2023-2024学年高二数学单元速记-直线与圆的方程（知识归纳+题型突破）（解析版）

第二章直线与圆的方程（知识归纳+题型突破）

课标要求

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

2.理解直线倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式;

3.能根据斜率判定两条直线平行和垂直；

4.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；

5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；

6.探索并掌握平面上两点间的距离公式,点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；

7.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；

8.判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

9.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.

基础知识归纳

一、直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

（1）倾斜角的定义

①当直线/与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/

的倾斜角.

②当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.

（2）直线的倾斜角a的取值范围为0。a<180。.

2.直线的斜率

⑴直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母人表示，即笈=tana.

⑵斜率与倾斜角的对应关系

1

图示01-

O\X1

°

倾斜角（范围）«=0°0°<a<90°a=9()090°<cc<180°

斜率（范围）左=0左>0不存在k<0

（3）过两点的直线的斜率公式

过两点尸i（xi，勿），尸2（x2,/）（x内2）的直线的斜率公式为人=上二竺

X2~X\

【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.

(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解.

二、两条直线平行和垂直的判定

1.两条直线(不重合)平行的判定

2.两条直线垂直的判定

【注】判断两条直线是否垂直时：

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于一1即可，但应注意有一条直线与

x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.

三、直线的方程

1.直线的点斜式方程

(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线/经过一点P(x。,％),斜率为匕则方程＞—为=Mx—X。)叫作直线/的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示,

但因为/上每一个点的横坐标都等于xi,所以直线方程为x=xi；若直线的倾斜角分90。，则直线的斜率

k=tana,直线的方程为y—为=(tana)•(x—x。).

2.直线的斜截式方程

(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线/的斜率为匕在夕轴上的截距为6,则直线方程为夕=日+6,这个方程叫作直线/的斜截式方程.

/几(0.h)

0*

(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.

3.直线的两点式方程

(1)直线的两点式方程的定义：

设直线I经过两点E(%,乂)，P2(曲,为),乂处2)，则方程之二江二王二丛叫作直线I的两点式

乃一y\x2—Xi

方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点8(%,%，2(4,经)，且加力2,%分2时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当X1=X2,乂分2时，直线方程为X=X1(或X=%2).

③当乂=了2时，直线方程为了=%(或＞=竺).

4.直线的截距式方程

(1)直线的截距式方程的定义：

设直线/在x轴上的截距为°,在7轴上的截距为6,且存0,厚0,则方程:+菅=1叫作直线/的截

距式方程.

B(0,b)[

A(a,0)

~O*

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是存0,厚0,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示

过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为了=质，利用直线经过的点的

坐标求解鼠得到直线方程.

5.直线的一般式方程

(1)直线的一般式方程的定义：

在平面直角坐标系中，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一

次方程/x+2y+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程4v+2y+C=0(aB不全为0)：

ArAC

当身：0时，方程4r+5y+C=0可以写成产-万x-石，它表示斜率为-石，在y轴上的截距为一方的直

DDDD

线.特别地，当4=0时，它表示垂直于〉轴的直线.

C

当5=0时，4川，方程4x+5y+C=0可以写成％=--,它表示垂直于％轴的直线.

A

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.

6.辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与X轴垂①已知斜率；②己知

点斜式y—y=k（x—x）

0＜0直的直线

不能表示与X轴垂①已知在了轴上的截

斜截式y=kx+b

直的直线距；②已知斜率

不能表示与X轴、①已知两个定点；②已

两点式y—yi-一）

=V轴垂直的直线知两个截距

lb—yi72一7i

不能表示与X轴垂①已知两个截距；②已

-+^=1

截距式ab直、与y轴垂直、知直线与两条坐标轴

过原点的直线围成的三角形的面积

求直线方程的最后结

Ax+By+C=Q

一般式表示所有的直线果均可以化为一般式

（A,B不全为0）

方程

7.方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧

密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图1,设直线/经过点P(x(),yo),v=(〃?,〃)是它的一个方向向量，尸(x,y)是直线/上的任意一点，则向

量尸o尸与v共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数3使尸0尸=/丫，即(x-x(),y—%)=/(私〃)，所以

{X=X。+机，①

y=尢+〃/'

在①中，实数f是对应点尸的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线/上的任意一点尸（x,y）,存在唯一实数;使①成立；反之，对于参数/的每一个确

定的值，由①可以确定直线/上的一个点尸（x,y）.我们把①称为直线的参数方程.

四、求直线方程的方法

1.求直线方程的一般方法

（1）直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

（2）待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点/（X。/。），则可以利用直线的点斜式y—为=4•（x—x。）求方程，也可以利用斜截式、

截距式等求解（利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况）.

2.两条直线的位置关系

斜截式一般式

/i：4i+3v+a=o(/+awo)

h\y=k\x+b\

方程

h:y=k2x+b2

l2'A2x+B2y+C2=0(^2+8会W0)

A^-AoB^O（当儿瓦力。时，记为出Bi）

相交k#kz不大瓦

44+582=0（当吕瓦/0时，记为AA2_）

垂直左1•左2=-1瓦,瓦=―

]4昆―45=0或[4昆―4反=0

1-与2。1W01-丰0

平行左1=左2且b俳bz

（当4232c2W0时，记为劣_且兔）

瓦―瓦中瓦

A\=kA^B\=KB2,C\=kCi(X^O)

重合ki=k2且b\=b2(当小3。2Ho时，记为4_且_6)

44。2

五、直线的交点与距离

1.两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

二"若方程组有唯一解’则两条直线相

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系

2

设两直线A：4x+Bxy+G=0(A+比用)，直线以//+B2y+C2=0(^+B挣0).

方程组r”,„仆的解

4%+8y+G=0

一组无数组无解

[A2x+B2y+C2=0

直线/1和/2的公共点个数一个无数个零个

直线乙和/2的位置关系相交重合平行

1.两点间的距离公式

22

平面内两点尸i(用,弘)，P2(x2,y2)间的距离公式为出尸21=(x2—Xj)+(y2—Ji).

特别地，原点。到任意一点尸(x,y)的距离为QP|=Vx2+y2.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点尸到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段尸。的长度，其中。是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

Mx。+By。+C|

已知一个定点尸(xo,y°),一条直线为/:/x+3y+C=0,则定点尸到直线/的距离为介

y/A2+B2

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

⑵公式

设有两条平行直线A-Ax+By+C^Q,l2-.Ax+By+C2=Q,则它们之间的距离为d=?•

4.中点坐标公式

公式：

X1+x2

Xo=F-

设平面上两点尸2（通,乃），线段RB的中点为M（xo,y。），则＜~

_J1+J2

yo-r

六、圆的方程

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程：方程（X—a）2+（y—6）2=1&＞0）叫作以点（氏6）为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

（3）圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母（待定），因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

⑴方程/+必+m+4+尸=0（。2+£2—4尸＞0）叫做圆的一般方程.

（2）圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母（待定），因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F-,

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心（-9,-亨）代入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

（1）二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,对比圆的一般方程x?+y1+DxEy+F=0

22

（Z）+JE-4F＞0）,我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

（2）二元二次方程表示圆的条件：

'A=C^O

二元二次方程Ax?+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是＜

5.点与圆的位置关系

（1）如图所示，点M与圆/有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

⑵圆/的标准方程为（x—。尸+3—b）2=",圆心为4Q,b）,半径为一（尸＞0）；圆4的一般方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+E2—4F>0).平面内一点M(x(),%).

判断方法

位置关系

几何法代数法（标准方程）代数法（一般方程）

点在圆上\MA\=r(xo-a)2+(yo-b)2="

器+诚+DXQ+Ey0+F=0

2

点在圆内\MA\<r(xo-tz)+(yo・b)2<户^0+2/0+Dx0+Ey0+F<0

2

点在圆外\MA\>r(xo-tz)+(yo・b)2>产就+湍+Dx0+Ey0+F>0

七、直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系及判定方法

（1）直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:

位置相交相切相离

交点个数两个一个零个

图形(

〃与『的关系d<rd=rd>r

方程组有两组不

仅有一组解无解

解的情况同的解

（2）直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的

实数解，即、＞0,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即\=0,则直线与圆相切；若无实数解，即

△＜0,则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当时，直线与圆相交；当d十时，直线

与圆相切；当上r时，直线与圆相离.

2.圆的切线及切线方程

（1）自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点(x。,%)的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率4厚0),则由垂直关系可知切线斜率为-4，由点斜式方程可求

得切线方程.如果40或后不存在，则由图形可直接得切线方程.

②重要结论：

222

a.经过圆x?+y=r上一点P(xo,yo)的切线方程为无+yoy=r.

2

b.经过圆(x—a)2+(y—6)=产上一点P(x0,j0)的切线方程为Go—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r~.

2

c.经过圆/+y+Dx+Ey+F=Q上一点P(XoJo)的切线方程为x()x+yoy+D-\芯0+E,+p

=0.

3.圆的弦长问题

设直线/的方程为尸6+6,圆C的方程为(X—X°)2+(y—%)2=一，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离小弦长/三者具有关系式：/=十+((丫.

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(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为/(而,乂),夙冷,打).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组2消元后得一元二次方程，由一元

I(x—%o)+(y—Vo)=/

二次方程中根与系数的关系可得%+如西•X2或乃十%,M♦乃的关系式，通常把|/屈=yi+P氏一x2|或

\AB\=<^1+p-|j,-y2|叫作弦长公式.

九、圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系及判断方法

(1)圆与圆的位置关系

圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切

统称为相切.

外离外切相交

⑥@

内切内含

（2）圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）：

222

设两圆（X—«1）+—瓦）2=疗与（X—«2）+（J—62）—以的圆心距为d,则

d=，（。2—。1）2+（仇一力）2，两圆的位置关系表不如下:

位置关系关系式图示公切线条数

外离d>r\+n四条

外切d=r\+ri三条

\r\-r2\<d<n+r

相交两条

2

内切d=\n-K2\一条

Q

内含0<d<\n-r2\无

②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当A>0时，两圆有两个公共点，相交；当△=（）时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当△<（）时,

两圆无公共点，包括内含与外离.

2.两圆的公切线

（1）两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

（2）两圆的公切线位置的5种情况

①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法,

设公切线的方程为y=fcv+6,最后根据相切的条件，得到关于人力的方程组，求出人力的值即可.要注意公切线

的斜率可能不存在.

3.两圆的公共弦问题

(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法

两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.

设圆G:一+必+Ax++Fi=0,①

圆：/+必+Ax+B=0，②

①-②，得(A—2)X+(EL瓦方十月一户2=0，③

若圆Ci与圆C?相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若尸(沏,为)为圆G与圆Cz的交点，则点

产(xo,%)满足京+yo+D}XO+£■,Jo+^1=o且尤<?+Jo+D2XO+E2y0+F2=0,所以

(A-r>2)x0+(ELE^y0+F1-F2=。.即点尸(x。,/。)适合直线方程，故P(x°,%)在③所对应的直线上，③

表示过两圆G与G交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.

(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股

定理求出公共弦长.

重要题型

题型一直线的倾斜角与斜率

【例1】若直线=与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是

)

兀717171

A.5B.

6?652

71兀兀71

C.D.

652

【答案】D

【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率左范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线

2x+3y-6=0位于第一象限部分的端点，结合直线/与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.

373+6

X=-------------

y=kx-,2+3左

【详解】法一：联立两直线方程，得，解得

2x+3y-6=06"2百'

y-

2+3左

所以两直线的交点坐标为（需F，U）.

2+3左

因为两直线的交点在第一象限，所以解得

6k-2j

----------->0A

I2+3左

设直线/的倾斜角为仇则tane>",又。仪。，兀），所以公邑乎

362

法二：由题意，直线/过定点尸（0,-百"

设直线2x+3y—6=0与x轴、了轴的交点分另I」为8（3,0）,2（0,2）.

如图，当直线/在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知岛B=g，

直线i的倾斜角的取值范围是GA).

o2

故选：D

反思总结

(1)对于一条与a轴相交的直线，以a轴为基准，x轴正向与直线I向上的方向之间所成的角a,即为直线I的倾斜

角，也就是说把a轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为a，那么a就称为直线的

倾斜角.

(2)规定:当直线1与a轴平行或重合时,它的倾斜角为0.

⑶范围:直线的倾斜角a的取值范围是［0,初

(4)斜率公式:经过P(xi,yi),P(X2,y2)(足力2)＞两点的直线的斜率为k=^——.

X2—Xl

(5)任何一条直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率，倾斜角为;的直线斜率不存在.

巩固训练：

2

1.已知直线4：y-2x+3a,/2：y-(a+l)x+3,若〃/4，贝(Ia=()

A.0B.-1

C.1D.±1

【答案】B

【分析】由斜率相等、截距不相等得出。的值.

【详解】因为〃4,所以/+1=2,a2=l,所以a=±l,

又〃/4，两直线h与h不能重合，

贝(13aw3,即aw1,故a=—1.

故选：B

2.已知直线4"+到_2=0,/2:(a+l)x-ay+l=0,若q:a=-2,贝！是乌的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据两直线平行可构造方程求得。的值，由推出关系可得结论.

【详解】若贝l|lx(_a)-4a+l)=O,解得:0=0或。=一2,经检验，符合.

.“4q,q=>p,是0的必要不充分条件.

故选：B.

3.己知直线/1：ax+3y+4=0,/?：x+-2)y+—5=0,贝I]()

A.若。=1,则4的方向向量为(3,-1)B.若1\〃[2,贝！]a=-l或a=3

3

C.若4U，贝！I。、D.若4不经过第二象限，则aVO

【答案】ACD

【分析】代入。=1,根据方向向量定义即可判断A,根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C,将4

化简得尸一;x-§,结合一次函数的性质即可判断D.

【详解】对A,当。=1时，4：x+3y+4=0,斜率为-g,则其一个方向向量为(3,-1),故A正确；

对B,若4〃4，当。=2时，显然不合题意，则“22,则直线4的斜率左=-三，

-11

直线4的斜率&=---则有左=如即a”一--解得。=3或一1,

a-23a-2

当。=—1时，止匕时直线/1：-x+3y+4=0，：x-3歹-4=0,显然两条直线重合，故B错误；

对C,若4~1~4,当a=2时，显然不合题意，贝！则《次二T,

即解得a=j，故C正确；

3a-22

对D,若4不经过第二象限，4:ax+3y+4=0,化简得y=-贝！]-§20,解得a<0,故D正确；

故选：ACD.

4.已知直线I,经过4(3,m),B(m-1,2),直线12经过点C(l,2),D(-2,m+2).

(1)若。〃/2,求加的值;

(2)若Z/JJ2,求加的值.

【答案】(1)加=1或加=6

（2）加=3或加=—4

【分析】（1）由两直线的斜率相等列方程可求出加的值,

（2）由Q・左2=—1,可求出〃，的值.

【详解】（1）由题知直线■的斜率存在且后2=2：广：了=-?

1一3

若//〃/2,则直线//的斜率也存在，由自=匕

得沼"不解得防=1或加=6,

经检验，当加=1或加=6时，U//h.

（2）若—,当依=0时，

此时加=0,0斜率存在，不符合题意；

当左2邦时，直线/2的斜率存在且不为0,

则直线//的斜率也存在，且力后=一1,

m2-m3

即an---------=-1,

3m-4

解得加=3或加=—4,

所以当m=3或加=—4时，"_L，2.

题型二直线的方程

【例2】过点网3,0）作一条直线/,它夹在两条直线32尤-了-2=0和4：x+y+3=0之间的线段恰被点p

平分，则直线/的方程为（）

A.8x+y—24=0B.8x-y-24=0

C.8x+y+24=0D.x+8j+24=0

【答案】B

【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为了=4@-3）,进而得出交点,

根据点尸为两交点的中点建立等式，求出左的值，从而即可解决问题.

【详解】如果直线斜率不存在时,直线方程为：x=3,不符合题意;

所以直线斜率存在设为人,

则直线/方程为了=左（》-3）,

3k—2

x=-----

y=左(％_3)k-2

联立直线4得:

2,x—y—2—04k

3k—3

x=-------

〈片小-3)k+1

联立直线，2得：，

x+y+3=0-6k

y-------

A+l

所以直线/与直线4,直线4的交点为:

(3"24k]f3k-3-6ky

(k-2，k-2k+\，~k+\)，

又直线/夹在两条直线4和人之间的线段恰被点P平分,

,,3k-23左一3,4k-6k八

所cr以-----+-----=6,-------+------=0,

k-2k+\k-2k+\

解得：左=8,

所以直线/的方程为：8x-v-24=0,

故选：B.

反思总结

求直线方程是解析几何中的基础知识与基本技能。求直线的方程，一般采用待定系数法川各直线方程设成点斜

式或斜截式。或者根据题目条件的特点，使用其他直线方程的基本形式。

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x,y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数

的性质解决.

(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.

巩固训练

1.求满足下列条件的直线方程.

(1)经过点/(-1，-3),且斜率等于直线3x+8y-l=0斜率的3倍;

(2)过点“(0,4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.

【答案】⑴9x+8y+33=0

⑵2x+3y-12=0或2x-3y+12=0

【分析】(1)先由已知直线方程求出斜率，再可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程,

(2)设直线的方程为5+?=1(。片0),则由题意可得g・同-4=12,求出。，从而可求得直线方程

【详解】(1)直线3x+8>—1=0可化为》=—?3%+13，斜率为一37，

888

9

所以所求直线的斜率为-9

O

a

故所求直线方程为＞+3=-5（、+1）,即9x+8y+33=0

8

（2）设直线的方程为5+春=1（叱0）,二5=9d4=12,解得a=±6,

故所求的直线方程为吃+[=1，

±64

即2x+3y-12=0或2x—3y+12=0

2.已知直线4：办+2y-12=o,直线4过点4（-4,1）,.在①直线4的斜率是直线y=的斜率

的2倍，②直线4不过原点且在x轴上的截距等于在V轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在

上面的横线中，并解答下列问题.

（1）求4的一般式方程；

⑵若4与4在X轴上的截距相等，求。的值.

【答案】⑴x+2y+2=0

（2）a=-6

【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；

（2）先求得直线4在x轴上的截距为-2,故直线4过点（-2,0）,代入。x+2y-12=0,求解即可.

【详解】（1）选择①：由题意可设直线4的方程为了-1=左（尤+4）,

11

因为直线4的斜率是直线＞=的斜率的2倍，所以"后，

所以直线4的方程为^_1=_；卜+4）,即x+2y+2=0.

选择②：由题意可设直线4的方程为二+上=1，机40，

2mm

因为直线人过点工（-4,1）,所以二+工=1,解得用=T.

2mm

所以直线4的方程为合+占=1，即x+2y+2=0.

（2）由（1）可知直线4的方程为％+2了+2=0,令y=0,可得了=-2,

所以直线4在x轴上的截距为-2,所以直线4在x轴上的截距为一2.

故直线4过点（一2,0）,代入。x+2y-12=0,得-2a+2x0-12=0,解得〃=一6.

3.已知直线小（2+加）x+（l-2加”+4-3加=0.求证：无论m为何实数，直线4恒过一定点

【答案】证明见解析

【分析】根据方程的特征，通过解方程组法进行求解即可.

x-2y-3=0

【详解】将直线4的方程化为(x-2y-3)加+2x+y+4=0,解方程组

2x+y+4=0

Ix——1/、

解得C故直线h恒过定点M(-1,-2).

4.设直线I的方程为(a+l)x+/+2-a=O(aeR)

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

(2)若直线/交x轴正半轴于点交〉轴负半轴于点3,的面积为S,求S的最小值并求此时直线/

的方程.

【答案】(l)3x+y=0或x+y+2=0.

(2)6,3x—y—6=0

【分析】(1)分截距是否为0两种情况，求得参数。，即可得答案.

(2)求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式

即可求得答案.

【详解】(1)当直线过原点时满足条件，此时2-。=0,解得。=2,此时直线方程为3x+y=0.

当直线不过原点时，/在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为-1,

故。+1=1,解得。=0,

可得直线/的方程为:无+y+2=o.

综上所述，直线/的方程为3x+y=o或x+v+2=0.

(2)由题意知。+1*0,

令x=0,解得y="2<0,解得。<2；

6Z—2

令y=o,解得x=>0,解得。〉2或。<一1.

Q+1

综上有〃<-1.

Q—21,9—6=3J(—a—)9

•c。+1+---4=-----------

a+12a+\—CI—1

>3+|x2^(-«-l)xj,

-a-I

当且仅当-a-l=--,即。=一4时取等号.

-a-1

:・"OB（O为坐标原点）面积的最小值是6,

此时直线方程-3x+j+6=0,即3x-y-6=0.

题型三直线的交点坐标与距离公式

［例3］已知动直线加：加-尸2=0和〃：x+Ny-3-2/1=0,尸是两直线的交点，A、3是两直线相和〃分

别过的定点，下列说法正确的是（）

A.8点的坐标为（3,-2）B.m±n

C.|尸4|尸耳的最大值为10D.P的轨迹方程为苫2+/_2尤-2了-3=0

【答案】BC

【分析】根据直线方程求出定点42的坐标，判断A,证明直线见"垂直，判断B,再结合|尸/|2+|尸8『=|/川

判断C,D.

【详解】直线加的方程2x-y+%=0可化为y=2（x+i）,

所以直线加过定点（-1,0）,

直线〃的方程丫+4了-3—2彳=0可化为无一3+几（了-2）=0,

所以直线〃过定点（3,2）,

所以点A的坐标为（-1,0）,点B的坐标为（3,2）,所以A错误，

由已知2xl+（-l）x；l=0,

所以直线机与直线〃垂直，即机_1_〃，B正确，

因为P41PB,所以®「+附『=|/砰，

故+|P5|2=（3+l）2+（2-0）2=20,

所以忸叶归叫/0H；户用=10，当且仅当忸旬=归川=加时等号成立，

C正确；

因为尸/1PB,故忸4+忸3『=|/却2,

设点P的坐标为（xj）,

则(x+1)+/+(x-3)+(y-2)=20,

化简可得/+/-2苫-2了-3=0,

又点(-1,2)不是直线私"的交点，点(-1,2)在圆上,

故点P的轨迹为圆X?+/一2x-2y-3=0除去点(-1,2),D错误;

故选：BC.

反思总结

(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标.

(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可

借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程.

利用距离公式应注意的点

(1)点P(xo,yo)到直线x=a的距离d=|x()—a|,到直线y=b的距离d=|y()—b|.

(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中X,y的系数化为相等.

巩固训练

1.若动点/(再,必),3(々,%)分别在直线4:x+y-7=0和4:x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点距离

的最小值为()

A.372B.2C.V2D.4

【答案】A

【分析】由题意，知点M在直线。与/2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x+V+c=0,

然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出c的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】由题意，知点M在直线4与4之间且与两直线距离相等的直线上,

、c+7c+5

设该直线方程为％+>+c=。，则,即c=-6,

・••点Af在直线x+y-6=0上，

...点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离，即号=3拒.

故选：A.

2.直线/：尤-(〃+l)y+r=0与圆C:x2+J?=i的交点个数不可能为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】ABD

【分析】求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系即可判断作答.

【详解】圆的圆心c(0,0),半径r=l,

,k1k2.

则点C(0,0)到直线/的距离d=J"+1)2<门<1,

因此直线/与圆C相交，它们有两个公共点，ABD不可能.

故选：ABD

3.已知直线/：(2a+3)x—(a—1)y+3a+7=0,aeR.

(1)证明直线/过定点A,并求出点A的坐标；

(2)在(1)的条件下，若直线/'过点A,且在V轴上的截距是在x轴上的截距的玄，求直线/'的方程;

(3)若直线/不经过第四象限，求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析，点A的坐标为(-2,-1)

(2)%-2》=0或x+2〉+4=0

(3)u[l,+co)

【分析】(1)化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；

(2)根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；

(3)分①。=1,②。=-：3,③awl,且aw-3：三种情况进行讨论分析解决.

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