与系数关系，可求出a,b的值，代入解析式，求解不等式.【详解】由的解集是，则故有，即.由解得或故不等式的解集是，故选：A.【点睛】对于含参数的一元二次不等式需要先判断二次项系数的正负，再进一步求解参数.4、A【解析】

把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【详解】设，，，，，，，，，，的最大值是.故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.5、C【解析】

根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解.【详解】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为，则，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．选C.【点睛】本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题.6、A【解析】

由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.【详解】关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A．【点睛】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.7、C【解析】

两圆外切时，有三条公切线．【详解】圆标准方程为，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴，．故选C．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．8、C【解析】

通过识别图像，先求，再求周期，将代入求即可【详解】由图可知：，，将代入得，又，，故故选C【点睛】本题考查通过三角函数识图求解解析式，属于基础题9、D【解析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．10、A【解析】

直接利用斜率相等列方程求解即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查两直线平行的性质：斜率相等，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．12、【解析】

求出直线的斜率和线段的中点，利用两直线垂直时斜率之积为可得出线段的垂直平分线的斜率，然后利用点斜式可写出中垂线的方程．【详解】线段的中点坐标为，直线的斜率为，所以，线段的垂直平分线的斜率为，其方程为，即.故答案为.【点睛】本题考查线段垂直平分线方程的求解，有如下两种方法求解：（1）求出中垂线的斜率和线段的中点，利用点斜式得出中垂线所在直线方程；（2）设动点坐标为，利用动点到线段两端点的距离相等列式求出动点的轨迹方程，即可作为中垂线所在直线的方程．13、【解析】

将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。【详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。14、【解析】

当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大，根据最大体积为求出四面体的边长，又△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心位于的中点，从而得到半径，即可求解.【详解】如图所示：当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大为，又AB＝AC＝DB＝DC＝BC，所以△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心为的中点，又，解得，，，所以四面体A-BCD外接球的半径故四面体A-BCD外接球的表面积为.【点睛】本题考查多面体的外接圆及相关计算，多面体外接圆问题关键在圆心和半径.15、【解析】试题分析：根据题意，由于是定义在上以2为周期的偶函数，那么当，，可知当x,,那么利用周期性可知，在上的解析式就是将x,的图像向右平移2个单位得到的，因此可知，答案为．考点：函数奇偶性、周期性的运用点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．16、-2或3【解析】

用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.【详解】由题意得：或本题正确结果：或【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）和；（2）和【解析】

（1）设，连接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.（2）根据题意，分析可得：过A，P，三点的圆为以为直径的圆，设的坐标为，用表示过A，P，三点的圆为，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案.【详解】（1）根据题意，点P在直线l上，设，连接，因为圆的方程为，所以圆心，半径，因为过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B；则有，且，易得，又由，即，则，即有，解得或，即的坐标为和.（2）根据题意，是圆的切线，则，则过A，P，三点的圆为以为直径的圆，设的坐标为，，则以为直径的圆为，变形可得：，即，则有，解得或，则当和，时，恒成立，则经过A，P，三点的圆必经过异于的某个定点，且定点的坐标和.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、圆中的定点问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.18、（1），（2）【解析】

（1）设出等差数列的基本量，首项和公差，根据条件列出方程组，解出和，写出的通项.（2）由（1）中求出的基本量，根据等差数列的求和公式，写出【详解】设等差数列的首项为，公差为，，解得（2）由（1）可知，【点睛】本题考查等差数列基本量计算，等差数列通项和求和的求法，属于简单题.19、（1）见解析（2）或【解析】

（1）先计算半径，得到圆方程，再计算AB坐标，计算的面积得到答案.（2）根据计算得到答案.【详解】（1），过原点取取为定值.（2）设直线与圆C交于点M，N，若设中点为，连接圆心在上圆C的方程为：或【点睛】本题考查了三角形面积，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）先将函数化简整理，得到，根据，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果；（2）令，得到或，根据，，得出，，求出，根据正定理，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因此；故函数在区间上的最大值；（2）因为，由（1），令，所以或，解得：或，因为，所以，，因此，由正弦定理可得：.【点睛】本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.21、（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）.