2 微专题：向量有关概念的易错点 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：向量有关概念的易错点了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模；2、零向量：长度为0的向量，记作；3、单位向量：长度等于1个单位的向量；4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任意向量平行，即：；5、相等向量：长度相等且方向相同的向量；6、相反向量：长度相等且方向相反的向量；【典例】例1、（1）若四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状是；（2）若四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(k>0，且k≠1)，则四边形ABCD的形状是；【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例2、若与是共线向量，与是共线向量，则与的关系是【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例3、判断下列命题的真假（请在括号中打“√”或“×”）；①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；（）②单位向量都相等；（）③若，，则；（）④若，，则；（）⑤若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点能构成平行四边形；（）⑥若，，则；（）⑦向量的充要条件是且；（）⑧与非零向量共线的单位向量为；（）⑨若λ(λ为实数)，则λ必为零；（）【归纳】1、向量概念的四点注意(1)注意0与的区别，0是一个实数，是一个向量，且；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．(4)任意一组平行向量都可以平移到同一直线上；2、平面向量基本概念的辨析（1）向量与有向线段：向量可以用有向线段表示，区别是有向线段位置固定，而向量可以平移；（2）零向量与单位向量：零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模都确定，但方向不确定；（3）向量与数量：向量与数量不同，向量本身不能比较大小，只可以判断是否相等，但向量的模可以比较大小．（4）相等向量与平行向量：相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；（5）向量平行与直线平行：向量平行可以在同一条直线上或者在两条平行直线上；3、解答向量概念型题目的要点（1）准确理解向量的有关知识，应重点把握两个要点：大小和方向.（2）向量线性运算的结果仍是向量，准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.（3）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.（4）大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征.（5）向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上；.【即时练习】1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量；()（2）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反；()（3）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；()（4）当两个非零向量，共线时，一定有＝λ，反之亦成立；()2、设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A．＝－B．∥C．＝2 D．∥且||＝||3、下列命题中正确的有()A．若∥，则与同向B．相反向量就是方向相反的向量C．与同向，且||>||，则>D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件4、给出下列命题：①零向量是唯一没有方向的向量；②零向量的长度等于0；③若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线．其中错误的命题的个数为()A．0B．1C．2D．35、在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点与终点的所有向量中，相等向量的对数为()A．9B．11C．18D．246、若为非零向量，为其单位向量，则有或【教师版】微专题：向量有关概念的易错点了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模；2、零向量：长度为0的向量，记作；3、单位向量：长度等于1个单位的向量；4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任意向量平行，即：；5、相等向量：长度相等且方向相同的向量；6、相反向量：长度相等且方向相反的向量；【典例】例1、（1）若四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状是；（2）若四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(k>0，且k≠1)，则四边形ABCD的形状是；【提示】注意：前提是“两个向量”，判断对象是“四边形”；【答案】（1）平行四边形；（2）梯形；【解析】（1）eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))表示AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形；（2）eq\o(AD,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(k>0，且k≠1)表示AD∥BC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形；【说明】本题涉及向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量；例2、若与是共线向量，与是共线向量，则与的关系是【提示】注意：在处理向量问题时不要忽略零向量；【答案】共线向量或不共线向量；【解析】若，则与未必是共线向量；若是非零向量，则与是共线向量；【说明】本题涉及处理向量问题的常见错误：忽视零向量；例3、判断下列命题的真假（请在括号中打“√”或“×”）；①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；（）②单位向量都相等；（）③若，，则；（）④若，，则；（）⑤若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点能构成平行四边形；（）⑥若，，则；（）⑦向量的充要条件是且；（）⑧与非零向量共线的单位向量为；（）⑨若λ(λ为实数)，则λ必为零；（）【提示】注意：理解相关概念与命题的判别方法；【答案】④⑧是（√）；其余都是（×）【解析】①错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段．正确说法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示；②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等；③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若，，则；④正确：因为，所以，的长度相等且方向相同；又，所以，的长度相等且方向相同；所以，的长度相等且方向相同，故；⑤错误：若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，所以直线AB与CD平行或重合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是不共线的四点，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．⑥错误：零向量与任一向量平行，故当，时，若，则，不一定平行．，，则⑦错误：当且时，若，方向相反，则与是相反向量，即，得不到；当向量时，与的模相等且方向相同，所以可以得到且；综上，向量是且的充分不必要条件．⑧正确：向量的方向与非零向量的方向相同，向量的模为；向量的方向与非零向量的方向相反，向量的模为；综上，向量是与非零向量共线的单位向量．⑨错误：当时，λ，所以若λ(λ为实数)，则λ＝0或；【说明】本题综合考查了向量的概念与特殊向量与判断命题真假的方法的整合；【归纳】1、向量概念的四点注意(1)注意0与的区别，0是一个实数，是一个向量，且；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．(4)任意一组平行向量都可以平移到同一直线上；2、平面向量基本概念的辨析（1）向量与有向线段：向量可以用有向线段表示，区别是有向线段位置固定，而向量可以平移；（2）零向量与单位向量：零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模都确定，但方向不确定；（3）向量与数量：向量与数量不同，向量本身不能比较大小，只可以判断是否相等，但向量的模可以比较大小．（4）相等向量与平行向量：相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；（5）向量平行与直线平行：向量平行可以在同一条直线上或者在两条平行直线上；3、解答向量概念型题目的要点（1）准确理解向量的有关知识，应重点把握两个要点：大小和方向.（2）向量线性运算的结果仍是向量，准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.（3）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.（4）大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征.（5）向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上；.【即时练习】1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量；()（2）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反；()（3）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；()（4）当两个非零向量，共线时，一定有＝λ，反之亦成立；()【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；2、设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A．＝－B．∥C．＝2 D．∥且||＝||【答案】C；【解析】因为向量的方向与向量方向相同，向量的方向与向量方向相同，且，所以向量与向量方向相同，故可排除选项A，B，D.当＝2时，，故＝2是成立的充分条件．3、下列命题中正确的有()A．若∥，则与同向B．相反向量就是方向相反的向量C．与同向，且||>||，则>D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【答案】D；【解析】平行向量也可能方向相反，所以A是错误的；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确的．4、给出下列命题：①零向量是唯一没有方向的向量；②零向量的长度等于0；③若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线．其中错误的命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B；5、在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点与终点的所有向量中，相等向量的对数为()A．9B．11C．18D．24【答案】D；【解析】由题意可得，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，有3对相等向量，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＝e