第27章圆测试卷2023-2024学年华东师大版九年级数学下册

华东师大版九年级数学下册第27章圆测试卷一、单选题1．用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于A．3 B． C．2 D．2．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸3．已知☉O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与☉O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定4．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B． C．π﹣4 D．5．如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A．6π B．5π C．4π D．3π6．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3π B．4π C．5π D．6π7．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则的长是（）A． B． C． D．8．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，以点A为圆心，以4cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．外离10．已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2二、填空题11．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB=5米，半径OB=4米，则圆锥的侧面积是平方米(结果保留π)．12．如图，正五边形内接于，则．13．如图，储油罐的截面是直径为20cm的圆，装入一些油（阴影部分）后，若油面宽AB＝16cm，油的最大深度是cm14．已知抛物线y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，不论m取何正数，经过A、B、C三点的⊙P恒过y轴上的一个定点，则该定点的坐标是.三、解答题15．如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的函数表达式为为半圆的直径，求这个“果圆”被轴截得的CD的长.16．如图，在△OAB中OA＝OB，⊙O交AB于点C、D，求证：AC＝BD.17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.18．如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．四、综合题19．1300年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥是圆弧形，它的跨度AB为37m，高为7m．（1）用尺规作图找出弧AB所在的圆心；（2）求桥拱所在的圆的半径（精确到0.1m）20．如图，以的边上一点作经过点，交于点.连接，作交于点，交于点，连接交于点.（1）当时，求证：为的切线；（2）若，，求的长；（3）若，求的值.21．【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）（1）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．（2）【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的长．22．如图，、均为同圆中的两条弦，且．（1）判断与的关系（）A． B．C． D．以上三种情况均有可能（2）若点为的中点，连接并延长交于点，求证：23．如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（），，垂足为E，以OE为半径的分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．（1）求证：BC是的切线；（2）若G是OF的中点，，．①求HE的长；②求AD的长．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】∵半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，∴扇形的弧长为。

∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据圆的周长公式，得，解得。

故选A。2．【答案】B【解析】【解答】解：如图：连接OA，

∵弦AB⊥CD于点E，

∴AE=BE=5寸，∠AEO=90°，

设圆的半径OA=r寸，则OE=（r-1）寸，

在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，

∴r2=（r-1）2+52，

解得r=13，

∴该圆的直径为26寸.

故答案为：B.

【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=BE=5寸，∠AEO=90°，设圆的半径OA=r寸，则OE=（r-1）寸，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程，求解即可解决问题.3．【答案】B【解析】【解答】☉O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，

直线l与☉O相切，

故答案为：B.

【分析】根据圆的半径与直线到圆心的距离关系即可得出结论.4．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∵OB＝2，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝π×22﹣×2×2＝π﹣2．故答案为：A【分析】先证得△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求得5．【答案】A【解析】【解答】解：5个扇形的圆心角之和为：（5-2）×180°=540°，

所以五个阴影部分的面积之和

故答案为：A.

【分析】先求出5个扇形的圆心角之和，再结合半径利用扇形面积公式求解.6．【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式可得．【解答】扇形的弧长为．故选B．【点评】本题考查弧长的计算公式．7．【答案】B【解析】【解答】解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴，∴===．故选：B．【分析】连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．8．【答案】B【解析】【解答】∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，∴⊙D的面积为25π，故②错误；在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，∴点C（0，﹣4），当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，﹣4），则CE=6，∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，∴点M（3，﹣），∴DM=，如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，∵DM2=，∴CM2+CD2=DM2，∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，∵CD是半径，∴直线CM与⊙D相切，故④正确，故答案为：B．【分析】根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点求出A，B，C两三点的坐标，根据抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为x=3；根据两点间的距离公式算出AB的长，从而得出⊙D的面积为25π；根据抛物线的对称性，由C点的坐标，得出其对称点E点的坐标，根据两点间的距离公式算出AD，CE，得出AD≠CE，故四边形ACED不是平行四边形；将抛物线配成顶点式，得出M点的坐标，进而得出DM的长，如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，进而得出N点的坐标，CN的长，利用两点间的距离公式，根据勾股定理的逆定理判断出∠DCM=90°，即DC⊥CM，故直线CM与⊙D相切。9．【答案】A【解析】【解答】作AD⊥BC于D.根据等腰三角形的三线合一，得BD=4cm；再根据勾股定理得AD=2cm，∵2＞4cm∴以4cm为半径的⊙A与BC所在直线的位置关系是相离.故答案为：A.

【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一可求得BD的值，再用勾股定理可求得AD的长；把圆心A到BC的距离AD与圆的半径4比较大小，根据直线和圆的位置关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线和圆相离可求解。10．【答案】A【解析】【解答】解：∵圆锥的底面积为9πcm2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm，∴侧面积为3×6π=18πcm2。故答案为：A。【分析】根据圆锥的底面积计算方法列出方程，求解算出底面半径，进而根据圆锥的侧面积=底面周长与母线长乘积的一半即可算出答案。11．【答案】20π【解析】【解答】解：圆锥的侧面积为：.

故答案为：20π.【分析】根据圆锥的侧面积公式“（r代表底面圆的半径，l代表母线长）”直接计算即可.12．【答案】36°【解析】【解答】解：∵正五边形内接于，∴，∴，故答案为：36°．

【分析】利用正多边形的性质求出，再利用三角形的内角和求出∠DAE的度数即可。13．【答案】4【解析】【解答】解：连接OA，过点O作，交AB于点M，∵直径为20cm，AB=16cm，∴OA=OE=10cm，AM=8cm∴∴故答案为：4.【分析】连接OA，过点O作，交AB于点M，根据垂径定理得出AM=AB=8cm，利用勾股定理可求出OM的长，由ME=OE-OM即可求出结论.14．【答案】(0，1)【解析】【解答】解：令y＝0，∴x2+（m+1）x﹣m﹣2＝0，∴（x﹣1）[x+（m+2）]＝0，∴x＝1或x＝﹣（m+2），∴A（1，0），B（﹣2，0），∴OA＝1，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣m﹣2，∴C（0，﹣m﹣2），∴OC＝m+2，如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝1，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝1，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）.【分析】由题意根据已知条件得到求出OA=2，OB=m+2，OC=m+2，判断出∠OCB=∠OAF，根据三角函数的定义即可得到结论.15．【答案】解：如图，设半圆AB的圆心为点M，连接CM，

∵令y=(x-1)2-4中的x=0，得y=-3，

∴OD=3，

令y=(x-1)2-4中的y=0，得(x-1)2-4=0，

解得x1=3，x2=-1，

∴点的坐标为A（-1，0），B的坐标为（3，0）

∴AB=4，OA=1，

∴AM=CM=2，

∴OM=1，

在Rt△COM中，利用勾股定理得OC=

∴CD=OC+OD=.【解析】【分析】如图，设半圆AB的圆心为点M，连接CM，分别令y=(x-1)2-4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得A、B、D三点的坐标，从而得到OD、OA、OB、AB的长，进而得到OM、CM的长，用勾股定理算出OC的长，最后根据CD=OC+OD可算出答案.16．【答案】证明：如图，过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB，OE⊥AB于E∴AE=BE又∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD∴CE=DE∴AE-CE=BE-DE即AC=BD.【解析】【分析】如图，过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形的三线合一可得AE=BE，由垂径定理可得CE=DE，再利用等量减等量差相等即可证出结论.17．【答案】证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AB为⊙D的切线，∴∠B=90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF，∴AC与⊙D相切．【解析】【分析】过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．18．【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）解：OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，进而根据勾股定理即可求解；

（2）先根据勾股定理求出HF，进而结合题意即可求解。19．【答案】（1）解：连接BC，作线段BD的垂直平分线交CD的延长线于点O，则O点即为圆心（2）解：连接OB，∵CD⊥AB，AB=37m，CD=7m，∴BD=AB=m，设OB=r，则OD=r﹣7，∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣7）2+（）2=r2，解得r=m【解析】【分析】（1）连接BC，作线段BD的垂直平分线交CD的延长线于点O，则O点即为圆心；（2）连接OB，根据垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OB的值即可．20．【答案】（1）证明：如图1，连接，则，∴，∵∴∵是的直径，∴，即，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线.（2）证明：∵是的直径，∴，即∵∴∴∴，又∵，∴；∴∴∴∴∴（3）解：连接，如图2所示：∵，，∴，，设，，则，在中，，∴，在中，，即解得：，∴，在中，，∴，∴或（舍去），∴【解析】【分析】（1）连接OB，利用等腰三角形的性质可证得∠OBC=∠C，从而可推出∠ABD=∠OBC，利用圆周角定理可得到∠CBD=90°，可得到∠OBC+∠OBD=90°；再证明∠ABO=90°，利用切线的判定定理可证得结论.

（2）利用圆周角定理可得到∠CBD=90°，可证得OG⊥BC，利用垂径定理可证得弧CG=弧BG，由此可证得∠GDB=∠GBF，利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△GBD∽△GFB，利用相似三角形的对应边成比例，可证得GB2=GF·GD，代入计算求出GF的长，然后求出FD的长.

（3）连接CG，利用解直角三角形可得到GE与CG的比值，设GE=x，OG=OC=r，可表示出OE，CG的长，利用勾股定理可表示出CE，利用勾股定理表示出CE的长；在Rt△OCE中，利用勾股定理建立方程可得到r与x之间的关系式，由此可表示出CD的长；再在Rt△DBC中，利用勾股定理表示出BD的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出tan∠BGD的值.21．【答案】（1）解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，∵∠ADE是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB，∴∠ADB＞∠ACB，因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，所以点D也不在⊙O内，所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上（2）【应用】（1）如图2，取CD的中点O，则点O是Rt△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是Rt△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°∵∠DAC=90°∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=，在Rt△ACD中，AD=1，∴CD=，∴AC==，∴DG=​．【解析】【解答】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；【应用】（1）作出Rt△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；（2）根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形ACGD是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的