2021年12月第38届全国中学生物理竞赛决赛理论试题（含答案解析）

第38届全国中学生物理竞赛决赛试题

（2021年12月12日上午9:00-12:00）

考生必读

1、考生考试前请务必认真阅读本须知。

2、本试题共7页，总分为320分。

3、如遇试题印刷不清楚的情况，请务必向监考老师提出。

4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸相应题号后面的空白处；阅卷老师只评阅答题

纸上的内容；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不被评阅。

一、（64分）一个不透明薄片上的小圆孔如图la中黑I

色之间的部分所示，半径OM为LOOmm。用波长

4=632.8nm的氢位激光作为光源从小孔左侧平行正M

入射。在垂直于小孔的对称轴上右侧有某个点P;相t

对于P点，小孔处的波面可视为半波带的组合：以P63一一

点为球心，P点到小孔中心O的距离为4（r0»A）,

分别以4+色、ZJ+2X-,4+3x2、…为半径做球|

222图la

面，将小孔所在平面的波面划分成N个环带（N为自

然数），P点到小孔边缘M的距离为4+N&,半径最小的环带则是一个圆面，这样划分出

的环带称为半波带（因为相邻环带的相应边缘到P点的光程差为人）。显然，环带的数目N

2

决定了P点的位置。在需要将原有半波带重新划分或合并时，只考虑将已有的每个半波带

重新划分为若干个新的半波带，或者将已有的若干个半波带重新合并为一个新的半波带。

（1）（8分）若N=2〃+l,试分别求相应于”=0和〃=1时P点的位置P°（P°为轴上最右

侧的亮点，称为主焦点）和耳（耳也为亮点，称为|

次焦点）。I

（2）（24分）若N=4（4级波带片），且在第1、3

半波带放置透明材料（图1b中灰色部分），使通过-----------------9---———

；°4琮

该透明材料的光增加尹程。求：

（i）（8分）此4级波带片的主焦点斗的位置；|

（ii）（8分）紧邻主焦点琮左侧暗点巴的位置；图北

（iii）（8分）紧邻主焦点PJ右侧暗点P；的位置。

（3）（32分）波带片不仅可|

以实现平行光的聚焦，还可以|

成像。以上的4级波带片平行

光的聚焦过程，相当于物距无,»_________________________________________________♦

穷远、像距等于焦距的情形。$°;s，

将一个点光源（物）置于轴上|

。点左侧3m处的S点，其像|

点为SL如图1c所示。图1c

1

（i）（10分）4级波带片主焦点对应的像距OS'是多少？并验证成像公式是否满足。

（ii）（8分）如果该波带片所成的像不是唯一的，轴上还有其他像点，那么距离第（3）

（i）问所得到的像点最近的另一个像点在哪里？与此成像过程对应的次焦点的焦距是多

少？（不能应用成像公式）

（iii）（14分）如果将物放置于此波带片左侧，与0点距离为0P//2,求分别将4级

波带片的主焦点和（3）（ii）所述的次焦点作为焦点而成的像的类型（虚像或实像）与位置。

（不能应用成像公式）

二、（64分）2021年6月神州12载人火箭与天宫太空站成功对接，这里涉及到追击者（神

州12火箭）与目标（太空站）在绕地轨道相遇的问题。

本题采用霍尔曼变轨方案来探究追击者如何改变速度

（速率和方向）与固定轨道上的目标实现对接（相遇）。

如图2a,目标A和追击者c都在以半径为4的圆

轨道上以速率。。逆时针运动。在0时刻两者的位置分

别为

%=4,%=°，rA,i=rcJ=r0

在此时刻，追击者c瞬间点火，速度瞬间改变Av（如

图2b所示）；c的轨道也从半径为"的圆轨道瞬间变为图

所示的椭圆轨道，椭圆轨道的长轴与极轴方向（中心到点

时c的位置的连线）之间的夹角为。（。是沿顺时针方向

量的）。c的运动方向与极轴方向之间的夹角记为Q（Q正

向为逆时针方向）,c与中心相距《（Q）。

（1）（10分）若飞行物的质量机、能量E（实际为飞行

和地球组成系统的总机械能）和角动量£均为已知量，试

E、L、m和题给的已知参量%、%等来表示轨道参量］

£。已知：正椭圆轨道（长轴沿极轴方向）在极坐标下的

式（原点取为右焦点）为

r（6＞）=---

1+2C0S。

其中，R是轨道尺寸参量，£是轨道偏心率，统称为轨

道参量。

（2）（6分）写出点火（见图2c）后追击者c的轨道7（4）

的表达式，用“、偏心率£和。表示。

（3）（6分）写出点火后追击者c的轨道周期7；与目标

A的周期7；之比7；/1，用£和。表示。

（4）（18分）定义两个点火参数（见图2b）：无量纲

的速度大小改变率6=电,△。与外之间的夹角a（重

°。

合时a=0,顺时针方向取为正方向）。试用点火参数5和a来表示追击者c的轨道的偏心率

£和£COS°o

（5）（9分）考虑追击者c和目标A在第一类轨道汇合点（见图2c）相遇的情形。设自0

时刻起目标A经过第一类轨道汇合点的次数为"A，追击者c经过第一类轨道汇合点的次数

（起始时不计在内）为电。在0时刻，%=00,%=0。求%，用%、4、£和。表示。

2

（6）（3分）将"A用S、a表出，固定5,试求函数〃A（a）相对于a变化的两个简单、明显

的极值点/（以便即使喷火时角度a相对于为有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功

对接）。

（7）如果取上述两个％值之一，

（i）（6分）3值有一个上限般x（即若5＞黑x，追击者c和目标A不会相遇），求黑,；

（ii）（6分）令或的初始值为4，试写出6与4、”A、』的关系式；并求当d='|、

〃A=2、&=1时6的值。

三、（64分）宇宙中可能有四分之一的物质是以暗物质的形式存在的。暗物质可能是由一种

新的基本粒子构成的。人们一直在寻找暗物质粒子和已知的粒子之间的相互作用，其中一类

重要的实验是寻找暗物质粒子和原子核之间的相互作用。这类实验一般是以某种材料作为靶

物质，当暗物质粒子飞入探测器时会和靶物质的原子核发生碰撞。在这个过程中原本几乎静

止的原子核会从暗物质粒子得到一部分动能，从而在靶物质中运动，产生光信号和电信号。

暗物质探测器可以探测到这些信号从而对暗物质进行观测。

（1）（35分）选取靶物质为沆同位素原子核3xe,假设暗物质粒子X和3xe核的质量都是

质子质量%的132倍；在粒子X和"xe核的质心系中，散射是各向同性的（出射粒子在各

个方向上出现的概率相等）。设有一个暗物质粒子X以大小为200km/s的速度沿z方向进

入探测器，与静止的靶核⑶Xe碰撞。试推导实验室系（碰撞前相对于靶核⑶Xe静止的参考

系）中碰撞后，

（i）（12分）3xe核的动量与其出射角的关系；

（ii）（16分）^Xe核的角分布（按其出射角的概率分布）；

（出）（7分）及xe核动能的分布。

（2）（11分）人们常常用散射截面来表示两个粒子之间相互作用的大小，散射截面类似于

某种横截面积，而横截面积可理解为两个粒子之间发生碰撞时的有效面积。例如，两个半径

分别为乙和々的刚性小球之间碰撞的横截面积为兀化+々）2,这就是两小球碰撞的散射截面。

现在探测器中有1.0t值原子，暗物质粒子X和3xe核之间碰撞的散射截面为1.0*10-38加2；

假设所有的暗物质粒子X的速度大小都是200km/s,假设在地球附近的暗物质的密度为

0.40吗/cm,试求这个探测器里每年能发生多少次暗物质粒子X和.Xe核之间的碰撞？阿

佛加德罗常数义=6.023xl02,为简化起见，假设质子静质量为l.Og/mol。

（3）（7分）探测器探测到的信号是由⑶Xe核在碰撞过程中所得到的动能产生的。然而，只

有当该动能超出探测器的阈值时这个信号才能被记录下来。假设这个阈值为10keV,试估算

这个探测器每年可以探测到多少个暗物质粒子X与3Xe核发生了碰撞？质子的静质量为

0.94GeV/c2,c是真空中的光速。

（4）（3分）银河系中的暗物质粒子的速率服从一定的分布/（。），暗物质粒子的速率有一个

上限，即当。时，〃。）=。。请回答这个上限是由什么造成的？

（5）（8分）对于地球上的实验室参考系，暗物质粒子速度分布的上限是真空中光速的0.002

倍。另外，我们实际上也不知道暗物质粒子的质量是多少。请问当暗物质粒子的质量小于多

少时，上面的探测器将不可能探测到暗物质的信号？

四、（64分）在生物体中电相互作用起着很重要的作用。将一个类DNA的酸性分子放入水

中，分子上一些松散附着的原子可能解离，正离子漂走，留下一些电子，使这个大分子带负

电。类似地，水中的细胞膜也会因此而带上负电，它们之间的静电排斥作用可使这些大分子

3

或细胞避免“结块”。由于物质本身是电中性的，溶液中漂浮着的大量正离子，会使这些大

分子之间的静电力随距离衰减。在常温T下考察以下问题：

（1）（31分）（i）（7分）考虑带负电的细胞膜外侧（朝向正离子漂浮的区域）附近靠近其

表面的区域。此时细胞膜可视为无限大平面。取x轴垂直于细胞膜外表面，方向指向膜外侧，

原点在膜外表面上。膜周围溶液的介电常量为£,膜外表面上均匀分布的面电荷密度为-b

（b>0）。系统与环境保持热平衡。由于静电作用，溶液中各处正离子的密度并不均匀，但

可认为各局域部分都是平衡态。此时正离子的行为与地面上大气分子的行为类似，只是这里

正离子受到静电场作用，而大气分子受到重力场作用。取紧靠膜外表面处正离子数密度n0

为待定常量。试写出膜外表面附近电势夕满足的微分方程。已知电子电量为-e,正离子电

量为+e,玻尔兹曼常量为依忽略重力和水的浮力。提示：玻尔兹曼统计认为，粒子处于

能量为E的状态的几率正比于exp（-二），T为粒子所处平衡态的绝对温度。

kT

（ii）（3分）细胞膜表面内的液状组织可认为是导电的；选取膜表面上的电势为零。试

写出在膜外表面上电势,p满足的边界条件。

（iii）（10分）在给定的边界条件下，取对数函数°（x）=/ln（l+&）作为第（1）⑴问

中得到的微分方程的试探解。试定出常量飞、42的值，并将0（x）和"（x）（在x处的正离子

数密度）用b、£、7、e、左表出；

Civ）（3分）试验证，所求得的”（x）保证了整个系统是电中性的。

（v）（8分）求以带电的膜外表面单位面积为底的足够高的柱形体积内的静电场能q,

以及同一体积中的所有正离子在静电场中的总电势能上。

（2）（33分）考虑两个细胞彼此靠近的情形。两个细胞膜外侧及它们之间的这个系统，可

用这样的简化模型研究：已知两个均匀带负电的无限大平行平板各带面电荷密度-b,相互

之间距离为2。。两板正中间处选为坐标原点，x轴垂直于平板，原点电势选为零，原点处

的正离子数密度小作为待定参量。取函数以无）=/ln[cos（&）]作为微分方程的试探解。

（i）（4分）由夕（x）满足的微分方程定出常量43,用7、£、e、k、“口表出。

（ii）（8分）求“0,用。、b、£、「、e、％、9（若遇到超越方程，不必求解，该方程在物

理区域的解记为0）表出。

（iii）（5分）给出正离子在细胞外表面处与两膜中心处的粒子数密度之差

Az;=n（±D）-n0,用cr、£、7、人表出。

（iv）（3分）试验证，所求得的“（X）保证了整个系统是电中性的。

（v）（5分）试给出带电平面（细胞膜）单位面积上所受的作用力的合力。己知细胞膜

内外都充满了密度相同的水。提示：正离子在水中的行为与理想气体类似，且局域地处于热

平衡。

（vi）（8分）如果其它条件不变，在两平板仍可视为无限大的前提下，试讨论在近距离

和远距离两种不同的极限情形下，带电平面单位面积上所受的作用力的合力大小如何随距离

。而改变？

五、（64分）（1）（21分）一个电子的自旋磁矩为

式中-e（e>0）是电子电荷，加是电子质量，一是电子的荷质比；S是自旋角动量，其z

4

分量，只能取两个值，自旋向上时，=!力，向下时，=-工力，其中方=2，〃是普朗克常

-222兀

量。假设一个分子或原子的磁矩等于一个电子的自旋磁矩。

（i）（14分）将顺磁体置于外磁场中，由于其分子的磁矩平行或反平行于磁场方向排列

的几率发生变化而产生磁化；磁化程度用单位体积内的磁矩（磁化强度）M描述，M=XH,

其中力为磁化率，"三巨-用为磁场强度，3为磁感应强度，〃。为真空磁导率。在通常温

Ao

度7（绝对温度）下‘kT>A（左为玻尔兹曼常量）；设磁感应强度5是均匀

的，顺磁体的分子数密度为"，试利用玻尔兹曼统计导出顺磁体的磁化率满足力=c",并给

_E_

出。的表达式。已知：玻尔兹曼统计认为，粒子处在某个能量状态的几率正比于一百，其中

E为该状态的能量，7为粒子所处平衡态的绝对温度。

（ii）（7分）铁磁体不同于顺磁体：在居里温度以下，铁磁体可以在没有外磁场的环境

中产生并保持比较强的磁性，此称为自发磁化；自发磁化产生“磁畴”，每个“磁畴”中分子磁

矩均沿着同一方向排列（顺排），此时铁磁体处于铁磁相。磁矩发生顺排的原因是因为量子

效应，也可以认为里面有很强的等效磁场，外斯称其为“分子场”。“分子场”比一个自旋磁矩

在原子间距上产生的磁场大3个量级左右。在居里温度以上，铁磁体转变为顺磁体，它的磁

化率遵从居里-外斯定律力=二（其中e为居里温度），与通常的顺磁体有差异，其差异

来自于铁磁体内部的“分子场”Hm,凡，可表示为8",=7"。假设铁磁体的分子数密度亦

为"，试给出/的表达式（居里温度6可视为已知量）；并导出在所有磁矩都是顺排的情形

下分子场的表达式。

（2）（9分）在铁磁晶体中原子是在周期性的格点上排列的。每个原子所感受到的磁场可理

解为其最近邻格点上的原子提供的“分子场”的平均值。

（i）（7分）考察如图5a所示

AAAA

的一维晶格自旋系统，所有格

点上的磁矩都是顺排的。这个

系统的居里温度为假设上a

图5a

一问中导出的Hm与。之间的

关系仍然成立，且此系统包含N（N>>1）个格点，每个格点上有一个原子；当发生自发磁

化后，原子的自旋平行排列，这样的排列会使系统能量最低。试给出此时一个自旋在其最近

邻格点上产生的等效磁场、以及整个系统的磁能。

（ii）（2分）假设这个一维晶

格自旋系统中的某一个非端

点晶格上的自旋发生翻转，变

为反平行排列，如图5b所示。a

图5b

相比于图5a的情形，系统的

能量增加了多少？

（3）（17分）若原子自旋交替

反向排列，则称为反铁磁体。

反铁磁体具有特殊的晶格结

ABAB

构：该结构由A位晶格和B位a

图5c

晶格组成，如图5c所示。A位

的最近邻都是B,次近邻才是A；B位类似。反铁磁体的最近邻“分子场”与铁磁体的方向相

5

反，而且除了最近邻自旋之外，次近邻自旋对“分子场”也有贡献。此时，A、B位的“分

子场”可分别表示为

"mA=—=AB〃B—”AA〃A，"mB二一"AB〃A—^BB^B，

式中，〃A、分别是A、B位上自旋磁矩。设所有A位原子都是相同的，所有B位原子

也都是相同的，则ag==B，4>位1。

（i）（5分）试给出具有N个格点（A、B各有N/2个格点）的反铁磁体的磁能;

（ii）（12分）奈尔温度是指高出这个温度时，反铁磁相消失，反铁磁体呈顺磁性。这

时，A位晶格和B位晶格的磁化强

度和磁场分别满足

CC

M.=————“B，

A2rjiHA，MDB=rjt

这里系数C与第（1）（i）问中的类

同。试给出一维反铁磁体的奈尔温

度。

（4）（17分）下面考虑另一种情境:

原子分布在晶格常数为。的二维

x-y平面内的正方点阵上,原子的磁

矩可在平面内转动。如图5d,在尺

寸为LCL»a）的平面区域内，

磁矩分布由各点上的箭头所示。由

于“分子场”效应，磁矩之间具有比

较强的相互作用，这种作用只明显

存在于最近邻分子之间。设此平面

内第i个格点上的自旋角动量S,与

x轴的夹角为目€[0,2兀],系统磁能

可表示为

EQ4｝）=_J，eS「Sj

=-J^cos（6>-6>y）

其中/、J（/、J>0）为常量，«,力

代表所有最近邻（一个格点一般有四

个最近邻的格点）的格点i和，，系统

构型由花｝给出。假设系统与环境达到

热平衡，系统体积不变，此时亥姆赫

兹自由能为尸=£-小，其中£为系统

内能，S为系统端。

（i）（3分）系统中可能存在的涡

旋构型如图5e所示。沿着围绕涡旋中

心的闭合回路走一圈，该闭合回路上图5e

6

最近邻格点力的磁矩取向角之差的和为

2（4心）=2兀/

。,力

这里，/是与涡旋结构有关的一个正整数，/=1的情形如图5e所示。为方便起见，考虑以

涡旋中心为圆心、较大半径为r的闭合回路（圆），试求圆上相邻格点取向角之差的平均值

（ii）（5分）当围绕涡旋中心的回路半径/•比较大时，可近似认为磁矩依次排列成半径

差为°的一系列同心圆，相邻同心圆上最近邻磁矩之间的夹角可认为是零。半径小的区域也

作同样近似，对总能量影响不大。由此估算图5e所示的一个涡旋系统的能量。

（iii）（3分）如果涡旋的中心放在不同的位置，则可以认为系统处于不同的状态。假

设在尺寸为£、晶格常数为。的正方点阵上只有一个涡旋，试估算可能的状态数A,进而计

算系统的崎S三人In。。

（iv）（6分）若系统存在某个温度，高于或低于此温度，系统性质有明显不同，则可

能发生了相变。对于一个涡旋系统，找出可能的相变温度，并加以说明。

7

第38届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答

一、（64分）一个不透明薄片上的小圆孔如图la中黑I.

色之间的部分所示，半径OM为1.00mm。用波长

2=632.8nm的氮覆激光作为光源从小孔左侧平行正M

入射。在垂直于小孔的对称轴上右侧有某个点P；相出

对于P点，小孔处的波面可视为半波带的组合：以P01"一一

点为球心，P点到小孔中心O的距离为%.

分别以％+£、4+2x,、%+3x白、…为半径做球|

图la

面，将小孔所在平面的波面划分成N个环带（N为自

然数），P点到小孔边缘M的距离为4+N],半径最小的环带则是一个圆面，这样划分出

的环带称为半波带（因为相邻环带的相应边缘到P点的光程差为4）。显然，环带的数目N

2

决定了P点的位置。在需要将原有半波带重新划分或合并时，只考虑将已有的每个半波带

重新划分为若干个新的半波带，或者将已有的若干个半波带重新合并为一个新的半波带。

（1）（8分）若N=2"+l,试分别求相应于〃=0和”=1时P点的位置P0（P。为轴上最右

侧的亮点，称为主焦点）和R也为亮点，称为|

次焦点）。|

（2）（24分）若N=4（4级波带片），且在第1、3

半波带放置透明材料（图1b中灰色部分），使通过-----------------

oP'i以]

该透明材料的光增加，光程。求；

（i）（8分）此4级波带片的主焦点以的位置；|

（ii）（8分）紧邻主焦点以左侧暗点巴的位置；图北

（iii）（8分）紧邻主焦点以右侧暗点舁的位置。

（3）（32分）波带片不仅可|

以实现平行光的聚焦，还可以|

成像。以上的4级波带片平行

光的聚焦过程，相当于物距无一._________________________________________________.

穷远、像距等于焦距的情形。$

将一个点光源（物）置于轴上I

O点左侧3m处的S点，其像|

点为卜，如图1c所示。图ic

（i）（10分）4级波带片

主焦点对应的像距OS，是多少？并验证成像公式是否满足。

（ii）（8分）如果该波带片所成的像不是唯一的，轴上还有其他像点，那么距离第（3）

（i）问所得到的像点最近的另一个像点在哪里？与此成像过程对应的次焦点的焦距是多

少？（不能应用成像公式）

（iii）（14分）如果将物放置于此波带片左侧，与O点距离为OP：/2,求分别将4级

波带片的主焦点和（3）（ii）所述的次焦点作为焦点而成的像的类型（虚像或实像）与位置。

（不能应用成像公式）

1

参考解答：

（1）（8分）对于焦点P,固定点P0和PM的距离差为1/2波长。设P到小孔中心的距离为

r0（P点位置坐标为x）,由半波带法有

次+.=^+y①

式中R是小圆孔半径。利用题给数据得

2

1.00+x；=（x0+0.3164x10一3）2,

式中为=/mmo由此得

=1580mm②（4分）

设3波带焦点耳到小孔中心的距离为耳（耳位置坐标为王），由半波带法有

卜+,=4+（2xl+l）g（3）

利用题给数据得

2-32

1.00+xf=（x1+3x0.3164xl0）,

式中a=%mm。由此得

rx=527mm（4）（4分）

（2）（i）（8分）由于灰色部分增加了1/2波长，导致所有波带到达固定点P；时，其光程差

同中心波带的光程差变为0,九，九，因此四个波带在固定点琮处并非两两相消，而是共同增

强，形成焦点。在计算几何长度时，最外侧波带外缘的几何长度与中心轴线的几何长度相比,

增加2人，故

卜+力=4+2%⑤（4分）

利用题给数据得

1.002+x,2=（xr+4x0.3164xlO-3）2,

式中疗=/mm。由此得

“'=395mm⑥（4分）

（ii）（8分）紧邻焦点以左侧的暗点匕出现于进一步划分波带片为8个波带结构，

封+以=,+4.⑦（4分）

利用题给数据得

1.002+%7=（X」+8x0.3164xmy,

式中=X：］mmo由此得到暗点P1］坐标为

匕=198mm⑧（4分）

（出）（8分）紧邻焦点以右侧的暗点凡出现于四个波带两两归并，整体视为两个波带

时出现：

西+瑞=.+.⑨（4分）

利用题给数据得

2

1.0。2+兀］2=（篇+2x03164）2,

式中匕=Kimmo得到暗点P。坐标为

£=790mm⑩（4分）

（3）（i）（10分）光线从波带片最外侧经转折到达像点时，其几何路径长度和轴线相比，增

加了24。方程为

Js%+R2+Jsj+R?=§物+s像+4Xy⑪（4分）

式中S物=OS,S像=os\利用题给数据得

222

A/3000+1.00+1.00=3000+x2+2A

式中s像=x2mmo由此解出

s像=455mm⑫（4分）

成像公式为

代入题给数据得

f=395mm⑭（2分）

和4级波带片焦距成即⑥式一致，成像公式成立。

（ii）（8分）下一个像点，需要将4级波带片拆解为12级波带片。因此上一问中所表述的

路径差即为6九，方程为

+R?++R。=s物+s%+3x4x万⑮（2分）

利用题给数据得

222

A/3000+1.00+7^3+1.00=3000+x3+62

式中s%=x3mm。由此解出

5^=137mm⑯（2分）

对应的次焦点是将4级波带片拆解为12级波带片时对应的焦点。每个波带片按照奇数

次拆分时可获得对应的新的次级焦点，因此4级波带片中的每个波带需拆分为3个波带才

能获得此次焦点。

“2+.2=/，+3x4xg⑰（2分）

其中/'为次焦点的焦距。利用题给数据得

7/，2+1.002=f'+6A

由此解出：

/r=132mm⑱（2分）

3

即次焦距为132mm。

（iii）（14分）考虑将4级波带片的主焦点作为焦点而成的像。由于物点在左侧主焦点和波

带片之间，仍然在左侧。由⑥式或⑭式知

于=%=395mni,

据题意知物距为

f

s物=3=198mm⑲

设像距为sQ则

Js二+—2++R2=5物+s[+4x—⑳（3分）

利用题给数据得

222

A/198+1.00+7X4+1.00=198+X4+22

式中s%=X4inm。由此解出

Sg=-396mm,㉑（2分）

即该像点为虚像，在左侧焦点位置。㉒（2分）

考虑将在第（3）（ii）小问中所述的次焦点作为焦点所成的像。设像距为感，则

&+R2+反+*=%+SQ3x4x1㉓（3分）

利用题给数据得

222

7198+l+7%f+1=198+x5+6/l

式中s*=x5mmo由此解出

5^=393mm,@（2分）

即该像点为实像，在波带片右侧393mm处的位置。㉕（2分）

评分标准：

第（1）问8分，②④式各4分；

第（2）问24分，

第（i）小问8分，⑤⑥式各4分；

第（ii）小问8分，⑦⑧式各4分；

第（iii）小问8分，⑨⑩式各4分；

第（3）问32分，

第（i）小问10分，⑪⑫式各4分，⑭式2分；

第（ii）小问8分，⑮⑯⑰⑱式各2分；

第（iii）小问14分，⑳式3分，㉑㉒式各2分，㉓式3分，③式2分，结论㉕式2分。

4

二、（64分）2021年6月神州12载人火箭与天宫太空站成功对接，这里涉及到追击者（神

州12火箭）与目标（太空站）在绕地轨道相遇的问题。

本题采用霍尔曼变轨方案来探究追击者如何改变速度

（速率和方向）与固定轨道上的目标实现对接（相遇）。

如图2a,目标A和追击者c都在以半径为4的圆

轨道上以速率。。逆时针运动。在0时刻两者的位置分

别为

名,=4,%=。，K产％=4

在此时刻，追击者C瞬间点火，速度瞬间改变（如

图2b所示）；c的轨道也从半径为4的圆轨道瞬间变为图2c

所示的椭圆轨道，椭圆轨道的长轴与极轴方向（中心到点火

时c的位置的连线）之间的夹角为。（。是沿顺时针方向测

量的）。c的运动方向与极轴方向之间的夹角记为Q（Q正方

向为逆时针方向）,c与中心相距1（Q）-

（1）（10分）若飞行物的质量〃八能量E（实际为飞行物

和地球组成系统的总机械能）和角动量工均为已知量，试用

E、L、切和题给的已知参量%、%等来表示轨道参量R、

£。已知：正椭圆轨道（长轴沿极轴方向）在极坐标下的形图2b

式（原点取为右焦点）为

1+2C0S。

其中，R是轨道尺寸参量，£是轨道偏心率，统称为轨

道参量。

（2）（6分）写出点火（见图2c）后追击者c的轨道MQ）

的表达式，用“、偏心率£■和0表示。

（3）（6分）写出点火后追击者c的轨道周期7；与目标

A的周期7；之比北/北，用£和。表示。

（4）（18分）定义两个点火参数（见图2b）：无量纲图2c

的速度大小改变率6=3，与%之间的夹角a（重

%

合时a=0,顺时针方向取为正方向）。试用点火参数5和a来表示追击者c的轨道的偏心率

£•和€COS°o

（5）（9分）考虑追击者c和目标A在第一类轨道汇合点（见图2c）相遇的情形。设自0

时刻起目标A经过第一类轨道汇合点的次数为"A，追击者c经过第一类轨道汇合点的次数

（起始时不计在内）为电。在0时刻，%=00,%=0。求力4，用%、为、£和。表示。

（6）（3分）将〃人用6、a表出，固定试求函数相对于&变化的两个简单、明显

的极值点/（以便即使喷火时角度a相对于为有一些偏差，但解依然近似成立，便于成功

对接）。

（7）如果取上述两个％值之一，

⑴（6分）S值有一个上限黑，（即若，追击者c和目标A不会相遇），求黑x；

（ii）（6分）令”的初始值为q，试写出S与劣、限、/的关系式；并求当为=］、

〃A=2、4=1时S的值。

5

参考解答：

（1）由轨道方程可知

①（2分）

总能量£、轨道角动量工为守恒量：

L=俏°近乐=mv^r&=mvr

或

L

v=——②（2分）

mr

系统总能量为

17cz2CI}

E=----1------=------1-------③（2分）

r

&2mr近r&2mr&

其中

C=GMm=m%v：

这里，利用了

GMm说

——--=m—

44

由①②③式和。的表达式得

£2

R=F~~r④（2分）

mrovQ

⑤（2分）

（2）追击者c的椭圆轨道点火后变为偏转的椭圆。按题中角度定义，这偏转的椭圆轨道为

^（^0）=--------Z-示⑥（3分）

l+£COS（q+0）

初始条件为

%=!，当q=o

代入⑥式得

R=4（1+£COS。）⑦（1分）

于是

心善比*⑧（2分）

l+£COS（q+0）

（3）由⑥式可得点火后的椭圆轨道的长轴长度2a为

2a=b+””+£cos。）+%（l+£cos0）=27式1+£；0$0）⑨（2分）

1+£1-f1-£2

目标A的轨道长轴为2%。由开普勒第三定律得

导修―「⑩（4分）

6

（4）现将点火后速度用点火参数表达。取极坐标，径向（从圆轨道中心即焦点指向追击者c

所在位置的矢径方向）速度为

vr=v08sina

切向（垂直于矢径的方向）速度为

%=%（1+Scosa）⑪（1分）

由角动量Z守恒有

L=mrove=mrovo（l.+8cosa）⑫（2分）

由⑫式和

“（1+ECOS0）“（1+ECOS0）

生=-iT；—'位=一二一

得，在近地和远地点速率为

L4%(l+bcosa)(1+^)(1+8cosa)

°近二=-------------------------=Vr.

冽生q(l+£COS/)u1+£COS。

l+£⑬（2分）

Lrovo(1+rJcoscr)(1一g)(l+bcosa)

°远==---------------------=Vn

mr远枢1+ecos。)1+ECOS0

\-£

由能量守恒有

C12cL2

E=--------F—mv=----+-------⑭（2分）

r2r2mr

在远地和近地点有

C1i=~~+\mv&

-------1——mv

七2r诉2

此即

(1一£)。1(1-£,)(1+8cosa)(1+£)C1(l+£)(l+5cosa)

-----------------+-m+—m

“(1+£COS。)21+ECOS。4(1+£COS°)21+ecos。

化简后有

C2（l+5cosa）2

—二mvQ-----------------

r01+ecos。

利用。的表达式，上式即

1+£cos0=(1+5cos。)？

或

8cos°=bcosa(2+8cosa)⑮（3分）

点火后(，=0)沿轨道径向速度和切向速度大小之比为

v_3sina_1dry_esin。

r⑯（3分）

"ol+5cosa41d，J4=01+£COS。

此即

7

6sina

£sin/=(l+£cos°)

l+5cosa

=(1+23cosa+32cos2a)-------------⑰（1分）

1+8cosa

=5sina(l+5cosa)

由⑮⑰式得

s=sjl+3cos2a+25cosc(1+cos2a)+81cos2a⑱（4分）

［（解法二）

现将点火后速度用点火参数表达。取极坐标，径向（从圆轨道中心即焦点指向追击者c所在

位置的矢径方向）速度为

vr=sina

切向（垂直于矢径的方向）速度为

（分）

ve=%(l+bcosa)⑪1

由角动量工守恒有

（分）

L-mrQv0=mr0v0fl+8cosa)⑫2

由④⑫式得

尺」叫。。（l：S：osa）］2=%（i+5c°se）2⑬（2分）

由⑦⑬式得

(1+ecos0)=(1+5cosa/⑭（2分）

于是

scos0=3cosa(2+8cosa)⑮（3分）

变速后的能量

lGMm+；加［W(1+bcosa)2+v1S2sin2a~\

E二----------------⑯（2分）

利用C=GMm=mrovl得

1

E=-mv1+—m［若(1+Scoscz)2+说*sin2tz］⑰（2分）

2

将⑰式代入⑤式得

a+23cosa(l+cos2tx)+8~cos2a⑱（4分）

1

（5）在,时刻两者相遇，要求：

=nT=nT--^-T

tccAAA⑲（3分）

利用⑩⑲式得

3/2

%北综1+£COS0