2024年高考数学终极押题密卷2（全国甲卷理科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷2（全国甲卷理科）一．选择题（共12小题）1．若集合A＝{﹣2，1，4，8}，B＝{x﹣y2|x∈A，y∈A}，则B中元素的最大值为（）A．4 B．5 C．7 D．102．已知圆x2+y2＝1与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，则r＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知α为锐角，若，则cosα＝（）A． B． C． D．5．正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则＝（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣36．已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（）A．a2＞b2+1 B．2a＞2b+1 C．a2＞4b D．＞b+17．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（）A． B． C． D．8．国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率＝今年月发电量﹣去年同期月发电量）÷去年同期月发电量×100%），如统计图，下列说法不正确的是（）A．2023年第一季度的发电量平均值约为204 B．2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量 C．2022年11月发电量也高于该年12月发电量 D．2023年下半年发电量的中位数为245.29．在半径为r的⊙O中，弦AB的长度为a，则的值为（）A． B． C．ar D．与∠CAB有关10．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+＝（R+r）．设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（）A．R B．R C．R D．R11．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．＝1 B． C． D．12．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]二．填空题（共4小题）13．已知等差数列{an}，若a1+a3+a5＝9，则a2+a4＝．14．若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣4＝0距离的最小值为．15．已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有2个零点，则ω的取值范围是．16．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为．三．解答题（共7小题）17．已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．19．某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试．该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：产品合格品淘汰品调试前2416调试后4812（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率．工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p．（参考数据：0.85＝0.32768，0.86＝0.262144）附：P（K2⩾k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82820．已知椭圆的离心率为，过点M（1，0）的直线l交椭圆C于点A，B，且当l⊥x轴时，．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的左焦点为F，若过F，A，B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线AB的方程．21．设函数．（1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）证明：存在x0∈（0，+∞），使得当1＜a＜2时，．22．在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为4tanθ＝ρcosθ，曲线N的方程为ρsinθ＝m，其中m为常数．（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设m＝1，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为（t，0），若△ABC的重心G的极角为，求t的值．23．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范围；（2）求的最大值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷2（全国甲卷理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若集合A＝{﹣2，1，4，8}，B＝{x﹣y2|x∈A，y∈A}，则B中元素的最大值为（）A．4 B．5 C．7 D．10【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】C【分析】先求出x的最大值和y2最小值，可得结果．【解答】解：．故选：C．【点评】本题主要考查集合中的元素的最值，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．2．已知圆x2+y2＝1与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，则r＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】D【分析】由题意，利用圆和圆的位置关系，求得r的值．【解答】解：∵圆x2+y2＝1与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）外切，∴两圆的圆心距等于它们的半径之和，＝1+r，则r＝4，故选：D．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的确定方法，属于基础题．3．设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面与平面垂直；充分条件与必要条件；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理．【答案】D【分析】当m⊥n时，α与β不一定垂直，当α⊥β时，m与n不一定垂直，进而可得结论．【解答】解：如图1，当m⊥n时，α与β不一定垂直，如图2，当α⊥β时，m与n不一定垂直，所以“m⊥n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心素养，属于基础题．4．已知α为锐角，若，则cosα＝（）A． B． C． D．【考点】二倍角的三角函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】D【分析】由诱导公式，结合二倍角公式求解．【解答】解：已知α为锐角，若，则，则，又cosα＞0，则cosα＝．故选：D．【点评】本题考查了诱导公式，重点考查了二倍角公式，属中档题．5．正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点，F是DC的中点，则＝（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据向量的线性运算及数量积运算求解即可．【解答】解：设，，则＝0，由题意得＝＝＝，又，所以＝•＝＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．6．已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（）A．a2＞b2+1 B．2a＞2b+1 C．a2＞4b D．＞b+1【考点】等式与不等式的性质．【专题】综合法；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】D【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：非零实数a，b满足a＞|b|+1⇔a2＞b2+2|b|+1＞b2+1，A一定成立；a＞|b|+1≥b+1⇒2a＞2b+1，B一定成立；又b2+1≥2|b|，故a2＞4|b|≥4b，C一定成立；令a＝5，b＝3，即可推得D不一定成立．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】D【分析】根据题意可将4人分为1，1，2三组，可得所有分配情况，再计算甲、乙二人分别去了相同岗位的概率，利用古典概型和对立事件相关知识可解．【解答】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则将4人分为1，1，2三组，共有＝6方法，则所有分配方法为＝36，甲、乙二人分别去了相同岗位共有＝6种，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是．故选：D．【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．8．国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率＝今年月发电量﹣去年同期月发电量）÷去年同期月发电量×100%），如统计图，下列说法不正确的是（）A．2023年第一季度的发电量平均值约为204 B．2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量 C．2022年11月发电量也高于该年12月发电量 D．2023年下半年发电量的中位数为245.2【考点】统计图表获取信息．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】选项A：由平均数公式求解；选项B：由条形图及同比增长率的含义判断；选项C：由条形图及同比增长率的含义判断；选项D：利用中位数的定义判断．【解答】解：选项A：由图中数据可知，2023年第一季度的发电量平均值约为，故A正确；选项B：由图中数据可知，2023年4月的同比增长率为负数，故该月发电量低于上一年同期发电量，故B正确；选项C：根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为，2022年12月发电量为，而187.9＞173.2，则2022年11月发电量低于该年12月发电量，故C错误；选项D：2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下，210.5，234.6，244.3，246.1，258.9，269.2，所以中位数为，故D正确．故选：C．【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．9．在半径为r的⊙O中，弦AB的长度为a，则的值为（）A． B． C．ar D．与∠CAB有关【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据垂径定理及向量数量积运算即可求解．【解答】解：过O作OD⊥AB，，，则＝＝．故选：B．【点评】本题考查平面向量数量积运算，属基础题．10．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+＝（R+r）．设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（）A．R B．R C．R D．R【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】D【分析】由α＝．推导出＝≈3α3，由此能求出r＝αR＝．【解答】解：∵α＝．∴r＝αR，r满足方程：+＝（R+r）．∴+＝（1+）M1，把代入，得：＝（1+α）M1，∴＝[（1+α）﹣]M1＝＝M1，∴＝≈3α3，∴r＝αR＝．故选：D．【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．11．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．＝1 B． C． D．【考点】椭圆的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】B【分析】法一：设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理结合cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，然后转化求解即可．法二：设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义，在△AF1B中，由余弦定理转化求解椭圆方程即可．【解答】解：法一：由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得，又∠AF2F1，∠BF2F1互补，∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2+6＝11n2，解得．∴，∴所求椭圆方程为，故选：B．法二：如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得．在△AF1F2中，由余弦定理得，解得．∴，∴所求椭圆方程为，故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【答案】B【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣解得x＝或x＝，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m≤．故选：B．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．二．填空题（共4小题）13．已知等差数列{an}，若a1+a3+a5＝9，则a2+a4＝6．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【答案】见试题解答内容【分析】根据等差数列的性质，利用p+q＝m+n时，ap+aq＝am+an，求出a3的值，进而可得到a2+a4的值．【解答】解：∵等差数列an中，a1+a5＝2a3，又由题意a1+a3+a5＝9，∴3a3＝9，a3＝3，则a2+a4＝2a3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的性质，其中利用p+q＝m+n时，ap+aq＝am+an，是解答本题的关键，属基础题．14．若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣4＝0距离的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】．【分析】过点P作曲线y＝lnx﹣x2的切线，当切线与直线l：x+y﹣4＝0平行时，点P到直线l：x+y﹣4＝0距离的最小．根据导数的几何意义即可求解．【解答】解：过点P作曲线y＝lnx﹣x2的切线，当切线与直线l：x+y﹣4＝0平行时，点P到直线l：x+y﹣4＝0距离的最小．设切点为，∴切线斜率为，由题知，解得x0＝1或（舍）．∴P（1，﹣1），此时点P到直线l：x+y﹣4＝0距离．故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．15．已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有2个零点，则ω的取值范围是[1，2）．【考点】余弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．【答案】[1，2）．【分析】令f（x）＝0，得cosωx＝1有2个根，从而结合余弦函数的图象的性质即可得解．【解答】解：如图所示：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0），则方程在cosωx＝1在[0，2π]有2个根，即令t＝ωx，则方程cost＝1有2个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图像性质可得2π≤2ωπ＜4π，故1≤ω＜2．故答案为：[1，2）．【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．16．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，•＝0，则C的离心率为2．【考点】双曲线的性质．【专题】方程思想；数形结合法；向量与圆锥曲线．【答案】2．【分析】由题意画出图形，结合已知可得OB＝F1O＝c，设B（x1，y1），A（x2，y2），由点B在渐近线y＝上，求得B点坐标，再由A为F1B的中点，得到A点坐标，把A代入渐近线y＝，即可求得C的离心率．【解答】解：如图，∵＝，∴A为F1B的中点，且O为F1F2的中点，∴AO为△F1F2B的中位线，又∵，∴F1B⊥F2B，则OB＝F1O＝c．设B（x1，y1），A（x2，y2），∵点B在渐近线y＝上，∴，得．又∵A为F1B的中点，∴，∵A在渐近线y＝上，∴，得c＝2a，则双曲线的离心率e＝．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．三．解答题（共7小题）17．已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【考点】正弦定理．【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角形内角和可得C＝，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C＝，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴，∴sinA＝3cosA，即cosA＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA＝；（2）由（1）可知sinA＝，cosA＝sinA＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×＝，∴＝＝5，∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，设AB边上的高为h，则＝，∴＝，解得h＝6，即AB边上的高为6．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【专题】数形结合；向量法；空间角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过N作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再由线面平行的判定可得MN∥平面C1DE；（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，∴NM∥DE，∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，∴MN∥平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC的直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），，，设平面A1MN的一个法向量为，由，取x＝，得，又平面MAA1的一个法向量为，∴cos＜＞＝＝＝．∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为＝＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试．该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：产品合格品淘汰品调试前2416调试后4812（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率．工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p．（参考数据：0.85＝0.32768，0.86＝0.262144）附：P（K2⩾k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【考点】独立性检验．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】（1）有95%的把握认为参数调试改变产品质量有关．（2）抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p＝0.65536．【分析】（1）根据随机抽取样本数据可得2×2列联表，计算观测值结合临界值表可判断是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量；（2）利用二项分布即可求解概率．【解答】解：（1）根据随机抽取样本数据，可得下面的2×2列联表，产品合格品淘汰品总计调试前241640调试后481260总计7228100则K2＝＝≈4.762≥3.841，所以有95%的把握认为参数调试改变产品质量有关．（2）将合格品频率作为产品的合格概率，工程师从调试后可得产品的合格概率为＝0.8，抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p＝0.86+×0.85×0.2＝0.262144+0.32768×1.2＝0.65536．【点评】本题考查独立性检验的运用，考查古典概型，属于中档题．20．已知椭圆的离心率为，过点M（1，0）的直线l交椭圆C于点A，B，且当l⊥x轴时，．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的左焦点为F，若过F，A，B三点的圆的圆心恰好在y轴上，求直线AB的方程．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意，根据离心率和弦长列式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设过F，A，B三点的圆的圆心为Q（0，n），A（x1，y1），B（x2，y2），根据|QA|2＝|QF|2推出，同理得，则y1，y2是方程3y2+2ny﹣1＝0的两个根，此时，设出直线AB的方程，将直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理再进行求解即可．【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，解得a＝2b，当x＝1时，解得，所以，则a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为；（2）不妨设过F，A，B三点的圆的圆心为Q（0，n），A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，可得|QA|2＝|QF|2，即，因为点A在椭圆C上，所以，整理得，同理，由|QB|2＝|QF|2，可得，则y1，y2是方程3y2+2ny﹣1＝0的两个根，此时，不妨设直线AB的方程为x＝ty+1，联立，消去x并整理得（t2+4）y2+2ty﹣3＝0，由韦达定理得，解得t2＝5，所以，故直线AB的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．21．设函数．（1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）证明：存在x0∈（0，+∞），使得当1＜a＜2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）利用导数求得f（x）的最小值，从而把所证式子转化为证：，构造函数（1＜x＜2），结合零点存在性定理并多次求导利用导数研究函数g（x）的单调性即可求解最值，即可证明．【解答】解：（1）当a＝1时，，所以f′（x）＝（x+1）lnx，则，f′（e）＝e+1，则曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，即．（2）因为f′（x）＝（x+a）（lnx﹣lna），1＜a＜2，由f'（x）＞0，得x＞a，由f'（x）＜0，得0＜x＜a，所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为，要证：，即证：，只需证：，设（1＜x＜2），则，设（1＜x＜2），则，当1＜x＜2时，h'（x）＜0，所以h（x）在（1，2）上单调递减，而h（1）＝1＞0，h（2）＝﹣1＜0，故必存在唯一x0∈（1，2），使得h（x0）＝0，所以当x∈（1，x0）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0；当x∈（x0，2）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，所以g（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减，而g（1）＝0，，所以g（x）＞0在（1，2）上恒成立，即成立，原命题得证．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．22．在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为4tanθ＝ρcosθ，曲线N的方程为ρsinθ＝m，其中m为常数．（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设m＝1，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为（t，0），若△ABC的重心G的极角为，求t的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）x2＝4y（x≠0），y＝m；（2）t＝2．【分析】（1）直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用重心坐标求出结果．【解答】解：（1）由4tanθ＝ρcosθ，得4sinθ＝ρcos2θ（cosθ≠0），则4ρsinθ＝ρ2cos2θ（cosθ≠0），根据，所以x2＝4y（x≠0），所以曲线M的直角坐标方程为x2＝4y（x≠0）．曲线N的方程为ρsinθ＝m，转换为直角坐标方程为y＝m．（2）因为m＝1，所以曲线N的直角坐标方程为y＝1，代入x2＝4y，得x＝±2，不妨设A（﹣2，1），B（2，1），依题意可得C的直角坐标为（t，0），则G的坐标为，即．因为重心G的极角为，所以，解得t＝2．【点评】本题考查的知识点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，重心的坐标的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．23．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范围；（2）求的最大值．【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）．（2）8．【分析】（1）由a+b＝3得|b﹣1|＜b，则﹣b＜b﹣1＜b，可得结果．（2）利用基本不等式先求出+的最值，再求出（a+1）b的最值，可得结果．【解答】解：（1）因为a+b＝3（a＞0，b＞0），所以a＝3﹣b且0＜b＜3，所以|b﹣1|＜b，则﹣b＜b﹣1＜b，解得，又0＜b＜3，所以b的取值范围为．（2），当且仅当a+1＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立，，即，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以的最大值为4+4＝8．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．集合中元素个数的最值【知识点的认识】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．5．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．6．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．余弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ8．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【解题方法点拨】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx＝+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）∴其周期T＝＝π．故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【命题方向】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．9．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．10．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．11．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．12．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴13．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．14．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．15．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．16．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．17．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．18．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．19．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．20．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射