四川省2024届高三冲刺卷（五）全国卷文科数学试题（含答案与解析）

四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（五）

数学（文科）

考试时间为120分钟，满分150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

_1+i

1.设zi+i2,则忖=()

A.1B.1C.V2D.也

2.设集合4={才工20},3={加了2<4},则4B=()

A[-2,0]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-2,0)

则实数左=（）

A.-1B.1C.-1或0D.0或1

2

5.已知命题-----m20”为真命题，则实数加的取值范围为()

x

A.(-co,e-2]B.|-oo,e4C.[e-2,+oo)D.e4--,+oo

6.下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位:

杯），则下列选项错误的是（）

1,销量/杯

5000

37403学5

40003

3000zzzz____

2OOU交“533

1VKMJ•

向

n7_______________________

1月2月3月4月5月6月7H8月

为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②

的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）

第1行

第2行

第3行

图②

B.13C.40D.121

12.在三棱锥D—APM中，AD=2MP=4,MP±AP,MP1.DP,ZAPD=-TI,则三棱锥Q—APM

6

的外接球的表面积为（）

A.UnB.28兀C.68兀D.72兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在区间［—3,4］上随机取一个数x,若打归。的概率为:则。=.

14.已知函数/（%）的导函数/（%）=0+1乂炉+以+4,若t不是“可的极值点，则实数。=

15.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周

22

率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=+多=l（a〉6〉0）的面积为6兀，点尸在椭

a"b

4

圆。上，且P与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为-一.记椭圆C的左、右两个焦点分别为耳，工，则

9一

△尸耳鸟的面积可能为.（横线上写出满足条件的一个值）

16.如图，在.ABC中，ZDAC=-,4。=20',。。=2,£＞为边8。上的一点，且则

AB=_____

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分.

17.某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加

课外兴趣班的时长(单位：分钟)，得到如图所示的频率分布直方图.直方图中仇C成等差数列，时长落

在区间［80,90)内的人数为200.

个频率/组距

0.005七|~~|一十十七，

。~506070809013。时向分钟

(1)求出直方图中”,仇c的值；

(2)估计样本时长的中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(3)从参加课外兴趣班的时长在［60,70)和［80,90)的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷

调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的

时长在［60,70)和［80,90)恰好各一人的概率.

18.如图，在以尸为顶点的五面体中，四边形A3CD为正方形，四边形所为等腰梯

形，EFCD,且平面A5CD1平面CDEF,A。=2。石=2所=4.

EF

AB

(1)证明：AEVCE-,

(2)求三棱锥石-的体积.

13

19.已知S,为正项数列｛q,｝前〃项和，％=3且+S“+i=5%+1-万.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若么=(T严，求也｝前1。项和〃).

20.已知抛物线。：/=2勿(0<°<4)的焦点为歹.点？(4,m)在抛物线。上，且|「耳=5.

(1)求0；

3

(2)过焦点产的直线4交抛物线。于A3两点，原点为。，若直线。4,03分别交直线4：y=-x-3

于M,N两点，求线段"N长度的最小值.

21.已知函数/'(x)=(a+l)e"-；/+l(qeR).

(1)当a=l时，求曲线丁=/(力在点(。,/(0))处的切线方程；

⑵设用,々(王<尤2)是函数丁=/'(尤)的两个零点，求证：^+x2>2.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

x=3cos6z,

22.在直角坐标系中，曲线。的参数方程为1°(其中a为参数).以坐标原点。为极

y=2+3sino

点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cosd+ZpsinguZ.

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线。的普通方程；

(2)已知点7(0,1),直线/与曲线C交于A3两点，求|则-|相的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知仇c均为正实数，且满足9a+4b+4c=4.

(1)求'4c的最小值；

a100。

(2)求证：9a2+b2+c2>—.

41

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

_1+i

1.设zi+i2,则忖=()

AyB.1C.72D.73

【答案】B

【解析】

【分析】利用分母实数化对z进行化简，从而得到答案.

1+i1+i(1+i)22i,.

【详解】由题意可得Z=「F=—'J==T,所以忖=1.

i+ri-l(i-l)(i+l)-211

故选：B.

2.设集合4={才工20},3={工三<4},则4B=()

A.[—2,0]B,[—2,2]C.[0,2]D.[-2,0)

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合B,再利用集合的交集运算求解.

【详解】解：因为A={x|x20},B={x\%2<4}=[-2,2],

所以A5=[0,2],

故选：C

3.函数/(x)=2xln|x—l|的大致图象为()

【解析】

【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项.

【详解】因为/(%)的定义域为(—8,1)。。,+")，故排除C；

又/(3)=61n2>0,故排除A；

=故排除D.

故选：B.

x<\

4.若关于乂丁的不等式组<x+y20表示的平面区域是直角三角形区域，则实数左=()

kx+y-2<Q

A.-1B.1C.一1或0D.0或1

【答案】C

【解析】

【分析】由已知，关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则直线区+y-2=0垂直于直

线y+X=0或直线依+y—2=0垂直于直线1=1,从而得到左值.

【详解】由题意，当直线依+y-2=。垂直于直线y+尤=0时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以

当直线Ax+y-2=0垂直于直线1=1时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以左=0.

rr2

5.已知命题“Vxe-----机20”为真命题，则实数加的取值范围为()

A.(-co,e-2]B.^-co,e4C.[e—2,+co)D.e4-,+oo

【答案】A

【解析】

2?

【分析】分离参数机Ke:一，求函数/(x)=e，—-,xe[l,4]的最小值即可求解.

X

22

【详解】因为命题—一根20”为真命题，所以Vxe[l,4],znKy—一.

99

令=e，——,xe[1,4],y=与y=——在[1,4]上均为增函数,

故"X)为增函数，当x=l时，有最小值，即mW〃l)=e-2,

故选：A.

6.下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图(单位:

杯)，则下列选项错误的是()

，销量/朴

5000

4000

3000

2000

”/533

1000

I月2月3月4月5月6月7月8月

A.这8个月月销售量的极差是3258B.这8个月月销售量的中位数是3194

C.这8个月中2月份销量最低D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份

【答案】B

【解析】

【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据极差，中位数的定义可判断A和B；根据折线图可判断

C和D.

【详解】将数据按从小到大的顺序排列：707,1533,1598,3152,3436,3533,3740,3965,

对于A,极差是3965—707=3258,故A正确；

对于B,因为8x50%=4,所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，

对于C,这8个月中2月份的销量最低，故C正确；

对于D,这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619,故D正确.

故选：B.

7.已知向量0=(-1,1),Z?=(-3,4),则cosk,a-b)=()

A5726口5A/26「回nV26

26261313

【答案】B

【解析】

a-\a-b

【分析】根据向量的坐标运算，先求再分别求a和,利用cos,,a-耳=——求解.

【详解】因为「=(—1,1),人=(一3,4),所以a—6=(2,—3),|^|=A/2,|<2—Z?|=V13,

所以cos(a,a_»="^=_5_%gf.

'/\a\-\a-b\V2xV1326

故选：B

7T终边经过点尸二,」，贝！Jcos(a-]]=

8.已知角a+—的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，

3[22J<0)

()

1C.ID.B

AA/3B

2222

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数的定义可求出sin]tzT-5]的值，再根据诱导公式求解即可.

3)

【详解】因为角a+乌的终边经过点

3(2:

诉“sin(a+巴]=]2=_L

所以cos(tz—J)=cos(a+；—=sin(a

H—=.

3)2

故选：D.

si«4x-夸)近似模拟，若函数/(%)在[0,旬上有3个零

9.某导航通讯的信号可以用函数〃尤)=G

点，则实数冽的取值范围为()

-211、「211一F117)F117"

A.171,--71B.171,--71

[312)1312」L126)L126J

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的零点，然后根据/(九)在[0,上有3个零点，则即可求出实数冽的取值范围.

27rjrKTV

【详解】令4x—--=fai,^eZ,得x=2+',左eZ,

364

所以函数/⑺的零点为x=$+”水eZ,

64

可知/(%)在［0,+8)上的零点依次为x=W，||，m，手，，

「211、

若/(%)在［0,功］上有3个零点，则加e-71,-71.

LJiz/

故选：A.

31

10.已知a=ln—,Z?=—,c=e-2,则a,4c的大小关系为()

23

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】利用当x>。时，IIUWX—1判断。>人通过函数>在是减函数判断人〉c.

X

【详角军】当x>0时，设/(x)=lnx—x+1,则7•'(x)=」一l,

当0cx<1时，/^x)>0,〃龙)单调递增，当龙〉1时，r(x)<。，/(%)单调递减，

所以y(x)w/(i)=o,

也就是说当兀>0时，luxV%—1,

用L代替X,可得—1,gplnr>l-i,

XXXX

321

所以In—>1=—,即a>b.

233

11_

又知一>F=e9,所以Z?>c,所以a>Z?>c.

3e2

故选：A

11.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立

为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②

的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是()

第1行

第2行

第3行

图①图②

A.12B.13C.40D.121

【答案】C

【解析】

【分析】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图

②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球

的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.

【详解】设题图②中第九行白心圈的个数为4,黑心圈的个数为么，

依题意可得%+2=3a，且有卬=1,4=0,

所以｛%+〃｝是以％+伪=1为首项，3为公比的等比数列,

・9+2=3"

又4+1=24+bn,dr=2b„+an,

故有4+1+i=4一2，

•••｛4—〃｝为常数数列，且4一伪=1，所以｛4—d｝是以4-4=1为首项，1为公比的等比数歹!I，

a“-b”=1②;

由①②相加减得:

3"-1+1,3"T—1

••~'b"—

〃22

。40.

所以以

2

故选：C.

12.在三棱锥D—APM中，AD=2MP=4,MP1AP,MP1.DP,ZAPD=-TI,则三棱锥D—APM

6

外接球的表面积为（）

A.17KB.28KC.68兀D.72兀

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面垂直判定定理，证明线面垂直并作图，明确外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外

接圆的半径，结合图中的几何性质，求得外接球的半径，可得答案.

【详解】由题意可知，MP1PA,MP1PD.且丛小阳;己出匚平面孔!。，PDu平面上4。，所

以平面BID.

AT）4

设△4DP的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得---------=2r,即-------=2r,所以r-4.

sinZAPDsinl50°

设三棱锥D—APM的外接球的半径为R,则（2R）2=列〃+（2F）2,

即（2R）2=4+64=68,所以我=17,所以外接球的表面积为4兀a=68兀.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在区间［—3,4］上随机取一个数x,若旧归。的概率为0，则。=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据几何概型的概率公式，根据长度之比即可求解.

【详解】显然a»0.区间［—3,4］长度是7,区间［—3,4］上随机取一个数羽,归a的解集为［—。间，区间长

度为2a,

所以国Wa的概率为扫=—,所以。=2.

1177

故答案为：2

14.已知函数”力的导函数/'(%)=(%+。任+4%+力，若T不是〃尤)的极值点，则实数。=

【答案】3

【解析】

【分析】设0(》)=炉+4%+。，依题意有旗―1)=0,解出。的值并检验即可.

【详解】由/'(%)=(九+1)(尤2+4X+。)，设用(同=f+4x+a,

若T不是函数7(%)的极值点，则必有/<—1)=0,即1—4+。=0,所以。=3.

当a=3时，尸(%)=(尤+1)(尤2+4x+3)=(x+1)?(x+3),

故当x>—3时，/'(%)之0,当％<—3时，r(x)<。，

因此x=—3是/(%)的极值点，-1不是极值点，满足题意，故。=3.

故答案为：3

15.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周

22

率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.己知椭圆C:1+==1(。〉人〉0)的面积为6兀，点P在椭

a"b~

4

圆。上，且尸与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为-一.记椭圆C的左、右两个焦点分别为石，工，则

9一

△PF遥的面积可能为.(横线上写出满足条件的一个值)

【答案】2(答案不唯一，在(0,2J5)内的任何数都可以)

【解析】

【分析】根据给定条件，求出ab,结合斜率坐标公式求出。，仇c,再求出焦点三角形面积范围即得.

22

【详解】由椭圆。：・+斗•=的面积为6兀，得71ab=6兀,解得ab=6,

ab

222

设点显然％0。0,由鸟+4=1,得此一人2=匕考，

aba

椭圆C的上、下顶点坐标分别为(0,A),(0,—b),则生心•生幼=生3=-，=—即与=&,

%%0%a9a9

1l

解得a=31=2,半焦距c=月的面积Sp*2=5x2cx|%l=6l%l，

而为e(-2,2)且%R0,因此SpF、F°e(0,275),所以鸟的面积可能为2.

故答案为：2

16.如图，在，ABC中，ZDAC=-,AC=20,CD=2,。为边上的一点，且AD1A5,则

AB=_______

【答案】V6-V2

【解析】

【分析】在4ACD中由正弦定理求出NAOC，即可求出/ACD,再代入求出A5,最后由△AB。为等

腰直角三角形得解.

CDAD_AC

【详解】由题可知，在ACD中，由正弦定理得---------

sinZDACsinZACDsinZADC

2AD2屈5

即.兀sinZADC，得sinZADC=>

sin—sinZACD

6

又AC>CD,由图可得/">C为钝角，所以4LDC=——,

4

所以=则NAS=工—二=M,

44612

则AD=-------=4sin---j=4sin—cos--cos—sin—=V6-A/2,

豆心14I4646)

6

又ADLAB,所以△ABD为等腰直角三角形，则AB=AD=«-J5.

故答案为：V6-V2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：60分.

17.某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加

课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图.直方图中仇C成等差数列，时长落

在区间［80,90）内的人数为200.

（1）求出直方图中”,仇c的值;

（2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

（3）从参加课外兴趣班的时长在［60,70）和［80,90）的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷

调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的

时长在［60,70）和［80,90）恰好各一人的概率.

【答案】（1）a=0.04］=0.03,c=0.02

（2）71.7,73（3）—

15

【解析】

【分析】（1）先求出c,再利用面积和为1求出a+6=0.07,再结合等差数列求解a,b;

（2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数；

（3）由分层抽样确定［60,70）和［80,90）的人数，再利用列举法求解概率.

【小问1详解】

由已知可得c=200+1000+10=0.02,

则（0.005+tz+/?+0.02+0.005）x10=1,即a+/?=0.07,

又-成等差数列，.•.26=a+0.02,

解得a=0.041=0.03.

【小问2详解】

(0.005+0.04)xl0=0.45(0.5,(0.005+0.04+0.03)x10=0.75)0.5,

设中位数为X,且xe［70,80),

(0.005+0.04)x10+(%-70)x0.03=0.5,解得x“71.7,即中位数为71.7；

平均数为(55义0.005+65x0.04+75x0.03+85x0.02+95x0.005)x10=73；

【小问3详解】

由(1)知。：。=2:1,按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在［60,70)内的有6xg=4

人，

记为A5C,。，参加课外兴趣班的时长在［80,90)内的有6x；=2人，记为x,y.

从x,y,A,B,C,D中随机抽取2人的所有基本事件有：

(x,y),(x,A),(x,B),(x,C),(x,£>),(y,A),(y,B),

(y,C),(y,D)\A,B),(A,C)\A,D)\B,C)\B,D)\C,D),共15种，

其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在［60,70)和［80,90)的恰好各一人的事件有：

(x,A),(x,B),(x,C),(x,D),(y,A),(y,B),(y,C),(y,D),共8种.

Q

所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在［60,70)和［80,90)的恰好各一人的概率为

18.如图，在以A,&C,£>,E,尸为顶点的五面体中，四边形A3CD为正方形，四边形CD所为等腰梯

形，EFCD,且平面A5CD1平面CDERAO=2O石=2所=4.

(1)证明：AELCE-,

(2)求三棱锥£—灰)产的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵

3

【解析】

【分析】(1)由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直，利用勾股定理求出线段长度，最后利用线段长度

符合勾股定理证明线线垂直;

><

（2）转换顶点，以8为顶点，以」/为底面，从而匕力;勿=匕一/^=!5/^义3。即可得到体积.

【小问1详解】

连接AC,平面A3CD1平面COM,平面ABCDc平面CDEF=CD,AO，CD,ADu面

ABCD,

.•.4），平面。。即，又OEu平面CDEF,则ADLOE,

.•.VADE是直角三角形，即AE=，AD2+r>E2=JI6+4=2A/?.

在梯形CD所中，作EHLCD于H,

则DH=1,EH=6,则CE=VEH2+CH2=25

又AC=4后，则AC?=C£2+AE2,

:.AELCE.

【小问2详解】

BC±CD,平面ABCD7,平面CDEF,平面ABCDc平面CDEF=CD,BCu面ABCD,

平面CDEW.

由(1)知SADEF=g*EFxEH=gx2xy]3=G,

11r4百

VE-BDF=VB_DEF=才SDEFxBC=§x，3x4=-

i3

19.已知S,为正项数列｛q,｝的前〃项和，4=3且S'+S.+L]%"—].

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若4=(-1)用〃(：：]),求也｝的前10项和几.

【答案】(1)4=2〃+1

【解析】

【分析】（1）已知S”与%的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对〃时进

行检验，得到数列｛4｝是等差数列，从而写出通项公式；

（2）根据％得到印，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和I。.

【小问1详解】

由题意知：Sn+Sn+l=-a^--,即2（S“+S用）=或「3,

当心2时，2（S.T+S.）=4—3,

两式相减，可得（4+1+。"）（。”+1--2）=0,

因为。“〉0,可得%M-4=2（”22）.

又因为q=3,当”=1时，2（S]+S?）=a；—3,即a：-2a「15=0,

解得g=5或%=-3（舍去），所以。2-。1=2（符合）,

从而4+1-4=2,所以数列｛a/表示首项为3,公差为2等差数列.

所以数列｛/｝的通项公式为4=2〃+1.

【小问2详解】

由题意得2=（-1严+不=（T）"苧。=（-Dn+1f-+Li，

所以40=4+。2+4++。9+°10

所以北。=2

20.已知抛物线。：/=2勿（0<°<4）的焦点为斤.点？（4,m）在抛物线。上，且|Pq=5.

（1）求，；

3

（2）过焦点尸的直线4交抛物线C于A3两点，原点为。，若直线。4,03分别交直线4：y=-x-3

于M,N两点，求线段"N长度的最小值.

【答案】（1）p=2

力3万

（乙）--------

5

【解析】

【分析】（1）根据点尸在抛物线。上符合抛物线的方程和抛物线的定义得到两个方程，联立可解得0；

（2）联立直线方程与抛物线方程得到A,3两点坐标关系，表示出直线。4,03,分别与直线，2方程联立

得到两点横坐标，再由距离公式表示出线段长度，整理后转换成二次函数求最值问题，进而得到

线段长度的最小值.

【小问1详解】

因为点尸（4,加）在C上,所以16=2pm,

因为|尸盟=5,所以由抛物线定义得「刊=5=机+勺

解得m=4,p=2或m=1,〃=8（舍）.

所以P=2.

【小问2详解】

由⑴知,抛物线。的方程为Y=4y,F（0,l）.

若直线A5的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意，

所以直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为左，4（%,%），网和必），

则直线4的方程为丁=区+1,联立〈2“消去》得4区—4=0，

尤=4y

所以X]+%2=4左,XjX2=-4,从而有昆—xj=J（X]+々）2-4西%2=4“2+1-

L

由y=五得直线Q4的方程y=Mx=?x,联立<y=—x

4

-14玉4

3%-2y-6=0

12

解得X”=同理心=

6—9

V131212

所以|MN|==6屈

26-X26一再

^±I=3V13x^±i

=6A/13X

|32-24^|\4-3k\

令4—3左=《/wO),则左=?,所以

+1

埠-§+l=Mxj251_4_F3^/13，当且仅当

\MN\=3^/13x-----j-；-----=x

kl1~25।+2而*255

-1=4—,t=2'5即左=—3巳时等号成立,

t2544

所以线段MN长度的最小值为之叵.

5

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段(距离)类的最值(范围)问题

(1)几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；

(2)代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进

行求解.

21.已知函数/'(x)=(a+l)ev-^-x2+l(aeR).

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(O"(O))处的切线方程；

(2)设%,%2(%<%2)是函数丁=/'(尤)的两个零点，求证：占+%2>2.

【答案】(1)2x-y+3=0

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可;

(2)由导函数的两个零点得再+尤2=(a+l)(e"+e，和9—芯=(a+l)(e*2—e］,得到0+1=芝］

转化为证明(4■-石)：：+二>2,换元"4—%,证明"—2)e'+/+2>0即可.

【小问1详解】

当a=］时，f(%)=2e、"+1,/'(x)=2ex-x,

则/(O)=3,/(0)=2,则切线方程为y—3=2x,

因此曲线y=/(x)在点(0"(0))处的切线方程为2x—y+3=0.

【小问2详解】

证明：函数/'(%)=(。+1户一羽冷％2是丁=/'(%)的两个零点，

X1A|

所以丹=(a+l)e,x2=(a+l)e*,则有/+々=(«+l)(e+3)，

且9_/=(a+0(e*2—e*'),由西<%2，得a+l=《一孑.

要证西+々〉2,只要证明(a+1)(d+e*)>2,即证(々一七)号鼻〉2.

记。=%2—石，则f>0,e'〉l,

因此只要证明人看■>2,即«—2)e'+f+2>0.

记//(?)=(?-2)er+r+2(/>0),则—1)e'+1,

令夕⑺=«_l)e'+l,则。()=源,

当方>0时，0'(f)=fe，>O,

所以函数0(f)=(/-l)e'+l在(0,+8)上递增，则>0(0)=0,

即〃⑺>〃(0)=0,

则h{t}在(0,+力)上单调递增，二>以0)=0,

即(f—2)e'+f+2>0成立.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得。+1