2024年高考数学终极押题密卷3（天津卷）含答案

2024年高考数学终极押题密卷3（天津卷）一．选择题（共9小题）1．设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，0} D．{﹣2，1}2．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则p是q的（）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要3．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（）A．第三组的频数为18人 B．根据频率分布直方图估计众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分4．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A． B． C． D．5．已知数列{an}为不单调的等比数列，，数列{bn}满足bn＝1﹣an+1，则数列{bn}的最大项为（）A． B． C． D．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为36π，点E为棱AB的中点，则三棱锥C1﹣AED的体积为（）A． B． C． D．7．粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（）A．EF＝2 B．EF＝4 C．EG+FG的最小值为 D．EG+FG的最小值为8．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（）A． B． C． D．9．已知函数的部分图像如图，将函数f（x）的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则下列关于函数g（x）的说法正确的个数为（）①点是g（x）图像的一个对称中心②是g（x）图像的一条对称轴③g（x）在区间上单调递增④若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）10．已知i是虚数单位，复数的虚部为．11．在的展开式中，x4的系数是．12．与圆x2+y2﹣2x＝0外切且与直线相切于点的圆的方程为．13．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，则X的数学期望为．14．在△ABC中，，，若O为其重心，试用，表示为；若O为其外心，满足，且，则m的最大值为．15．设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{ex﹣2，e2x﹣aex+a+24}．若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题（共5小题）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2a﹣c）cosB＝bcosC．（1）求角B的大小；（2）设a＝4，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求sin（2C+B）的值．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求点N到直线ME的距离；（3）在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面MNE所成角的正弦值为，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．18．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}为等比数列，公比大于1．已知a1＝1，b1＝4，b2+S2＝11，b3+S3＝22．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设，求{cn}的前2n项和；（3）设dn＝anbn，求证：．19．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）椭圆上一点P在第一象限，且满足，PO与椭圆交于点Q，直线AQ交PM的延长线于点D．若△PDQ的面积为，求椭圆的标准方程．20．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），其中a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在点（e，f（e））上的切线方程．（其中e为自然对数的底数）（2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根x1，x2，且x1＜x2．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值ee，求k的值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷3（天津卷）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，0} D．{﹣2，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；集合；数学运算．【答案】C【分析】根据集合的基本运算即可求解．【解答】解：∵B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，∵U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴∁U（A∪B）＝{﹣2，0}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则p是q的（）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【考点】充分条件与必要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【答案】C【分析】解不等式，求出关于p，q的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵条件p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3，∵条件q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式以及集合的包含关系，是基础题．3．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（）A．第三组的频数为18人 B．根据频率分布直方图估计众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[60，70）内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解．【解答】解：对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1﹣10（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15，所以第三组[60，70）的频数为120×0.15＝18（人），故正确；对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确；对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10×0.015）+65×（10×0.015）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73.5（分），故错误；对于D，因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5，所以中位数位于[70，80）上，所以中位数的估计值为：70+＝75，故正确；故选：C．【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．4．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据题意，由函数的图象分析函数的定义域以及f（2）＜1，由此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的定义域为{x|x≠±1}，且f（2）＜1，依次分析选项：对于A，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意；对于B，f（x）＝，其定义域为R，不符合题意；对于C，f（x）＝，其定义域为{x|x≠±1}，但f（2）＝＝＝＞1，不符合题意；对于D，f（x）＝，其定义域为{x|x≠±1}，f（2）＝＝＝＜1，符合题意．故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域、奇偶性的分析，属于基础题．5．已知数列{an}为不单调的等比数列，，数列{bn}满足bn＝1﹣an+1，则数列{bn}的最大项为（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】C【分析】根据已知求得公比，得到数列{bn}的通项公式，进而求解结论．【解答】解：设公比为q，∵数列{an}为不单调的等比数列，，∴＝×q2，解得q＝﹣，（舍）．∴an＝a2•qn﹣2＝×（﹣）n﹣2＝（﹣）n；∴bn＝1﹣an+1＝1﹣（﹣）n+1，当n为奇数时，an+1为正数，且单调递减；当n为偶数时，an+1为负数，且单调递增；故n＝2时，数列{bn}取最大值，最大项为b2＝1﹣（﹣）3＝．故选：C．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的体积为36π，点E为棱AB的中点，则三棱锥C1﹣AED的体积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【答案】B【分析】由已知求出正方体外接球的半径，进一步可得棱长，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，设正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径r＝＝，由题意可知，，解得．∴三棱锥C1﹣AED的体积为V＝．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．7．粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（）A．EF＝2 B．EF＝4 C．EG+FG的最小值为 D．EG+FG的最小值为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】D【分析】设EF＝a，然后求出正四面体的高，然后由体积可求得a，然后由侧面展开图可求EG+FG的最小值．【解答】解：设EF＝a，则正四面体的高为，因为六面体的体积为，所以，解得，EG+FG的最小值为等边三角形ECD高的2倍，即．故选：D．【点评】本题考查立体几何中，距离的最值的求解，化归转化思想，属基础题．8．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的性质；双曲线的性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】由得抛物线方程，M在抛物线上求得M坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM平行可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线的距离也为5，即，解得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x，则m2＝16，所以m＝4，即M的坐标为（1，4），又双曲线的左顶点A（﹣a，0），一条渐近线为，而，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有，解得．故选：A．【点评】本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．9．已知函数的部分图像如图，将函数f（x）的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则下列关于函数g（x）的说法正确的个数为（）①点是g（x）图像的一个对称中心②是g（x）图像的一条对称轴③g（x）在区间上单调递增④若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】B【分析】由三角函数的图像与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图像与性质逐项判断即可得解．【解答】解：由图像可知函数f（x）的最大值为2，最小正周期满足，即，所以A＝2，，f（x）＝2sin（3x+φ），又点在函数f（x）的图像上，所以，所以，即，又，所以，，将函数f（x）的图像所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图像，再将所得函数图像向左平移个单位长度，可得的图像，所以，因为，所以点不是g（x）图像的一个对称中心，是g（x）图像的一条对称轴，故①错误，②正确；当时，，所以g（x）在区间上不单调，故③错误；若|g（x1）﹣g（x2）|＝4，则g（x1）、g（x2）分别为函数g（x）的最大值、最小值；由函数g（x）的最小正周期为π可得|x1﹣x2|的最小值为，故④正确．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．二．填空题（共6小题）10．已知i是虚数单位，复数的虚部为﹣1．【考点】复数的运算．【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝，则复数的虚部为：﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．11．在的展开式中，x4的系数是60．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】60．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于4，计算展开式中含有x4项的系数即可．【解答】解：由题意得：，r＝0，1，2，3，4，5，6，只需，可得r＝4，所以，故答案为：60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12．与圆x2+y2﹣2x＝0外切且与直线相切于点的圆的方程为（x﹣4）2+y2＝4或x2+（y+4）2＝36．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】（x﹣4）2+y2＝4或x2+（y+4）2＝36．【分析】利用待定系数法，设所求圆方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2＝r2，根据题意列方程可解得a、b、r的值．【解答】解：设所求圆方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2＝r2，圆C：x2+y2﹣2x＝0的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心C（1，0），半径为1，依题意有，∴b＝（a﹣4）代入前两个等式得：，①当a＞3时，有（a﹣1）2+3（a﹣4）2＝（2a﹣5）2，解得a＝4，∴b＝0，r＝2；②当a≤3时，有（a﹣1）2+3（a﹣4）2＝（7﹣2a）2，解得a＝0，∴b＝﹣4，r＝6．综上所述，所求圆的方程为（x﹣4）2+y2＝4或x2+（y+4）2＝36．故答案为：（x﹣4）2+y2＝4或x2+（y+4）2＝36．【点评】本题考查了待定系数法求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．13．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为0.96；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，则X的数学期望为2．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】0.96；2．【分析】（1）根据题意，求得事件A：至少取到1到乙类试题的概率和事件B：至少取到1到甲类试题的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（2）根据题意得到随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解．【解答】解：（1）由题意知有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答，设事件A：至少取到1到乙类试题的概率，可得；设事件B：至少取到1到甲类试题的概率，可得，所以取到1道乙类题，则取到的题目不是同一类的概率为．（2）解：由题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，可得；；；，所以随机变量X的分布列为：X0123P（X）所以数学期望为．故答案为：0.96；2．【点评】本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于中档题．14．在△ABC中，，，若O为其重心，试用，表示为+；若O为其外心，满足，且，则m的最大值为1．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】+；1．【分析】利用重心的性质，求出＝+；利用外心的性质，再结合平面向量的数量积运算，求出m的最大值为1．【解答】解：设AC的中点为D，∵在△ABC中，，，O为其重心，∴＝＝×（+）＝+＝+；若O为其外心，则•＝，•＝，∵，∴AB•BC+BC•AB＝2m•，∴AB•BC＝2m•，∴2m＝＝4sinC•sinA，即m＝2sinC•sinA，∵，∴sinC•sinA≤＝，∴m＝2sinC•sinA≤1，当且仅当sinC＝sinA＝时取等号，则m的最大值为1．故答案为：+；1．【点评】本题考查了重心，外心的性质，平面向量的数量积运算，属于中档题．15．设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{ex﹣2，e2x﹣aex+a+24}．若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（12，28）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（12，28）．【分析】分析函数g（x）＝ex﹣2，h（x）＝e2x﹣aex+a+24的零点，由条件列不等式求a的取值范围．【解答】解：令g（x）＝ex﹣2，h（x）＝e2x﹣aex+a+24，因为函数g（x）有一个零点，函数h（x）至多有两个零点，又f（x）有三个零点，所以h（x）必须有两个零点，且其零点与函数g（x）的零点不相等，且函数h（x）与函数g（x）的零点均为函数f（x）的零点，由g（x）＝0可得，ex﹣2＝0，所以x＝ln2，所以x＝ln2为函数f（x）的零点，即h（ln2）＝e2ln2﹣aeln2+a+24＝4﹣2a+a+24＝28﹣a＞0，所以a＜28，令h（x）＝0，可得e2x﹣aex+a+24＝0，由已知e2x﹣aex+a+24＝0有两个根，设ex＝t，则t2﹣at+a+24＝0有两个正根，所以a2﹣4（a+24）＞0，a＞0，a+24＞0，所以a＞12，故12＜a＜28，当12＜a＜28时，t2﹣at+a+24＝0有两个根，设其根为t1，t2，t1＜t2，则，设F（t）＝t2﹣at+a+24，则F（2）＝4﹣2a+a+24＝28﹣a＞0，，所以t1＞2，令，则x1＝lnt1，x2＝lnt2，则h（x1）＝0，h（x2）＝0，且，，所以当12＜a＜28时，f（x1）＝f（x2）＝0，所以当12＜a＜28时，x1，x2为函数f（x）的零点，又x＝ln2也为函数f（x）的零点，且x1，x2与ln2互不相等，所以当12＜a＜28时，函数f（x）有三个零点．故答案为：（12，28）．【点评】本题考查函数的零点问题的求解，化归转化思想，属中档题．三．解答题（共5小题）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2a﹣c）cosB＝bcosC．（1）求角B的大小；（2）设a＝4，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求sin（2C+B）的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可．（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解．【解答】解：（1）由（2a﹣c）cosB＝bcosC，根据正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，可得2sinAcosB＝sin（B+C）＝sinA，因为0＜A＜π，故sinA≠0，则，又0＜B＜π，所以．（2）由（1）知，，且a＝4，，（ⅰ）则，即，解得c＝﹣2（舍），c＝6．故c＝6．（ⅱ）由（2a﹣c）cosB＝bcosC，得，解得，则，则，，则sin（2C+B）＝sin2CcosB+cos2CsinB＝．【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，余弦定理的应用，属中档题．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求点N到直线ME的距离；（3）在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面MNE所成角的正弦值为，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；直线与平面所成的角．【专题】对应思想；向量法；空间位置关系与距离；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可．【解答】证明：（1）因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，以点A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，1），E（0，1，1），M（0，0，），N（，1，0），P（0，0，2），所以，设为平面BDE的法向量，则，即，取z＝1，解得，∴，又，可得＝＝0，又因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE；解：（2）因为，所以点N到直线ME的距离；（3）设H（0，0，t），t∈[0，2]，则，设平面MNE的法向量为，则令b＝1，则，所以，即20t2﹣28t﹣3＝0，解得或（舍去），所以．【点评】本题考查利用空间向量法解决线面平行，点到直线的距离以及线面角，属于中档题．18．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}为等比数列，公比大于1．已知a1＝1，b1＝4，b2+S2＝11，b3+S3＝22．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设，求{cn}的前2n项和；（3）设dn＝anbn，求证：．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）an＝n，；（2）；（3）证明见解析．【分析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞1），依题意得到方程组，求出d、q，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；（3）由（1）可得，即可得到，利用放缩法及等比数列求和公式计算可得．【解答】解：（1）依题意设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞1），则S2＝a1+a2＝d+2，，又b2+S2＝11，b3+S3＝22，所以，解得或（舍去），所以an＝n，；（2）由（1）可得，设{cn}的前2n项和为T2n，所以T2n＝c1+c2+c3+⋯+c2n＝+（+）﹣…﹣[+]+[+]＝；（3）证明：因为，所以，所以，所以．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式的求解，裂项求和法的应用，化归转化思想，属中档题．19．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）椭圆上一点P在第一象限，且满足，PO与椭圆交于点Q，直线AQ交PM的延长线于点D．若△PDQ的面积为，求椭圆的标准方程．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）+y2＝1．【分析】（Ⅰ）由＝，得M为OA的中点，进而可得M点坐标，则＝＝，进而可得a2＝5b2，又a2＝b2+c2，推出c2＝4b2，进而可得答案．（Ⅱ）根据题意可得kMP＝tan∠AMP＝，写出直线MP的方程为y＝（x﹣），联立椭圆的方程，解得x1＝﹣，x2＝，解得P点的坐标，由对称性可得Q点的坐标，写出AQ直线的方程，进而解得直线AQ与MP交点的坐标，写出直线PQ的方程为y＝x，计算点D到直线PQ的距离为d，|PQ|，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为＝，所以M为OA的中点，所以M（，0），因为＝＝，解得a2＝5b2，因为a2＝b2+c2，所以c2＝4b2，所以离心率e＝＝＝．（Ⅱ）因为，所以kMP＝tan∠AMP＝，所以直线MP的方程为y＝（x﹣），联立，32x2﹣20ax﹣7a2＝0，解得x1＝﹣，x2＝，因为P在第一象限，所以xP＝，yP＝，则P（，），因为P，Q关于原点对称，所以Q（﹣，﹣），因为A（a，0），所以kAQ＝＝，所以直线AQ的方程为y＝（x﹣a），联立，解得x＝，y＝﹣，所以kPQ＝＝，直线PQ的方程为y＝x，即x﹣7y＝0，所以点D到直线PQ的距离为d＝＝a，因为|PQ|＝2＝，所以S△PDQ＝PQ•d＝＝，解得a2＝5，所以椭圆的方程为+y2＝1．【点评】本题考查椭圆的离心率和方程，解题中需要理清思路，属于中档题．20．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），其中a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在点（e，f（e））上的切线方程．（其中e为自然对数的底数）（2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根x1，x2，且x1＜x2．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值ee，求k的值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）x﹣y﹣e+1＝0；（2）（ⅰ）；（ⅱ）e2﹣2e．【分析】（1）对函数求导数，求出在点（e，f（e））处的斜率，最后求切线方程即可；（2）（ⅰ）方程有两个不相等的正实根，等价于函数的图象与直线y＝a有两个交点，利用函数导数求出极值，再结合图象求出a的取值范围即可；（ⅱ）结合（ⅰ）及指对互化得，，从而把最小值化为的最小值，多次构造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即可求解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣（x﹣1），∴f′（x）＝lnx，∴f′（e）＝lne＝1，又f（e）＝e﹣（e﹣1）＝1，∴函数f（x）在点（e，f（e））上的切线方程为y﹣1＝x﹣e，即x﹣y﹣e+1＝0；（2）（ⅰ）即lnx＝ax，则有，x＞0，设，x＞0，则，令F′（x）＝0，得x＝e，令F′（x）＞0，得0＜x＜e，令F′（x）＜0，得x＞e，∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，又x趋向于0时，F（x）趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，F（x）无限趋向0，且，函数的图象如下：由题意，方程有两个不相等的正实根，即方程有两个不相等的正实根，∴函数的图象与直线y＝a有两个交点，由图知，，故实数a的取值范围为；（ⅱ）∵F（1）＝0，由（ⅰ）得1＜x1＜e＜x2，则，∴，设，则，即，，由题意有最小值ee，即有最小值e，设，t＞1，则，记，则，由于t＞1，k＞1，t∈（1，k）时，G′（t）＜0，则G（t）在（1，k）上单调递减，t∈（k，+∞）时，G′（t）＞0，则G（t）在（k，+∞）上单调递增，又G（1）＝0，G（k）＜G（1）＝0，且t趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，故存在唯一t0∈（k，+∞），使得G（t0）＝0，1＜t＜t0时，G（t）＜0，即g′（t）＜0，∴g（t）在（1，t0）上单调递减，t＞t0时，G（t）＞0，即g′（t）＞0，∴g（t）在（t0，+∞）上单调递增，∴k＞1时，g（t）有最小值g（t0），而g′（t0）＝0，则，即，∴，由题意知g（t0）＝e，令x＝lnt0，设，则，设H（x）＝（x+2）e﹣x+x﹣2，则H′（x）＝﹣（x+1）e﹣x+1，设u（x）＝﹣（x+1）e﹣x+1，则u′（x）＝xe﹣x＞0，故H′（x）在（0，+∞）上单调递增，H′（x）＞H′（0）＝0，此时H（x）在（0，+∞）上单调递增，有H（x）＞H（0）＝0，此时h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）＝e，故h（x）＝e的唯一解是x＝1，故g（t0）＝e的唯一解是lnt0＝1，即t0＝e，综上所述，k＝e2﹣2e．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．

考点卡片1．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．4．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．6．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．7．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．数列与不等式的综合【知识点的认识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【命题方向】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴＝．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝an+﹣an﹣1﹣，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1+，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．10．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．11．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．12．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．13．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．14．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．15．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．16．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．17．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝18．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则19．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．20．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．21．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝．22．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】23．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．24．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆