288727112022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题09等差数列与等比数列复习与检测

专题09等差数列与等比数列复习与检测专题09等差数列与等比数列复习与检测

学习目标

1.数列的概念，

2.等差数列与等比数列的定义，

3.等差中项与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。

知识梳理

重点1

等差数列、等比数列的基本运算（定义法）1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))重点2

等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.重点3

等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2.前n项和的性质：①对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外).②对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.重点4

数列的通项的求法1、作差法；

2、作商法；

3、累加法；

4、累乘法；

5、构造法。

数列求和的常用方法

1、.倒序相加法；

2、错位相减法；3、裂项相消法，.常用裂项形式有：①；②；例题分析

例1．设数列是等差数列，是数列的前项和，，，则（）A．18 B．30 C．36 D．24【答案】D【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，而，则，等差数列公差，首项，则.故选：D例2．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，由条件可知：，又由图形可知：，所以，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以最小的正三角形的面积为：，故选：A.跟踪练习1．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（）A． B． C． D．2．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件3．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（）A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值4．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数，使得为等差数列；②存在实数，使得为等比数列；③若存在使得，则实数唯一.A．① B．①② C．①③ D．①②③5．已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是（）A．一定是等差数列 B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列6．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（）A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤7．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.8．在数列中，已知，()．（1）证明：数列为等比数列；（2）记，数列的前项和为.求使得的整数的最小值；（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．9．已知无穷数列，对于任意给定的正整数，设不等式对任意恒成立时的取值集合为.（1），求集合；（2）若为等差数列，公差为，求；（3）若对任意，，均为相同的单元素集合，证明：数列为等差数列.10．数列满足：，且对任意，都有．（1）求；（2）设，求证：对任意，都有；（3）求数列的通项公式．

参考答案1．C【详解】解：把方程组中的都用和表示得：，把代入得：，根据分母结构特点及可知：当，，时，取最小值为．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，，时，取最小值．2．B【详解】因，若，则是以为首项，1为公差的等差数列，，数列为无穷数列，，取，则，显然数列不是单调的，即命题“若数列为无穷数列，则数列单调”是假命题；若数列为有穷数列，而，则，此时数列为，如果数列单调，则都为正或者都为负，有，与矛盾，“数列单调”是错误的，即数列不单调，命题“若数列为有穷数列，则数列不单调”是真命题，从而有命题“若数列单调，则数列为无穷数列”是真命题，所以数列为无穷数列”是“数列单调”的必要不充分条件.故选：B3．A【详解】由数列为等差数列，且，得，故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值，故选：A.4．A【详解】①中，假设为等差数列，则，则，可得，显然当时，可得，使得恒成立，所以存在使得数列为等差数列，所以①正确；②中，假设数列为等比数列，则则，可得，即，即，该式中有为定值，是变量，所以这样的实数不存在，所以②不是真命题；③中，由，可得，，，，将上述各式相加，可得，即，即，若存在这样的实数，则有，从而，可知满足该式的不唯一，所以③不是真命题.故选：A.5．C【详解】，，，若，则数列为等差数列；若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，，此时（），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列可能为等差数列，但不会为等比数列.故选：C6．C【详解】是由实数构成的无穷等比数列，对于①，令，则时，故结论是不正确的对于②令，则恒成立，故结论不正确对于③，当时，恒成立，当且时，恒成立当时，时，，时，恒成立．综上可得结论是正确的．对于④，由①可知结论是不正确的．对于⑤，若，则，，，可知结论是正确的．故选：C.7．（1）答案见解析；（2），且；（3）或.【详解】解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，都存在正整数，使得，所以，解得或.所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且时，数列不具有“性质”.（2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，，令，则.当且时，则，对任意正整数，，，由得，得，而是正整数，所以存在正整数使得成立，数列具有“性质”.若，取，，，不是中的项，不合题意．综上所述，且.（3）.对于任意的正整数，存在整数，使得得.对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得.当时，显然不合题意.当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.是正整数，都是正整数，因此或2．当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.综上所述或.8．（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，理由见解析.【详解】（1）证明：由，得，从而，，又，故数列为等比数列；（2）解：由(1)得，，故，所以，，令，则，解得，，.故使得的整数的最小值为10；（3）解：假设存在正整数、、满足题意，则，即，即两边同除以得，(*)由得，，；所以为奇数，而、均为偶数，故(*)式不能成立；即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列.9．（1）；（2）；（3）证明见解析.【详解】（1）因为，为满足不等式的构成的集合，所以有：对任意恒成立，当时，上式可化为，所以；当时，则有成立；当时，上式可化为.所以；（2）若为等差数列，公差为，所以，当时，，当时，，当时，，所以，所以；（3）对于数列，若对任意且，中均只有同一个元素，不妨设为，下面证明数列为等差数列.当时，对任意恒成立；当时，有对任意恒成立，所以对任意恒成立；所以对任意恒成立，所以数列为等差数列.10．（1），；（2）证明见解析；（3）．【详解】（1）解：根据题意，可知数列为