（人教A版2019选择性必修第一册） 专题3.13 直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲（举一反三）（原卷版+解析）

专题3.13直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.

①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当<0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2．弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).3．抛物线的焦点弦问题抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：4．抛物线的切线过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.

抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).5．直线与抛物线中的最值问题求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.6．抛物线有关的应用问题(1)解答与抛物线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系的灵活应用.

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.【题型1判断直线与抛物线的位置关系】【方法点拨】结合具体条件，根据直线与抛物线的三种位置关系，进行判断，即可得解.【例1】（2023秋•宁德期末）直线y＝k（x﹣1）+2与抛物线x2＝4y的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【变式1-1】（2023秋•宣城期末）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【变式1-2】（2023•河南模拟）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【变式1-3】（2020•松江区三模）若x02＞2py0（p＞0），则称点（x0，y0）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）外．已知点P（a，b）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）外，则直线l：ax＝p（y+b）与抛物线C的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【题型2弦长问题】【方法点拨】①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.②涉及弦长问题，应联立直线与抛物线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由韦达定理得到(或)，代入到弦长公式即可.【例2】（2023秋•钦南区校级期中）已知抛物线的方程为y2＝﹣8x，则直线2x+y+8＝0被该抛物线所截得的弦长为（）A．67 B．76 C．56 【变式2-1】（2023•安徽模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x，被抛物线所截弦长为45，则抛物线C的方程为（）A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y【变式2-2】（2023秋•河南月考）已知抛物线C：y2＝4x，斜率为k的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与圆E：（x﹣5）2+y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则弦长|AB|＝（）A．2 B．4 C．37 D．46【变式2-3】（2023•陕西模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），若抛物线C上的点A关于直线l：y＝2x+2对称的点B恰好在射线y＝11（x≤3）上，则直线AF被C截得的弦长为（）A．919 B．1009 C．1189 【题型3抛物线的焦点弦问题】【方法点拨】根据抛物线的焦点弦公式，结合具体条件，进行求解即可.【例3】（2023•辽宁二模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2=43，则弦A．163 B．4 C．103 D【变式3-1】（2023•嘉定区三模）设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．与l的斜率有关【变式3-2】（2020秋•怀仁市期末）已知直线ax+y+1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式3-3】（2023春•平顶山期末）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝﹣1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为（）A．4 B．6 C．7 D．8【题型4抛物线中的面积问题】【方法点拨】抛物线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与抛物线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边形面积问题可化为两个三角形面积来求解.【例4】（2023秋•常州期中）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2−y23=1的右顶点重合，过点M（3，0）作㑔斜角为45°的直线（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点，求△AOB的面积．【变式4-1】（2023秋•柳州月考）已知动点P到点F1（﹣1，0）的距离与到点F2（1，0）的距离之和为22，若点P形成的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过F1作直线l与曲线C分别交于两点M，N，当F2M→⋅F【变式4-2】（2023秋•路南区校级期中）已知抛物线T：y2＝2px（p∈N+）和椭圆C：x25+y2=1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆（Ⅰ）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；（Ⅱ）若MN恰好被AB平分，求△OAB面积的最大值．【变式4-3】（2023•闵行区校级开学）如图，直线l：y＝kx+b与抛物线x2＝4y相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l平行的抛物线x2＝4y的切线的切点为C．（1）用k、b表示出点C、点D的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积（只与h有关，与k、b无关）；【题型5抛物线中的定点、定值问题】【例5】（2023秋•庐阳区校级期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，2）到焦点F的距离|PF|＝2x0．（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【变式5-1】（2023秋•徐州期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线x23−（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；（3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．【变式5-2】（2023秋•浙江期中）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F（1，0）的距离与到y轴的距离之差为1．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l1，l2为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．（ⅰ）求点M的轨迹方程；（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．【变式5-3】（2023秋•温州月考）如图，曲线C2与抛物线C1：y＝x2关于x轴对称．P是C2上一动点，过点P作C2的切线与C1自下而上依次交于两点A，B，过点P作C1的切线与C1切于点C（P，C在y轴同侧），直线BC与y轴交于点Q．（Ⅰ）若直线AB经过C1的焦点，求|AB|；（Ⅱ）记△QAB和△PAC的面积分别为S1和S2，判断S1【题型6抛物线有关的应用问题】【方法点拨】利用抛物线解决实际问题的基本步骤：

①建立适当的直角坐标系；

②求出抛物线的标准方程；

③根据抛物线的方程及定义、直线与抛物线的位置关系来解决实际应用问题.【例6】如图，一抛物线型石拱桥在如图所示的直角坐标系中，桥的最大高度为16m，跨度为40m．（1）求抛物线的关系式；（2）求距离y轴5m的石拱桥的高度．【变式6-1】（2020秋•温州期末）如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过多少米？（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽42m，在水面以上部分高为4m【变式6-2】某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高出水面5m时，桥洞水面宽为8m，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题．一只宽4m，高2m的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为34m【变式6-3】有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥．（3）若设EF＝a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．专题3.13直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.

①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当<0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2．弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).3．抛物线的焦点弦问题抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：4．抛物线的切线过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.

抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).5．直线与抛物线中的最值问题求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.6．抛物线有关的应用问题(1)解答与抛物线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系的灵活应用.

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.【题型1判断直线与抛物线的位置关系】【方法点拨】结合具体条件，根据直线与抛物线的三种位置关系，进行判断，即可得解.【例1】（2023秋•宁德期末）直线y＝k（x﹣1）+2与抛物线x2＝4y的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【解题思路】直线y＝k（x﹣1）+2过定点（1，2），在抛物线x2＝4y内部，即可得出结论．【解答过程】解：直线y＝k（x﹣1）+2过定点（1，2），∵12＜4×2，∴（1，2）在抛物线x2＝4y内部，∴直线y＝k（x﹣1）+2与抛物线x2＝4y相交，故选：A．【变式1-1】（2023秋•宣城期末）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入y2＝2px，可得y2﹣2ay+p2＝0，即可得出结论．【解答过程】解：设A（−p2，a），则直线AF的中垂线方程为y=pa即2px＝2ay﹣p2，代入y2＝2px，可得y2﹣2ay+p2＝0，∴Δ＝0，∵线段FA的中垂线与抛物线相切．故选：B．【变式1-2】（2023•河南模拟）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【解题思路】先求出抛物线C1的方程，再利用平移变换得出抛物线C3，注意到直线l：x+16y﹣1＝0过点A（0，116），且A在抛物线C3【解答过程】解：圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心坐标为（﹣2，1），代入抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4．∴抛物线C1：y＝4（x+1）2﹣3．将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3：y＝4x2，注意到直线l：x+16y﹣1＝0过点A（0，116且A在抛物线C3的内部，故直线l与抛物线C3相交，故选：A．【变式1-3】（2020•松江区三模）若x02＞2py0（p＞0），则称点（x0，y0）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）外．已知点P（a，b）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）外，则直线l：ax＝p（y+b）与抛物线C的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【解题思路】利用点P（a，b）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）外，可得a2＞2pb，直线l：ax＝p（y+b）与抛物线联立，根据根的判别式即可得出结论．【解答过程】解：∵点P（a，b）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）外，∴a2＞2pb，直线l：ax＝p（y+b）与抛物线联立可得x2﹣2ax+2pb＝0，∴Δ＝4a2﹣8pb＞0，∴直线l：ax＝p（y+b）与抛物线C相交．故选：A．【题型2弦长问题】【方法点拨】①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.②涉及弦长问题，应联立直线与抛物线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由韦达定理得到(或)，代入到弦长公式即可.【例2】（2023秋•钦南区校级期中）已知抛物线的方程为y2＝﹣8x，则直线2x+y+8＝0被该抛物线所截得的弦长为（）A．67 B．76 C．56 【解题思路】设直线2x+y+8＝0与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程求出A，B两点的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．【解答过程】解：设直线2x+y+8＝0与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组y2=−8x2x+y+8=0，解得x故|AB|=(−2+8故选：D．【变式2-1】（2023•安徽模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x，被抛物线所截弦长为45，则抛物线C的方程为（）A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y【解题思路】将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程．【解答过程】解：由x2=2pyy=2x，解得：x=0y=0或x=4py=8p，则交点坐标为（0，0），（4则(4p)2+(8p解得：p＝±1，由p＞0，则p＝1，则抛物线C的方程x2＝2y，故选：C．【变式2-2】（2023秋•河南月考）已知抛物线C：y2＝4x，斜率为k的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与圆E：（x﹣5）2+y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则弦长|AB|＝（）A．2 B．4 C．37 D．46【解题思路】先确定M的轨迹是直线x＝3，求得M坐标AB的斜率，利用弦长公式即可求解．．【解答过程】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12＝4x1，y22＝4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0＝2，因为直线与圆相切，所以y0x0−5=−1即M的轨迹是直线x＝3．故M（3，5）由y0x0−5=−由此直线方程为：y=25(x−3)+5．联立抛物线方程可得：4x2﹣24|AB|=1+k2故选：C．【变式2-3】（2023•陕西模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），若抛物线C上的点A关于直线l：y＝2x+2对称的点B恰好在射线y＝11（x≤3）上，则直线AF被C截得的弦长为（）A．919 B．1009 C．1189 【解题思路】先根据抛物线的定义求出p的值，再设A点的坐标为（m，14m2），B点的坐标为（n，11），n≤3，根据点的对称，求出点A，B的坐标，可得直线AF【解答过程】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），则p2=1，即p＝设A点的坐标为（m，14m2B点的坐标为（n，11），n≤3，∴11−1解得m=6n=2，或m=∴A（6，9）∴直线AF的方程为y=43x设直线AF与抛物线的另一个交点为D，由y=43x+1x2∴D（−23，∴|AD|=(6+故直线AF被C截得的弦长为1009故选：B．【题型3抛物线的焦点弦问题】【方法点拨】根据抛物线的焦点弦公式，结合具体条件，进行求解即可.【例3】（2023•辽宁二模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2=43，则弦A．163 B．4 C．103 D【解题思路】抛物线的焦点弦长公式为|AB|＝x1+x2+p，代入数据，运算即可．【解答过程】解：由题意知，p＝2，由抛物线的定义知，|AB|＝x1+x2+p=43+故选：C．【变式3-1】（2023•嘉定区三模）设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．与l的斜率有关【解题思路】根据抛物线方程可求得p的值，进而利用抛物线的定义可求得|AB|＝x1+x2+4，根据线段AB的中点E到y轴的距离求得x1+x2的值，代入|AB|＝x1+x2+4，求得答案．【解答过程】解：抛物线方程可知p＝4|AB|=|AF|+|BF|=x由线段AB的中点E到y轴的距离为3得，12∴|AB|＝x1+x2+4＝10，故选：A．【变式3-2】（2020秋•怀仁市期末）已知直线ax+y+1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】求出抛物线的焦点和准线方程，代入焦点，可得a＝﹣1，联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义可得弦长AB＝x1+x2+p＝6+2＝8．【解答过程】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），准线为x＝﹣1，由题意可得，a+1＝0，解得a＝﹣1，联立直线y＝x﹣1和抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣6x+1＝0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2＝6，由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故选：C．【变式3-3】（2023春•平顶山期末）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝﹣1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为（）A．4 B．6 C．7 D．8【解题思路】求出抛物线以及直线的方程，联立方程组，由韦达定理结合抛物线的定义求解即可．【解答过程】解：依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x﹣1，联立y2=4x，y=x−1可得（x﹣1）2＝4x，即x2﹣6x设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，所以|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故选：D．【题型4抛物线中的面积问题】【方法点拨】抛物线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与抛物线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边形面积问题可化为两个三角形面积来求解.【例4】（2023秋•常州期中）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2−y23=1的右顶点重合，过点M（3，0）作㑔斜角为45°的直线（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点，求△AOB的面积．【解题思路】（1）求出双曲线的右顶点，得到抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，即可求解抛物线方程．（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求解三角形的面积．【解答过程】解：（1）由双曲线x2−y23即可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）由题意可得直线l的方程：y＝x﹣3，将直线与抛物线联立y=x−3y2=4x，整理可得y2﹣4y设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣12，S△AOB=12×3×|y1﹣y2【变式4-1】（2023秋•柳州月考）已知动点P到点F1（﹣1，0）的距离与到点F2（1，0）的距离之和为22，若点P形成的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过F1作直线l与曲线C分别交于两点M，N，当F2M→⋅F【解题思路】（1）根据椭圆的定义可得动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，求出a，b的值，即可得出答案．（2）对直线l的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出F2M→•F2N→和S△MF2N的最值；若斜率不存在，设直线方程和点M，N坐标，联立方程组，并消元得到一元二次方程，根据韦达定理表示出x1+x2，x1x2【解答过程过程】解：（1）动点P到两顶点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之和为22，所以|PF1|+|PF2|＝22＞|F1F2|＝2则动点P的轨迹是F1，F2为焦点的椭圆，所以2a＝22，c＝1，即a=2，b2＝a2﹣c2＝1所以曲线C的方程为x22+y2（2）①当直线l的斜率不存在时，x＝﹣1，则M（﹣1，22），N（﹣1，−此时F2M→S△MF2N=12×2×②当直线l的斜率存在时，设为y＝k（x+1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立y=k(x+1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2+4k2x+2所以x1+x2=−4k22k2所以y1y2＝k（x1+1）•k（x2+1）＝k2（x1x2+x1+x2+1）=−F2M→•F2M→=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x=2(=7=7综合①②可得，当直线l：x＝﹣1时，F2M→所以S△M【变式4-2】（2023秋•路南区校级期中）已知抛物线T：y2＝2px（p∈N+）和椭圆C：x25+y2=1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆（Ⅰ）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；（Ⅱ）若MN恰好被AB平分，求△OAB面积的最大值．【解题思路】（1）由题可知F是椭圆C的焦点，根据椭圆方程即可求解；（2）由抛物线与直线相交于A，B两点，则联立直线与抛物线方程，可得到AB中点G的坐标，根据垂直关系，以及点G在椭圆内部，即可进行求解．【解答过程】解：（Ⅰ）在椭圆中，c2＝a2﹣b2＝4，所以c＝2，由p2=2，得p＝（Ⅱ）设直线l：x=my+p2，代入抛物线方程得y2﹣2mpy﹣p2＝设AB的中点G（x0，y0），则y0＝mp，x0由kOG⋅kMN=−由点G在椭圆内，得(m2p+因为p∈Z，所以p的最大值是2，△OAB面积S=1所以，当p＝2时，△OAB面积的最大值是32【变式4-3】（2023•闵行区校级开学）如图，直线l：y＝kx+b与抛物线x2＝4y相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l平行的抛物线x2＝4y的切线的切点为C．（1）用k、b表示出点C、点D的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积（只与h有关，与k、b无关）；【解题思路】（1）直线l：y＝kx+b代入抛物线x2＝4y，求出D的坐标，设切线方程为y＝kx+m，代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；【解答过程】解：（1）由直线l：y＝kx+b与抛物线x2＝4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b∴点D（2k，2k2+b）…（2分）设切线方程为y＝kx+m，代入抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4m＝0，得Δ＝4p2k2+16m＝0，m＝k2，切点的横坐标为2k，得C（2k，k2），由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．（2）∵h2=|x2−x1|2=16∴S△ABC=12|CD||x2﹣x1|∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．【题型5抛物线中的定点、定值问题】【例5】（2023秋•庐阳区校级期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，2）到焦点F的距离|PF|＝2x0．（1）求C的方程；（2）点M、N在C上，且PM⊥PN，PD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【解题思路】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可．（2）①直线MN斜率不存在时，PM⊥PN不成立；②直线MN斜率不存在时，设直线MN：y＝kx+m，联立直线与抛物线方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，推出k、m的关系，说明直线MN过点H（5，﹣2），推出结果．【解答过程】解：（1）由抛物线定义，得|PF|=x0+p所以抛物线C的方程为y2＝4x．（2）证明：①直线MN斜率不存在时，PM⊥PN不成立；②直线MN斜率存在时，设直线MN：y＝kx+m，y2=4xy=kx+m解得k2x2+（2km﹣4）x+m2设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x因为PM⊥PN，所以PM→得(k所以(k得5k2+（6m﹣8）k+m2﹣4＝0，即（k+m﹣2）（5k+m+2）＝0，当m＝﹣k+2时，过定点P（1，2），不符合题意；当m＝﹣5k﹣2时，直线MN过点H（5，﹣2），所以点D在以PH为直径的圆上，故当Q为PH的中点Q（3，0）时，|DQ|=22【变式5-1】（2023秋•徐州期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线x23−（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；（3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．【解题思路】（1）由抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离可得p值，即得抛物线方程，（2）由抛物线的定义，可得P点，（3）由直线的位置关系，再联立抛物线，可得定点．【解答过程】解：（1）抛物线的焦点F为(p2，即x±3y=0解得p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x，（2）设P（x0，y0），由抛物线的定义可知x0+p解得x0＝2，将x0＝2代入方程y2＝8x，得y0＝±4，即P的坐标为（2，±4）．证明：（3）由题意知直线l不能与x轴平行，故方程可设为x＝my+n（n≠0），与抛物线联立得x=my+ny2=8x，消去x得y2﹣8my﹣8n设A（x1，y1）B（x2，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝0，y1y2亦即﹣8n（1+−8n64）＝0，又n≠解得n＝8，所以直线方程为x＝my+8，易得直线l过定点（8，0）．【变式5-2】（2023秋•浙江期中）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点F（1，0）的距离与到y轴的距离之差为1．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l1，l2为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．（ⅰ）求点M的轨迹方程；（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．【解题思路】（1）由题意直接写出抛物线方程即可，（2）（i）求出过A，B两点的切线方程，再由题意两切线互相垂直，得出M的轨迹方程即可，（ii）写出AB的方程，再化简得出定点即可．【解答过程】解：（1）点P到（1，0）的距离等于到直线x＝﹣1的距离，p2=1，则p＝∴曲线C的方程：y2＝4x，（2）设A(y124，同理可得过点B的切线为y=2根据l1⊥l2，可得y1y2＝﹣4．所以联立两条切线方程y=2可得xM＝﹣1，所以M的轨迹为x＝﹣1，（ii）由题意可得lAB的直线方程为y−y=4所以必过（1，0）．【变式5-3】（2023秋•温州月考）如图，曲线C2与抛物线C1：y＝x2关于x轴对称．P是C2上一动点，过点P作C2的切线与C1自下而上依次交于两点A，B，过点P作C1的切线与C1切于点C（P，C在y轴同侧），直线BC与y轴交于点Q．（Ⅰ）若直线AB经过C1的焦点，求|AB|；（Ⅱ）记△QAB和△PAC的面积分别为S1和S2，判断S1【解题思路】（Ⅰ）设P(x0，−x02)(x0＜0)，根据导数写出切线方程，由（Ⅱ）lPC：y=k(x−x0)−x02，联立y＝x2，得x2−kx+kx0【解答过程】解：（Ⅰ）由对称性不妨设P在y轴左侧，设P(x∵y＝﹣x2，∴y'＝﹣2x，∴lAB又lAB过抛物线y＝x2的焦点(0，∴x02=14，∴x联立y＝x2，得x2设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1∴|AB|=2（Ⅱ）由对称性不妨设P在y轴左侧，设P(xlPC：y=k(x−x0)−x0∴Δ=k∵点C在y轴左侧，∴k=2x设C（x3，y3），∴x3联立y=−∴x2＝﹣x3，∴BC∥x轴．∴SΔQAB＝SΔQAC＝S1，∴2S∴S1【题型6抛物线有关的应用问题】【方法点拨】利用抛物线解决实际问题的基本步骤：

①建立适当的直角坐标系；

②求出抛物线的标准方程；

③根据抛物线的方程及定义、直线与抛物线的位置关系来解决实际应用问题.【例6】如图，一抛物线型石拱桥在如图所示的直角坐标系中，桥的最大高度为16m，跨度为40m．（1）求抛物线的关系式；（2）求距离y轴5m的石拱桥的高度．【解题思路】（1）根据题意，抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过（20，﹣16），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式即可；（2）把x＝5代入函数表达式，解方程即可．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2，∵抛物线过（20，﹣16），根据题意代入，得a=−即得抛物线的解析式为y=−125（2）把x＝5代入函数表达式，得y=−125×516﹣