初三数学考试数学模拟试题及答案

初三数学考试数学模拟试题精选及答案

一、压轴题

1.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,E为0C上动点（与点。不重合），作

AF_LBE,垂足为G,交B0于H.连接OG、CG.

⑴求证：AH=BE；

⑵试探究：NAGO的度数是否为定值？请说明理由；

（3）若OG_LCG,BG=3忘,求AOGC的面积.

2.已知函数％=%+2根-1,%=（2?〃+l）x+l均为一次函数，m为常数.

（1）如图1,将直线A0绕点A（—L0）逆时针旋转45。得到直线/,直线/交y轴于点

B.若直线/恰好是%=x+2根-1,%=（2根+1）1+1中某个函数的图象，请直接写出点B

坐标以及m可能的值；

（2）若存在实数b,使得|〃z|-（匕-1）J匚石=0成立，求函数

%=x+2m-1,y2=（2m+1）%+1图象间的距离；

（3）当机＞1时，函数%=%+2加-1图象分别交x轴，y轴于C,E两点，

y=（2m+1）%+1图象交x轴于D点，将函数＞=%•%的图象最低点F向上平移S6

2m+1

个单位后刚好落在一次函数%=x+2〃z-l图象上，设y=%・%的图象，线段8,线段

OE围成的图形面积为S,试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围.（要求：说出

一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范

围两端的数值差不超过0.01.）

3.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm,长足够的

矩形纸条.探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积.如图1所示，一张纸条水

平放置不动，另一张纸条与它成45。的角，将该纸条从右往左平移.

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状.

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形.

（3）设平移的距离为xcm（0<xK6+6ji）,两张纸条重叠部分的面积为sen?.求s与

x的函数关系式，并求5的最大值.

15

4.在平面直角坐标系中，。是坐标原点，抛物线4：y=—9/+"--的顶点。在第四

aa

象限，且经过A（l+m,〃），5（1—^，^（^，。，〃，（^两点直线筋与丁轴交于点。，与抛

物线的右对称轴交于点E,AC-5C=8,点E的纵坐标为L

（1）求抛物线L所对应的函数表达式；

（2）若将直线A3绕着点E旋转，直线A3与抛物线4有一个交点。在第三象限，另一

个交点记为P,抛物线4与抛物线L关于点P成中心对称，抛物线4的顶点记为。一

①若点Q的横坐标为-1,抛物线乙与抛物线4所对应的两个函数》的值都随着x的增大而

增大，求相应的x的取值范围；

②若直线PQ与抛物线4的另一个交点记为Q，连接尸〃，22,试间：在旋转的过程

中，NP。。的度数会不会发生变化？请说明理由.

5.如图，直线/：y=-3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x2+2x+b经

过点B.

（1）该抛物线的函数解析式；

（2）已知点/W是抛物线上的一个动点，并且点/W在第一象限内，连接A/W、BM,设点M

的横坐标为m,AA8M的面积为S,求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点

①写出点/W'的坐标；

②将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线「，当直线/，与直线AM重合时停止旋转，在

旋转过程中，直线/'与线段BM，交于点C,设点8,“到直线「的距离分别为di,d2,当

di+d2最大时，求直线/'旋转的角度（即的度数）.

6.在平面直角坐标系X。》中，函数耳和工的图象关于y轴对称，它们与直线

x=t(t>0)分别相交于点P,Q.

(1)如图，函数月为y=x+l,当/=2时，PQ的长为；

(2)函数6为〉=三，当PQ=6时，t的值为；

x

(3)函数耳为y=奴?+"+(?("w0),

①当/="时，求△。尸Q的面积；

b

②若c>0,函数4和工的图象与x轴正半轴分别交于点45,0),8(1,0),当

c<x<c+l时，设函数4的最大值和函数工的最小值的差为力，求h关于c的函数解析

式，并直接写出自变量c的取值范围.

7.在锐角△/回中，AB=AC,为6c边上的高，£为47中点.

(1)如图1,过点C作行工26于尸点，连接班若/应氏20°,求/加方的度数；

(2)若〃为线段劭上的动点(点〃与点。不重合)，过点。作加于"点，射线

EN,48交于P点.

①依题意将图2补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点〃运动的过程中，始终有/加比2/例〃

小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接施，要证//吠2/例〃只需诬NPED=2NMAD.

想法2：设N物氏。，/DAOB,只需用a,£表示出/切C,通过角度计算得

/APE=2a.

想法3：在松上取点0,使/胡缶2/例〃，要证/例〃只需证

4NAg丛APQ.

请你参考上面的想法，帮助小宇证明/加个=2/也〃(一种方法即可)

图1图2

8.对于。C与。C上的一点A,若平面内的点P满足：射缱AP与。C交于点Q(点Q可以

PA

与点P重合)，且,则点P称为点A关于。C的“生长点”.

QA

已知点。为坐标原点，。0的半径为1,点A(-1,0).

(1)若点P是点A关于。。的“生长点”，且点P在X轴上，请写出一个符合条件的点P

的坐标；

(2)若点B是点A关于00的“生长点”，且满足S"/BAO==,求点B的纵坐标t的

取值范围；

(3)直线y=-fix+b与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于

©0的“生长点”，直接写出b的取值范围是.

9.如图，抛物线y=办2—6x+c交x轴于A5两点，交y轴于点c.直线y=-x+5经

过点民C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴/与直线3c相交于点P,连接判定△APC的形状，并

说明理由；

(3)在直线上是否存在点M,使AM与直线的夹角等于NACB的2倍？若存

在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

m

10.如图1,一次函数为=履+6(k,b为常数，kWO)的图象与反比例函数%=一(m为

x

常数，mWO)的图象相交于点M(l,4)和点N(4,n).

(1)填空：①反比例函数的解析式是;②根据图象写出%<为时自变量x的取

值范围是;

(2)若将直线MN向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共

点，求a的值；

m

(3)如图2,函数%=一的图象(x>0)上有一个动点C,若先将直线MN平移使它过点

x

C,再绕点C旋转得到直线PQ,PQ交X轴于点A,交F轴点B,若除2。，求OA・OB

的值.

11.在平面直角坐标系中，经过点4(0,2)且与〉=—?》平行的直线，交x轴于点3,

如图1所示.

（2）过M（1,0）的直线与A3成45°夹角，试求该直线与A3交点的横坐标；

（3）如图2,现有点在线段A3上运动，点。（一3加+2,0）在x轴上，N为线段

CD的中点.

①试求点N的纵坐标》关于横坐标x的函数关系式；

②直接写出N点的运动轨迹长度为

12.小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD边打台球，该球桌长AB=4m,宽AD=2m,点0、

E分别为AB、CD的中点，以AB、OE所在的直线建立平面直角坐标系。

（1）如图1,M为BC上一点；

①小明要将一球从点M击出射向边AB,经反弹落入D袋，请你画出AB上的反弹点F的位

置；

②若将一球从点M（2,12）击出射向边AB上点F（0.5,0）,问该球反弹后能否撞到位于（-

0.5,0.8）位置的另一球?请说明理由

（2）如图2,在球桌上放置两个挡板（厚度不计）挡板MQ的端点M在AD中点上且

MQ_LAD,MQ=2m,挡板EH的端点H在边BC上滑动，且挡板EH经过DC的中点E；

①小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，当H是BC中点时，试证明：

DN=BN；

②如图3,小明把球从B点击出，依次经挡板EH和挡板MQ反弹一次后落入D袋，已知

NEHC=75°,请你直接写出球的运动路径BN+NP+PD的长。

13.如图所示，在RtAABC中，ZB=90°,8c=46，NC=30。，点。从点C出发

沿C4方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向

以每秒1个单位长度的速度向点3匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停

止运动.设点。、E运动的时间是f秒。＞。），过点。作DEL于点尸，连接DE、

EF.

（2）四边形AEED能够成为菱形吗？若能，求出f的值；若不能，请说明理由；

（3）当/=时，ADEF为直角三角形.

14.如图，抛物线y=mx2-4mx+2m+1与x轴交于A（xi,0）,B（X2,0）两点，与y轴

交于点C,且X2-XI=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）E是抛物线上一点，ZEAB=2ZOCA,求点E的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D,动点P从点B出发，沿抛物线向上运动，连接PD,过点P做

PQXPD,交抛物线的对称轴于点Q,以QD为对角线作矩形PQMD,当点P运动至点（5,

t）时，求线段DM扫过的图形面积.

15.如图，已知矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E是边CD上一个动点，连接AE,将

AAED沿直线AE翻折得AAEF.

⑴当点C落在射线AF上时，求DE的长；

（2）以F为圆心，FB长为半径作圆F,当AD与圆F相切时，求cos/FAB的值;

⑶若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满/BQP=45。，直接写出线段BP长的

取值范围.

16.在平面直角坐标系中，抛物线_y=ax2+6x+c经过点A、B、C,已知A(-1,0),B

(3,0),C(0,-3).

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)若P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D,当4BCD面积最

大时，求点P的坐标；

(3)若M(m,0)是X轴上一个动点，请求出CM+—MB的最小值以及此时点M的坐标.

2

与y轴交于点C,点A的坐标为(—3,0),点3的坐标为(1,0).

(2)如图2,点。为第一象限的抛物线上一点，连接。O并延长交抛物线于点E,

OD=3OE,求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，点P为第一象限的抛物线上一点，过点P作PHLx轴于点

连接即、点。为第二象限的抛物线上一点，且点。与点尸关于抛物线的对称轴对

称，连接PQ，设ZAHE+NEPH=2a,PH^PQ-tana,点M为线段PQ上一点，

点N为第三象限的抛物线上一点，分别连接上以、NH,满足NMHN=60°,

MH=NH,过点"作PE的平行线，交》轴于点P，求直线FN的解析式.

18.如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=2,E为AB的中点，设点P是/DAB平分线

上的一个动点(不与点A重合).

(1)证明：PD=PE.

(2)连接PC,求PC的最小值.

(3)设点。是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P,使NDPO=90。？若存在，请直接写

出AP的长.

19.如图①，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD>AB，点E从点A出发，沿射线AC

以a(cm/s)的速度匀速移动.连接OE,过点E作灰，。石，所与射线相交于点

F,作矩形。瓦G,连接CG.设点E移动的时间为/(s),ACDE的面积为S(cm?),S与

/的函数关系如图②所示.

(2)求矩形DEFG面积的最小值；

⑶当ACDG为等腰三角形时，求/的值.

20.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动,点(点P不与点B、D

重合)，过点P作PFLBD,交射线BC于点F.联结AP,画NFPE=/BAP,PE交BF于点

E.设PD=x,EF=y.

(1)当点A、P、F在一条直线上时，求4ABF的面积；

(2)如图1,当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

(3)联结PC,若/FPC=NBPE,请直接写出PD的长.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

L（1）见解析；（2）45。；（3）9.

【解析】

【分析】（1）利用正方形性质，证AABH些ABCE.可得AH=BE.

(2)证“。小ABGH,—=—,—,再证

GHBHAHBH

^ZAGO=ZABO=45°；

RC1

(3)先证"BGSABFG.得——=——，所以，AG-GF=BG2

BGGF

=(3&)2=18.再证"GOSACGF.得空=旭，所以，GO,CG=4GGF=18.所以,

GFCG

S/\OGC=—CG'GO.

2

【详解】解：⑴・・•四边形4BC。是正方形,

:.AABC=90°,AB=CB,^ABO=^ECB=45°

\AF_LBE,

"BAG+NABG=NCBE+NABG=90。.

.•zBAH=4CBE.

・•・△ABH2BCE.

：.AH=BE.

(2)•；/AOH=/BGH=90。，/AHO=/BHG,

nAOH“BGH

OHAH

GH-BH

OH_GH

AH-BH

3OHG=/AHB.

:.△OHGiAHB.

・・・N/4GO=N/18O=45。,即NAG。的度数为定值

(3)-：ZABC=90°,AF.LBE,

•・ZBAG=/FBG/AGB=NBGF=90。,

AABGS^BFG.

,AGBG

9BG~GF

：.AG-GF=BG2=（3&）2=18.

:△AHBSLOHG,

：.NBAH=/GOH=ZGBF.

9：ZAOB=ZBGF=90°,

NAOG=/GFC.

■：AAGO=45°,CG±GO,

:.AAGO=^FGC=45°.

.'.^AGOSACGF.

,GOAG

"GF-CG'

GO'CG=AG,GF='\8.

SAOGC=—CG-GO=9.

2

【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的

性质.

34813

2.（1）（0,1）；1或0⑵J2（3）------<S<一

71200010

【解析】

【分析】

（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线/的解析式，再分情况讨论即可解的m值；

（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设％与x轴、y轴交于T,

P,力分别与x轴、y轴交于G,H,连接GP,TH,证得四边形GPTH是正方形，求出GP

即为距离；

（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为

22

y=yi-y2=（2m+l）x+4mx+2m-l,得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低

2m2（2疗-I）”

点为其顶点E--_J—，根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m

2m+12m+1

I7

值，即可得知点D、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，

如：S<SODE,较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积.

【详解】

解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1）,

设直线/的表达式为y=kx+l,将点A（-1,0）代入得：k=l,

所以直线/的表达式为：y=x+l,

若直线/恰好是%=x+2m-l的图象，则2mT=l,解得：m=l,

若直线/恰好是%=（2"7+DX+1的图象，贝!|2m+l=l,解得：m=0,

综上，8（0,1）,加=1或者m=0

（2）如图，pn|-（Z?-l）Vl-Z?=0

二.帆+（1-1）J1-1=0

\m\>0,l-Z?>0

.,.帆=0,l-b=0

:.m=0

；.%=x—l,y2-x+1

设%与x轴、y轴交于T,P,%分别与x轴、y轴交于G,H,连接GP,TH

OG=OH=OP=OT=1,PH±GT

•••四边形GPTH是正方形

:.GH//PT,ZHGP=90°,即〃GLGP

HP=2

GP=V2；

（3）%=x+2"z-l,y2=（2m+l）x+l

%=x+2"7-l分别交x轴，y轴于C,E两点

.-.C（l-2/n,0）,£（0,2/77-1）

一为=（2m+1）x+l图象交x轴于D点

22

y=yx-y2=（x+2〃z—l）[（2〃z+l）x+l]=（2m+l）x+4m%+2m—1

m>l

2m+l>0

二次函数y=（2机+l）f+4机2彳+2帆_1开口向上，它的图象最低点在顶点

顶点占

2m+12m+1

抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数为=x+2m-1图象上

2m+1

2

562m2

~\--------------------------------+(2m—1)且机＞1

2m+12m+12m+1

/.m=2

2

y=y2=5x+16%+3=(x+3)(5x+l)，

%%+3,y2=5x+1

[q,o],£(0,3),

二由%=x+3,%=5x+l得到。

由丁=5f+16%+3得到与x轴，y轴交点是（―3,0）,g,oj,（0,3）,

：,o],E（0,3）两点

抛物线经过。

••・'=%•%的图象，线段OD,线段。E围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的

面积

探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积.

探究过程：

①观察大于S的情况.

很容易发现S<S“E

[I，。]，£（。，3）

D

1133

尸二—x3x—=—,;.S<—

■ODE251010

（若有s小于其他值情况，只要合理，参照赋分.）

②观察小于S的情况.

选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种

方法，选取以下三种特殊位置：

位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x,y轴分别交于M,N

D

直线DE:y=15x+3

设直线MN:y=15x+4

y=5x2+16%+3

5%2+%+3—4—0

二.A=l—4x（3—Z?）=0,bx—

59

二.直线MN:y=15%+二

20

二点M

,•OOMN，空乂色=网L,c〉邺1

2203001200012000

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R

设直线DR：y=Ax+4,

直线DR:y=kx+^k

•：y=5x2+16x+3

5x2+（16—左）九+3—二女=0

，A=（16—左）2—4x5x13—g左）=0,左=14

14

...直线DR:y=14x+—

5

二点

...s3

0DR25525…4

x

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q

设直线上Q：y=比+3

y=5x2+16%+3

/.5x2+(16-^)x=0

「.△=(16—，)=0,t=16

直线£Q:y=16x+3

二点Q.,0

348197

------>--->---

120003225

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中

间部分时取值越接近S的值

34813

探究的结论：按上述方法可得一个取值范围------<s<一

1200010

（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案.只要来龙去脉清晰、合

理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得

分.）

【点睛】

本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐

标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次

方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定

系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计

算.

3.（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3）

[12

5好（0<%,6）

6x-18（6<苍，60）「

s=J，s的最大值为36缶1112.

-1[x-（6+6A/2）]2+36A/2（6A/2<X<6+6行）

3672（%=6-672）

【解析】

【分析】

（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；

（2）分别过点8、D作BELCD于点E、DFLCB于点F,再根据纸条的特点证明四边

形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；

（3）分0<xW6、6<x„6A/2>6、历<%<6+6及和*=6+6近四种情况分别求出$与

x的函数关系式，然后再求最大值即可.

【详解】

解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边

形；

（2）证明：分别过点8、。作BELCD于点E、DFLCB于点、F,

：.ZBEC=NDFC=90°

:两张纸条等宽，

BE=DF=6.

在《BCE和二DCF中NBCE=NDC尸=45。，

BC=DC=V62+62=6A/2，

:两张纸条都是矩形，，

AB//CBBC//AD.

...四边形A8CD是平行四边形，

又：BC=DC,

四边形A8CD是菱形；

（3）工、如图：当0<xW6时，重叠部分为三角形，如图所示,

0<5„18.最大值为18cm2.

n、如图：当6<x,60时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为xcm,上底为

(x-6)cm,

田、当6忘<x<6+6行时，重叠部分为五边形，

S五边形=S菱形—S三角形=6拒x6—g(6+6&—x)2=一一(6+6^)]2+3672.

此时36A/2-18<S五边形<36夜.

IV、当x=6+6立时，重叠部分为菱形,

/.S菱形=360cmZ.

b2(0<%,6)

卜18(6〈苍,6回

•9S—W

-1[X-(6+6A/2)]2+360(6拒<x<6+672)

3672(%=6-672)

，s的最大值为36j5cm2.

【点睛】

本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考

查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键.

125

4.（1）y=一§》一§；（2）@1<%<10；②不会发生变化，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据点A,B坐标求出对称轴为X=l,得到b=--,代入抛物线解析式得到

a

-j6

y=-（x-l）2——,写出顶点。1,—一，根据其位置，得出。〉0,根据A,B坐标表示

出AC,BC长度，结合AC・BC=8,求得加的值，代入点A,B得其坐标，将A坐标代入抛

物线解析式得•的值，即可得到抛物线的解析式；

125,2、

（2）①将x=—1代入y=-f——x——,求得Q—1,一彳，结合点E求得PQ解析式，

333I3J

125

联立y=—犬-一,解得点P的坐标，根据中心对称的性质，得到点2的横坐标为

333

10,可得x的取值范围；

②过RQ分别作直线％=1的垂线，垂足分别为£G,设出点P,Q坐标，求出PQ的解析

式，联立y=1x2_2x_9tanNDPF.

得到%+M,,由；---=1，得到

333tanZQDG

ZDPF=ZQDG,结合NDPb+NPL0=90°，得到NPDQ=90°,可证得结果.

【详解】

12

解：（1）:抛物线y=—必+bx-一过4（1+%〃），6（1-狐〃）（">0）两点，

aa

由抛物线对称性知：抛物线对称轴为直线x=l,

\a

又•..顶点。在第四象限,

A1

—<0,解得：一〉。，4〉0

aa

m>0,n>0,

・・・抛物线的开口向上，其图象如图所示,

AC=l+m,BC=|l-m|,AC-BC-8,

(1+加)(加—1)=±8,解得：m=±3

m>0,

:.m=3,

由题意可知，点E在线段AB上，而点£的纵坐标为L

.•.A(4,l),5(—2,1),

把A(4,l)代入y=L(x—l)2_g得，1=工(4-1)2_自解得：1=1

aaaaa3

i25

抛物线L1所对应的函数表达式为y=-x2-jx--

⑵①把％=-1代入y=!炉得，y=--：

3333

£(1,1),

直线PQ的解析式为y=-x+-

66

’51

y——xH—

小.66一,曰122551

由，，cu可得，_X__X=-%+-,

122533366

「333

解得：Xj=-1,%2=]~

...点P的横坐标为口

2

由中心对称的性质可得，点的横坐标为10,即抛物线4的对称轴为直线X=10,

结合图象：

可得，X的范围为IWXWIO；

②在旋转的过程中，/尸2。的度数不会发生变化，理由如下:

连接由中心对称的性质可得，NPDiQi=NPDQ.

过RQ分别作直线x=l的垂线，垂足分别为£G,如图所示,

设P(玉,%),。(％，%)，直线尸。的解析式为丁=履+〃，则

•.•直线PQ过后(1,1),

:.l=k+b>>可得,b=l-k>

•••直线尸。的解析式为y=履+(1—k)

'y=kx+(l-k)

由，1225得，一x?—x—=kx+(l—k)

y=-x2——x——333

I333

整理得，/_(3左+2中+(3左一8)=0

玉+/=3k+2,演•尤2=3左一8

l2

tdnZDPF=—=^~x

PFXy—13

1—%23

tan/QDG=

，

-4--^2---（-2）1—X2

333

tanXDPF（芯-1）（1一-xx-x2++x2）—1—（3左一8）+（3左+2）—1

tanZQDG~9.99

tanZDPF=tanZQDG

ZDPF=ZQDG

又•.NDPF+/PDF=90°

:.ZQDG+ZPDF^90°

ZPDQ=90°

ZPD^=90°,即在旋转的过程中，NPDQ的度数不会发生变化.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何图形的综合应用，熟知其设计的知识点及相关关系，是解题的

关键.

5.(1)y=-x2+2x+3；(2)S=f/n-—+—，—；(3)①“'(不：］；

2(2188124；

②45。

【解析】

【分析】

(1)利用直线/的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的

值.

(2)设M的坐标为(m,-m2+2m+3),然后根据面积关系将△A8M的面积进行转化.

(3)①由(2)可知m=3,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值.

2

②可将求di+d2最大值转化为求AC的最小值.

【详解】

(1)令x=0代入y=-3x+3,

；.y=3,

AB(0,3),

把B(0,3)代入y=-x2+2x+b并解得：b=3,

二次函数解析式为：y=-x2+2x+3.

(2)令y=0代入y=-X2+2X+3,

.,.x=-1或3,

・••抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3,

・・・M在抛物线上，且在第一象限内，

.\0<m<3,

令y=o代入y=-3x+3,

AA的坐标为(1,0),

由题意知：M的坐标为(m,-m2+2m+3),

.*.S=S四边形OAMB-SAAOB=SAOBM+SAOAM-SAAOB

11/1、1

=——xmx3+——xlx(-m2+2m+3)-——xlx3

222

525

.•.当m=一时，S取得最大值一.

28

一57

(3)①由(2)可知：M，的坐标为(一,-).

24

②设直线I'为直线I旋转任意角度的一条线段，过点M作直线li〃l一过点B作BFLIi于点

图2

根据题意知：di+d2=BF,

此时只要求出BF的最大值即可,

:/BFM，=90°,

...点F在以BM，为直径的圆上，

设直线AM，与该圆相交于点H,

:点C在线段BM，上，

.1.F在优弧BM'H

.•.当F与M，重合时，

BF可取得最大值，

此时BM」k,

57

VA(1,0),B(0,3),M'(一，-),

24

，由勾股定理可求得：AB=JIU，M，B=m，M，A=H,

44

过点M作M-GIAB于点G,

设BG=x,

由勾股定理可得：M'B2-BG2=MZA2-AG2,

85「,125,

--(A/10-x)2=——-x2,

1616

.5M

一x=---------，

8

BGd2

cosZMzBG=--------=—,NM'BG=45°

BM'2

又：/M'BG=/CBA=45°

；./BAC=45°.

【点睛】

本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次

函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键.

f1.69

0,,-c3+-c29+-c(0<c<2)

6.(1)4；(2)1；(3)①SAOP。=1；②”=《555

2c2+c(c>2)

【解析】

【分析】

(1)由题意，先求出生的解析式，再求出P、Q两点的坐标，即可求出PQ的长度；

(2)由题意，先求出B的解析式，结合PQ的长度，即可求出t的值；

(3)①根据题意，先求出工的解析式，然后求出点P和点Q的纵坐标，得到PQ的长

度，利用三角形的面积公式即可求出面积；

②根据题意，先求出函数月和工的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数

的对称性和增减性进行分类讨论：当0<cW2时，以及当c>2时，分别求出h与c的关

系式即可.

【详解】

解：(1)•••函数6为y=x+i,函数1和心的图象关于y轴对称，

...函数工为y=-x+l,

当x=/=2时，有

X=2+1=3；

%=-2+1=-1；

...点P为(2,3),点Q为(2,-1),

/.PQ的长为尸。=3—(-1)=4；

故答案为：4；

3

(2)・.•函数月为y=—,函数片和B的图象关于丫轴对称，

x

3

・•・函数尸2为丁二一一；

X

x=t(t>0),

・••点P在第一象限，点Q在第四象限，

33

设点P为(3—),点Q为(t,—),

tt

・・・PQ=6,

解得：，=1；

故答案为：1；

(3)①,函数月为y二办之+6^+c(awO),函数4和心的图象关于V轴对称，

，函数B为：V=〃•(一%)2+/7•(-%)+(7,即y=ax2-bx+c；

b

.•.把/=也代入函数耳，则y=a・(@)2+6."+c=@+法+C；

bbbb

把/=当代入函数工，则y=q・(半)2一6.半+c=£—E+c；

PQ=—+y[b+c-(―-4b+c)=2y[b,

bb

,,SAOPQ=­Xx2y[b=1;

2b

②由①可知，函数片为y=a%2+b%+。，函数B为7=4,一加;+c,

・・・函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A(5,0),B(l,0),

.125〃+5b+c=0

a-b+c=Q

1

ci——c

解得：\,

4

b7--c

I5

・••函数耳可化为：y=-'|%2+.%+。，函数B可化为：丁=~|%2-；

4c

，函数片的对称轴为：尤=------——=2,

2x(-,

4c

函数工的对称轴为：%=------—=一2,

2x(一全

・；c>0,则a=—~<0,

则函数可，函数工均是开口向下；

.,.函数及在0<%<2上，y随x增大而增大，在x>2上是y随x增大而减小;

函数B在兀>一2上，y随x增大而减小；

c<x<c+l,c>0,

当0<cW2时，则

函数及在x=2时取到最大值；函数工在x=c+l时取到最小值，则

/.7z=(-^x4+^x2+c)-[-^*(c+l)2-^*(c+l)+c],

1,6,9

即立=,，+,(7~+,0(0<c<2)；

当c>2时，则

函数及在x=c时取到最大值；函数K在1=0+1时取到最小值，则

/z=(--1*c2+^-*c+c)-[--1*(c+l)2-^-*(c+l)+c],

即丸=Ze?+c(c>2)；

「1a6,9

,-c3+-c2+-c(0<c<2)

综合上述，h关于c的函数解析式为：//=555.

2c2+c(c>2)

【点睛】

本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数

的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知

识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分

类讨论的思想进行分析，从而进行解题.

7.(1)证明见解析；(2)①补图见解析;②证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

(1)证明：'：AB=AC,4。为6c边上的高，ZBAD=20°,

：.ZBAC=2ZBAD=40°.

'JCFLAB,

：.AAFC=^°.

为然中点，

：.E1^EA=-AC.

2

：.ZAFE=ZBAC=AO°.

(2)①当点P在边AB上是，补全图形如图

当点P在AB的延长线上是，补全图形如图

②I、当点?在边上时,

证明：想法1：如图3,

图3

连接如

'：AB=AC,47为况1边上的高，

.,"为6c中点.

为江中点，

：.ED//AB,

：.ZPED=ZAPE.

'：ZADC=^O°,£为47中点，

/.AE=DE=CE